Логарифмы в ЕГЭ: свойства, уравнения и как решать

Логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это число. Тема охватывает определение логарифма и его свойства, вычисление значений выражений (задания 6 и 9), решение логарифмических уравнений (задание 13) и неравенств (задание 15). Ключ к успеху — жёсткий контроль ОДЗ и понимание того, что знак логарифмического неравенства зависит от того, больше или меньше единицы основание.

Формулы

• - Основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0\) — Прямое следствие определения логарифма.
• - Логарифм произведения: \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,\quad x>0,\ y>0\) — Только для положительных x и y.
• - Логарифм частного: \(\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,\quad x>0,\ y>0\) — Разность логарифмов числителя и знаменателя.
• - Логарифм степени: \(\log_a x^{p} = p\,\log_a x,\quad x>0\) — Показатель выносится множителем.
• - Формула перехода к новому основанию: \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a},\quad c>0,\ c\neq 1\) — Позволяет привести логарифмы к одному основанию.
• - Логарифм со степенью в основании: \(\log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\log_a b,\qquad \log_{a^{k}} b^{m} = \dfrac{m}{k}\log_a b\) — Степень основания уходит в знаменатель.
• - Взаимно обратные логарифмы: \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a},\quad a,b>0,\ a,b\neq 1\) — Частный случай перехода к новому основанию.
• - Опорные значения: \(\log_a 1 = 0,\qquad \log_a a = 1,\qquad \log_a a^{k} = k\) — Запоминаются сразу, экономят время.
• - Освобождение множителя из-под знака (модуль): \(\log_a x^{2} = 2\log_a |x|,\quad x\neq 0\) — Частая ловушка: при чётной степени появляется модуль.
• - Логарифмическое основное тождество (обратный порядок): \(b^{\log_a c} = c^{\log_a b}\) — Полезно для упрощения громоздких выражений.

Свойства и правила

• - Условие существования логарифма: \(\log_a b \ \text{определён} \iff a>0,\ a\neq 1,\ b>0\) — Первое, что проверяем в любой задаче.
• - Монотонность и переход к аргументам (уравнение): \(\log_a f = \log_a g \iff \begin{cases} f=g \\ f>0\ (\text{или } g>0)\end{cases}\) — Из равенства логарифмов следует равенство аргументов при учёте ОДЗ.
• - Знак неравенства при a>1: \(a>1:\quad \log_a f > \log_a g \iff f>g>0\) — Основание больше 1 — знак неравенства сохраняется.
• - Знак неравенства при 0<a<1: \(0<a<1:\quad \log_a f > \log_a g \iff 0<f<g\) — Основание меньше 1 — знак неравенства меняется на противоположный.
• - Сравнение с числом: \(\log_a f > c \iff \log_a f > \log_a a^{c}\) — Число превращаем в логарифм того же основания и сравниваем аргументы по правилу монотонности.

Как решать: методы

Вычисление логарифмического выражения (задания 6, 9)

Нужно найти числовое значение выражения с логарифмами.

1. 1. Приведите все логарифмы к одному основанию (обычно к тому, что в задаче встречается чаще).
2. 2. Замените произведения, частные и степени под знаком логарифма суммами и разностями по свойствам.
3. 3. Выделите опорные значения: log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_a a^k = k.
4. 4. Примените основное тождество a^{log_a b} = b, если встречается степень с логарифмом в показателе.
5. 5. Сократите и доведите до числа.

Простейшее логарифмическое уравнение (задание 13)

Уравнение вида log_a f(x) = c.

1. 1. Запишите ОДЗ: f(x)>0.
2. 2. По определению перейдите к f(x) = a^{c}.
3. 3. Решите полученное алгебраическое уравнение.
4. 4. Отберите корни, удовлетворяющие ОДЗ, и запишите ответ.

Уравнение log_a f = log_a g

В обеих частях логарифмы с одинаковым основанием.

1. 1. Выпишите ОДЗ: f(x)>0 и g(x)>0.
2. 2. Приравняйте аргументы: f(x)=g(x).
3. 3. Решите уравнение f=g.
4. 4. Проверьте каждый корень по ОДЗ (достаточно проверить положительность одного из аргументов).

Метод замены переменной

В уравнении/неравенстве повторяется одно и то же логарифмическое выражение (часто квадрат относительно логарифма).

1. 1. Введите t = log_a x (или иной повторяющийся блок), укажите, что x>0.
2. 2. Перепишите уравнение как алгебраическое относительно t и решите его.
3. 3. Вернитесь к переменной x: для каждого найденного t решите log_a x = t, то есть x = a^{t}.
4. 4. Отберите корни по ОДЗ.

Приведение к одному основанию

В задаче логарифмы с разными основаниями (например, log_2 x и log_4 x).

1. 1. Выберите базовое основание и по формуле перехода выразите все логарифмы через него.
2. 2. Учтите правило log_{a^k} b = (1/k) log_a b для степеней основания.
3. 3. После приведения примените замену переменной или свойства.
4. 4. Решите и отберите корни по ОДЗ.

Логарифмическое неравенство (задание 15)

Неравенство вида log_a f(x) ∨ log_a g(x) с числовым основанием.

1. 1. Запишите ОДЗ: f(x)>0 (и g(x)>0, если есть).
2. 2. Определите тип основания: a>1 или 0<a<1.
3. 3. При a>1 сохраните знак неравенства между аргументами, при 0<a<1 — поменяйте знак на противоположный.
4. 4. Решите полученное рациональное неравенство.
5. 5. Пересеките решение с ОДЗ — это и есть ответ.

Неравенство с переменным основанием (метод рационализации)

Основание логарифма содержит x, разбор двух случаев громоздок.

1. 1. Выпишите ОДЗ: a(x)>0, a(x)≠1, f(x)>0, g(x)>0.
2. 2. Замените разность log_{a} f - log_{a} g на равносильное выражение по правилу знаков: знак log_{a} f - log_{a} g совпадает со знаком (a-1)(f-g).
3. 3. Решите полученное рациональное неравенство методом интервалов.
4. 4. Пересеките с ОДЗ и запишите ответ.

Логарифмирование уравнения

Показательно-степенное уравнение вида f(x)^{g(x)} = h(x) или с переменной и в основании, и в показателе.

1. 1. Убедитесь, что обе части положительны (это часть ОДЗ).
2. 2. Прологарифмируйте обе части по удобному основанию.
3. 3. Используйте свойство log a^p = p log a, чтобы опустить показатель.
4. 4. Решите полученное уравнение и проверьте корни по ОДЗ.

Типичные ошибки

• - ❌ Решают log_a f(x) = c, сразу пишут f(x)=a^c и не проверяют ОДЗ. → ✅ Всегда выписывают f(x)>0 и отбирают корни; иногда часть корней посторонняя.. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому переход к a^c обязательно сопровождается проверкой.
• - ❌ В неравенстве с основанием 0<a<1 сохраняют знак: из log_{0,5} f > log_{0,5} g делают f>g. → ✅ При основании меньше 1 знак неравенства между аргументами меняется: f<g (и оба положительны).. Логарифмическая функция с основанием из (0;1) убывает, поэтому большему логарифму отвечает меньший аргумент.
• - ❌ Пишут log_a x^2 = 2 log_a x без оговорок. → ✅ Верно log_a x^2 = 2 log_a |x|, так как x^2>0 и при отрицательном x левая часть определена, а log_a x — нет.. Чётная степень делает аргумент положительным при любом x≠0, поэтому теряются значения x<0, если не поставить модуль.
• - ❌ Раскрывают log_a(x+y) как log_a x + log_a y. → ✅ Свойство суммы работает только для произведения: log_a(xy)=log_a x+log_a y. Логарифм суммы не раскрывается.. Свойства логарифма связывают произведение/частное со сложением/вычитанием, но не логарифм суммы аргументов.
• - ❌ В уравнении log_x(2x-1)=1 забывают про условие на основание. → ✅ Требуют x>0, x≠1, 2x-1>0 одновременно, лишь затем решают.. Когда основание переменное, к обычному ОДЗ добавляются условия a>0 и a≠1, иначе логарифм не существует.
• - ❌ После замены t=log_a x находят t и записывают его как ответ. → ✅ Обязательно возвращаются к x: x=a^{t}, и только затем проверяют ОДЗ.. Замена — промежуточный шаг; искомая величина — сама переменная x, а не вспомогательная t.

Коротко

• - Логарифм существует только для положительного аргумента; основание положительно и не равно 1 — проверяй ОДЗ первым делом.
• - $\log_a 1 = 0$ и $\log_a a = 1$ при любом допустимом основании.
• - Основание $>1$ — функция растёт, знак неравенства сохраняется; основание из $(0;1)$ — функция убывает, знак меняется.
• - $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, но $\log_a(x+y)$ не раскрывается.
• - $\log_a x^{2}=2\log_a|x|$ — не забывай модуль при чётной степени.
• - Число $c$ превращается в логарифм: $c=\log_a a^{c}$ — удобно для сравнения.
• - $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ и $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ — переход к новому основанию.
• - После замены $t=\log_a x$ обязательно возвращайся к $x=a^{t}$.

Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.