Задачи на проценты, смеси и сплавы в ЕГЭ: как решать

Тема объединяет базовую работу с процентами (нахождение процента от числа, процентное изменение, обратный пересчёт) и текстовые задачи на смеси, растворы и сплавы, где ключевую роль играет закон сохранения массы чистого вещества. Главная идея всех задач на смеси: при любом смешивании общая масса вещества складывается, а концентрация пересчитывается через отношение массы вещества к массе всего раствора. Уверенное владение переходом «процент — доля единицы — коэффициент» и умение составлять уравнение баланса вещества (или применять правило креста) закрывают подавляющее большинство задач этого блока.

Формулы

• - Процент от числа: \(p\%\ \text{от}\ a = \dfrac{p}{100}\cdot a\) — Базовое действие: перевести проценты в долю единицы и умножить.
• - Какую долю в процентах составляет b от a: \(\dfrac{b}{a}\cdot 100\%\) — a — база (то, с чем сравниваем), берётся за 100%.
• - Увеличение на p процентов: \(a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\) — Множитель роста. Для 20% — коэффициент 1,2.
• - Уменьшение на p процентов: \(a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\) — Множитель убыли. Для 20% — коэффициент 0,8.
• - Обратный пересчёт (найти исходное): \(a = \dfrac{b}{1+\dfrac{p}{100}}\) — Если b — величина после роста на p%, то делим, а не вычитаем проценты.
• - Последовательные (сложные) изменения: \(a\cdot\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)\cdots\) — Коэффициенты перемножаются; проценты напрямую НЕ складываются.
• - Масса вещества в растворе: \(m_{\text{в-ва}} = c\cdot m_{\text{раствора}}\) — Из определения концентрации; основной рабочий переход в задачах на смеси.
• - Уравнение баланса при смешивании: \(c_1 m_1 + c_2 m_2 = c\,(m_1+m_2)\) — Масса чистого вещества сохраняется. Ядро всех задач на сплавы.
• - Концентрация смеси: \(c = \dfrac{c_1 m_1 + c_2 m_2}{m_1 + m_2}\) — Итоговая доля — это «взвешенное среднее» долей по массам.
• - Правило креста (отношение масс): \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{c_2 - c}{c - c_1}\) — Для получения заданной концентрации c из двух сплавов c_1 и c_2 (c_1 < c < c_2).

Свойства и правила

• - Явно фиксируй базу (что есть 100%): \(a \to 100\%\) — Проценты всегда считаются от конкретной величины. Смена базы (было/стало, от чего именно) — источник большинства ошибок.
• - Закон сохранения вещества: \(\sum c_i m_i = c\,\sum m_i\) — При смешивании складываются массы каждого компонента и общие массы; концентрации сами по себе не складываются.
• - Проценты последовательных изменений не складываются: \(+20\%\ \text{и}\ -20\% \Rightarrow 1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96 \ne 1\) — Итог рост/спад считается перемножением коэффициентов.
• - Чистое вещество и растворитель — крайние концентрации: \(c_{\text{чистое}} = 1,\quad c_{\text{вода}} = 0\) — Добавляя чистый компонент, берём c=100%; добавляя воду — c=0%.
• - При добавлении/выпаривании воды масса вещества не меняется: \(m_{\text{в-ва}} = \text{const}\) — Меняется только знаменатель (масса раствора); это упрощает уравнение.

Как решать: методы

Перевод в коэффициенты (доля единицы)

Любые задачи на процент от числа, рост/убыль, скидки и наценки.

1. 1. Определи базовую величину — что принимаем за 100%.
2. 2. Переведи проценты в множитель: рост на p% → (1+p/100), убыль → (1−p/100).
3. 3. Умножь базу на множитель; для «найти исходное» — раздели итог на множитель.

Уравнение баланса вещества

Смешивание растворов/сплавов, добавление воды или чистого компонента, требуется найти массу или концентрацию.

1. 1. Введи массы всех порций и их концентрации (долей единицы).
2. 2. Запиши массу чистого вещества в каждой порции как c_i·m_i.
3. 3. Приравняй сумму масс вещества до и после: Σc_i m_i = c·Σm_i.
4. 4. Реши линейное уравнение относительно неизвестного (массы или c).

Табличный метод

Задачи с несколькими растворами и переливаниями, где легко запутаться.

1. 1. Построй таблицу со столбцами: масса раствора, концентрация (доля), масса вещества.
2. 2. Заполни известные ячейки; третий столбец = произведение первых двух.
3. 3. Просуммируй столбцы «масса раствора» и «масса вещества» с учётом операции.
4. 4. Из связи трёх столбцов итоговой строки получи уравнение и реши.

Правило креста (алгебраический вид)

Нужно сплавить/смешать два раствора известных концентраций в заданную концентрацию — найти их отношение масс.

1. 1. Убедись, что искомая концентрация c лежит между c_1 и c_2.
2. 2. Отношение масс m_1:m_2 = (c_2−c):(c−c_1).
3. 3. Если задана суммарная масса — раздели её пропорционально найденному отношению.
4. 4. Проверь подстановкой в баланс c_1m_1+c_2m_2=c(m_1+m_2).

Последовательные изменения через произведение

Величина меняется в несколько этапов (подорожание, потом скидка и т.п.).

1. 1. Каждому этапу сопоставь множитель (1±p_i/100).
2. 2. Перемножь все множители.
3. 3. Сравни итоговый коэффициент с 1: больше 1 — суммарный рост, меньше — убыль.
4. 4. Итоговое изменение в процентах = (произведение−1)·100%.

Замена части раствора

Из раствора отливают часть и доливают воду или другой раствор (иногда несколько раз).

1. 1. Найди массу вещества до операции: m_в = c·m.
2. 2. При отливании доли k массы уходит доля k вещества: остаётся m_в·(1−k).
3. 3. При доливке пересчитай новую концентрацию: масса вещества / новая масса раствора.
4. 4. При повторении операции применяй шаги циклически (или через степень множителя).

Обратный пересчёт базы

Известна величина ПОСЛЕ изменения и процент изменения, нужно найти исходную.

1. 1. Определи, что было базой (100%) — это исходная неизвестная a.
2. 2. Запиши итог как a·(1±p/100)=b.
3. 3. Вырази a = b/(1±p/100) — именно делением, а не вычитанием процентов.
4. 4. Проверь: применив процент к найденному a, должен получиться b.

Типичные ошибки

• - ❌ 20% + 20% при последовательных изменениях считают как 40% → ✅ Перемножают коэффициенты: 1,2·1,2=1,44, то есть рост на 44%. Второй процент берётся уже от новой (изменённой) базы, а не от исходной.
• - ❌ Подорожание на 20% и скидку 20% считают взаимно компенсирующими (итог 0%) → ✅ 1,2·0,8=0,96 — итог дешевле исходного на 4%. Скидка 20% берётся от увеличенной цены, поэтому в абсолюте она больше наценки.
• - ❌ Складывают концентрации растворов: 30% и 80% дают 110% или среднее 55% независимо от масс → ✅ Складывают массы вещества: (0,3·m_1+0,8·m_2)/(m_1+m_2). Сохраняется масса чистого вещества, а не проценты; итог — среднее, взвешенное по массам.
• - ❌ Найти исходную цену: из цены 600 после роста на 20% вычитают 20% и получают 480 → ✅ Делят на множитель: 600/1,2=500. 20% роста считались от исходной цены (базы), а не от итоговой 600, поэтому нужно деление.
• - ❌ При доливке воды считают, что масса соли тоже растёт → ✅ Масса растворённого вещества не меняется, растёт только масса раствора. Вода не содержит вещества (c=0), она увеличивает лишь знаменатель концентрации.
• - ❌ Путают процентные пункты и проценты: рост доли с 20% до 25% называют ростом на 5% → ✅ Это рост на 5 процентных пунктов, но на 25% в относительном выражении (5/20). Пункты — арифметическая разность долей; проценты роста считаются от исходного значения доли.

Коротко

• - Процент — это сотая доля: p% = p/100. Скидка/наценка — умножение на (1±p/100).
• - Рост на 100% — это удвоение (×2); на 50% — ×1,5; вдвое меньше — это −50%.
• - Последовательные изменения перемножаются: +25% и −20% дают 1,25·0,8=1 (без изменений).
• - В задачах на смеси складывай массы вещества, а не проценты.
• - Ядро задач на сплавы: c₁m₁+c₂m₂=c(m₁+m₂).
• - Добавили воду — масса вещества та же, меняется только масса раствора.
• - Чистое вещество: c=100%, вода: c=0%.
• - «Найти исходную величину» после роста на p% — делить на (1+p/100), а не вычитать проценты.
• - Процентные пункты ≠ проценты: с 20% до 24% — это +4 п.п., но +20% относительно.
• - Правило креста: m₁:m₂=(c₂−c):(c−c₁), искомая концентрация лежит между исходными.

Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.