Тема объединяет базовую работу с процентами (нахождение процента от числа, процентное изменение, обратный пересчёт) и текстовые задачи на смеси, растворы и сплавы, где ключевую роль играет закон сохранения массы чистого вещества. Главная идея всех задач на смеси: при любом смешивании общая масса вещества складывается, а концентрация пересчитывается через отношение массы вещества к массе всего раствора. Уверенное владение переходом «процент — доля единицы — коэффициент» и умение составлять уравнение баланса вещества (или применять правило креста) закрывают подавляющее большинство задач этого блока.
Формулы и свойства
Процент от числа
\[p\%\ \text{от}\ a = \dfrac{p}{100}\cdot a\]
Базовое действие: перевести проценты в долю единицы и умножить.
Какую долю в процентах составляет b от a
\[\dfrac{b}{a}\cdot 100\%\]
a — база (то, с чем сравниваем), берётся за 100%.
Увеличение на p процентов
\[a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\]
Множитель роста. Для 20% — коэффициент 1,2.
Уменьшение на p процентов
\[a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\]
Множитель убыли. Для 20% — коэффициент 0,8.
Обратный пересчёт (найти исходное)
\[a = \dfrac{b}{1+\dfrac{p}{100}}\]
Если b — величина после роста на p%, то делим, а не вычитаем проценты.
Последовательные (сложные) изменения
\[a\cdot\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)\cdots\]
Коэффициенты перемножаются; проценты напрямую НЕ складываются.
Масса вещества в растворе
\[m_{\text{в-ва}} = c\cdot m_{\text{раствора}}\]
Из определения концентрации; основной рабочий переход в задачах на смеси.
Уравнение баланса при смешивании
\[c_1 m_1 + c_2 m_2 = c\,(m_1+m_2)\]
Масса чистого вещества сохраняется. Ядро всех задач на сплавы.
Концентрация смеси
\[c = \dfrac{c_1 m_1 + c_2 m_2}{m_1 + m_2}\]
Итоговая доля — это «взвешенное среднее» долей по массам.
Правило креста (отношение масс)
\[\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{c_2 - c}{c - c_1}\]
Для получения заданной концентрации c из двух сплавов \(c_1\) и \(c_2 (c_1 < c < c_2\)).
Явно фиксируй базу (что есть 100%)
\[a \to 100\%\]
Проценты всегда считаются от конкретной величины. Смена базы (было/стало, от чего именно) — источник большинства ошибок.
Закон сохранения вещества
\[\sum c_i m_i = c\,\sum m_i\]
При смешивании складываются массы каждого компонента и общие массы; концентрации сами по себе не складываются.
Проценты последовательных изменений не складываются
\[+20\%\ \text{и}\ -20\% \Rightarrow 1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96 \ne 1\]
Итог рост/спад считается перемножением коэффициентов.
Чистое вещество и растворитель — крайние концентрации
\[c_{\text{чистое}} = 1,\quad c_{\text{вода}} = 0\]
Добавляя чистый компонент, берём c=100%; добавляя воду — c=0%.
При добавлении/выпаривании воды масса вещества не меняется
\[m_{\text{в-ва}} = \text{const}\]
Меняется только знаменатель (масса раствора); это упрощает уравнение.
PDF бесплатно
Забрать шпаргалкиЗабери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как решать: методы
Перевод в коэффициенты (доля единицы)
Любые задачи на процент от числа, рост/убыль, скидки и наценки.
- Определи базовую величину — что принимаем за 100%.
- Переведи проценты в множитель: рост на p% → (1+p/100), убыль → (1−p/100).
- Умножь базу на множитель; для «найти исходное» — раздели итог на множитель.
Уравнение баланса вещества
Смешивание растворов/сплавов, добавление воды или чистого компонента, требуется найти массу или концентрацию.
- Введи массы всех порций и их концентрации (долей единицы).
- Запиши массу чистого вещества в каждой порции как \(c_i·m_i\).
- Приравняй сумму масс вещества до и после: \(Σc_i m_i =\) \(c·Σm_i\).
- Реши линейное уравнение относительно неизвестного (массы или c).
Табличный метод
Задачи с несколькими растворами и переливаниями, где легко запутаться.
- Построй таблицу со столбцами: масса раствора, концентрация (доля), масса вещества.
- Заполни известные ячейки; третий столбец = произведение первых двух.
- Просуммируй столбцы «масса раствора» и «масса вещества» с учётом операции.
- Из связи трёх столбцов итоговой строки получи уравнение и реши.
Правило креста (алгебраический вид)
Нужно сплавить/смешать два раствора известных концентраций в заданную концентрацию — найти их отношение масс.
- Убедись, что искомая концентрация c лежит между \(c_1\) и \(c_2\).
- Отношение масс \(m_1:m_2 =\) \((c_2−c):(c−c_1\)).
- Если задана суммарная масса — раздели её пропорционально найденному отношению.
- Проверь подстановкой в баланс \(c_1m_1+c_2m_2=c(m_1+m_2\)).
Последовательные изменения через произведение
Величина меняется в несколько этапов (подорожание, потом скидка и т.п.).
- Каждому этапу сопоставь множитель \((1±p_i/100\)).
- Перемножь все множители.
- Сравни итоговый коэффициент с 1: больше 1 — суммарный рост, меньше — убыль.
- Итоговое изменение в процентах = (произведение−1)·100%.
Замена части раствора
Из раствора отливают часть и доливают воду или другой раствор (иногда несколько раз).
- Найди массу вещества до операции: \(m_в =\) c·m.
- При отливании доли k массы уходит доля k вещества: остаётся \(m_в·(1−k\)).
- При доливке пересчитай новую концентрацию: масса вещества / новая масса раствора.
- При повторении операции применяй шаги циклически (или через степень множителя).
Обратный пересчёт базы
Известна величина ПОСЛЕ изменения и процент изменения, нужно найти исходную.
- Определи, что было базой (100%) — это исходная неизвестная a.
- Запиши итог как a·(1±p/100)=b.
- Вырази a = b/(1±p/100) — именно делением, а не вычитанием процентов.
- Проверь: применив процент к найденному a, должен получиться b.
Задачи на проценты в 11 классе и на ЕГЭ
В 11 классе проценты возвращаются уже не как отдельная тема, а как язык двух заданий профильного ЕГЭ.
Задание 10 (текстовые задачи). Помимо смесей и сплавов, разобранных выше, встречаются:
- * Скидки и наценки: цену умножаем на коэффициент \(1\pm\dfrac{p}{100}\); две последовательные скидки перемножаются, а не складываются.
- * Вклады (сложные проценты): после \(n\) лет под \(p\%\) годовых сумма равна \(a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n}\) — каждый год процент начисляется на уже выросшую сумму.
- * «Было — стало»: сначала явно фиксируем, что берётся за 100% (это почти всегда «было»), потом составляем уравнение.
Задание 16 (экономическая задача). Кредиты и вклады — те же коэффициенты \(1+\dfrac{p}{100}\), но применённые по годам с платежами: долг сначала умножается на коэффициент, затем уменьшается на платёж. Вся техника процентов из этой статьи — фундамент для него.
Короткий самоконтроль для любого варианта: если в решении проценты складываются напрямую («скидка 20% и ещё 10% = 30%») — это ошибка, коэффициенты всегда перемножаются.
Типичные ошибки
❌ ошибка20% + 20% при последовательных изменениях считают как 40%
✅ верноПеремножают коэффициенты: 1,2·1,2=1,44, то есть рост на 44%
Второй процент берётся уже от новой (изменённой) базы, а не от исходной.
❌ ошибкаПодорожание на 20% и скидку 20% считают взаимно компенсирующими (итог 0%)
✅ верно1,2·0,8=0,96 — итог дешевле исходного на 4%
Скидка 20% берётся от увеличенной цены, поэтому в абсолюте она больше наценки.
❌ ошибкаСкладывают концентрации растворов: 30% и 80% дают 110% или среднее 55% независимо от масс
✅ верноСкладывают массы вещества: \((0,3·m_1+0,8·m_2)/(m_1+m_2\))
Сохраняется масса чистого вещества, а не проценты; итог — среднее, взвешенное по массам.
❌ ошибкаНайти исходную цену: из цены 600 после роста на 20% вычитают 20% и получают 480
✅ верноДелят на множитель: 600/1,2=500
20% роста считались от исходной цены (базы), а не от итоговой 600, поэтому нужно деление.
❌ ошибкаПри доливке воды считают, что масса соли тоже растёт
✅ верноМасса растворённого вещества не меняется, растёт только масса раствора
Вода не содержит вещества (c=0), она увеличивает лишь знаменатель концентрации.
❌ ошибкаПутают процентные пункты и проценты: рост доли с 20% до 25% называют ростом на 5%
✅ верноЭто рост на 5 процентных пунктов, но на 25% в относительном выражении (5/20)
Пункты — арифметическая разность долей; проценты роста считаются от исходного значения доли.
Коротко
Коротко
- Процент — это сотая доля: p% = p/100. Скидка/наценка — умножение на (1±p/100).
- Рост на 100% — это удвоение (×2); на 50% — ×1,5; вдвое меньше — это −50%.
- Последовательные изменения перемножаются: +25% и −20% дают 1,25·0,8=1 (без изменений).
- В задачах на смеси складывай массы вещества, а не проценты.
- Ядро задач на сплавы: c₁m₁+c₂m₂=c(m₁+m₂).
- Добавили воду — масса вещества та же, меняется только масса раствора.
- Чистое вещество: c=100%, вода: c=0%.
- «Найти исходную величину» после роста на p% — делить на (1+p/100), а не вычитать проценты.
- Процентные пункты ≠ проценты: с 20% до 24% — это +4 п.п., но +20% относительно.
- Правило креста: m₁:m₂=(c₂−c):(c−c₁), искомая концентрация лежит между исходными.
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
PDF бесплатно
Забрать шпаргалкиЗабери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.