Производная в ЕГЭ: задание 8 — геометрический смысл и касательная

Задание 8 профильного ЕГЭ проверяет, понимаешь ли ты геометрический смысл производной. Разберём, что это значит, и как не терять здесь баллы на ровном месте.

Что такое производная простыми словами

Производная f'(x) показывает скорость изменения функции. Главное для задания 8: производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке.

То есть если к графику провели касательную, то её угловой коэффициент k и есть значение производной:

f'(x0) = k = tg α

Как решать задание 8 по графику

Чаще всего дан график функции с касательной (или график самой производной). Алгоритм:

1. 1. Найди на касательной две удобные точки с целыми координатами.
2. 2. Посчитай наклон: изменение по вертикали делить на изменение по горизонтали.
3. 3. Учитывай знак: если функция убывает, наклон отрицательный.

Если дан график производной (частый вариант, задание 11): смотри не значения, а знак. Там, где график производной выше оси — функция возрастает, ниже оси — убывает. Нули со сменой знака дают точки экстремума.

Уравнение касательной

Если просят составить касательную в точке x0, используй формулу:

y = f(x0) + f'(x0)(x − x0)

Порядок действий: найди f(x0), потом f'(x) и f'(x0), подставь.

Типовые ошибки

• - Путают график функции и график производной. По графику производной читают знак, а не значения самой функции.
• - Забывают про знак наклона. Убывающая функция — отрицательная производная.
• - Ошибаются в производной косинуса: правильно (cos x)' = −sin x, со знаком минус.

Коротко

• - Производная — это наклон касательной.
• - Больше нуля — функция растёт, меньше нуля — убывает.
• - В задании 8 главное аккуратно посчитать наклон по двум точкам.

Разбор всех заданий с производной, шпаргалку с формулами и ежедневные задачи забирай в нашем боте и канале.