Задание 8 профильного ЕГЭ проверяет, понимаешь ли ты геометрический смысл производной. Разберём, что это значит, и как не терять здесь баллы на ровном месте.
Что такое производная простыми словами
Производная f'(x) показывает скорость изменения функции. Главное для задания 8: производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке.
То есть если к графику провели касательную, то её угловой коэффициент k и есть значение производной:
f'(x0) = k = tg α
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как решать задание 8 по графику
Чаще всего дан график функции с касательной (или график самой производной). Алгоритм:
- 1. Найди на касательной две удобные точки с целыми координатами.
- 2. Посчитай наклон: изменение по вертикали делить на изменение по горизонтали.
- 3. Учитывай знак: если функция убывает, наклон отрицательный.
Если дан график производной (частый вариант, задание 11): смотри не значения, а знак. Там, где график производной выше оси — функция возрастает, ниже оси — убывает. Нули со сменой знака дают точки экстремума.
Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм
Если просят составить уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), используй формулу:
\[ y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0) \]
Составление уравнения касательной
- Найди значение функции в точке касания: \(f(x_0)\).
- Найди производную \(f'(x)\) и вычисли \(f'(x_0)\) — это угловой коэффициент касательной.
- Подставь оба числа в формулу \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) и раскрой скобки.
- Проверь себя: прямая обязана проходить через точку \((x_0;\,f(x_0))\).
Если по условию касательная параллельна прямой \(y=kx+b\), точку касания ищут из условия \(f'(x_0)=k\): производная в точке касания равна угловому коэффициенту прямой.
Уравнение нормали. Нормаль — это перпендикуляр к касательной в точке касания. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны условием \(k_1 k_2=-1\), поэтому при \(f'(x_0)\neq 0\):
\[ y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}\,(x - x_0) \]
Типовые ошибки
- - Путают график функции и график производной. По графику производной читают знак, а не значения самой функции.
- - Забывают про знак наклона. Убывающая функция — отрицательная производная.
- - Ошибаются в производной косинуса: правильно (cos x)' = −sin x, со знаком минус.
Коротко
- - Производная — это наклон касательной.
- - Больше нуля — функция растёт, меньше нуля — убывает.
- - В задании 8 главное аккуратно посчитать наклон по двум точкам.
Разбор всех заданий с производной, шпаргалку с формулами и ежедневные задачи забирай в нашем боте и канале.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.