Таблица первообразных функций: формулы и примеры интегрирования

Первообразная функция и неопределённый интеграл: определения

Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке, если во всех его точках выполняется \(F'(x)=f(x)\). Простыми словами: первообразная — это функция, производная которой совпадает с исходной. Так как производная константы равна нулю, у одной функции бесконечно много первообразных, отличающихся лишь постоянным слагаемым \(C\).

Множество всех первообразных функции \(f(x)\) называют неопределённым интегралом и обозначают \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\). Для подготовки к экзаменам (в том числе по алгебре 11 класса) основным справочным материалом служит таблица первообразных функций — она позволяет мгновенно записать ответ для элементарных функций, не производя дифференцирования «в столбик» каждый раз. Удобная таблица первообразных 11 класс собирает самые частые случаи: степени, логарифмы, тригонометрию и экспоненты. Полная таблица первообразных интегралов экономит время на ЕГЭ и ОГЭ, когда нужно быстро найти неопределённый интеграл и перейти к вычислению площади или пути.

Таблица первообразных основных функций: степень, обратная, тригонометрия, экспонента

Ниже приведена таблица первообразных основных функций, покрывающая весь минимум для профильного ЕГЭ. В ней собраны формулы первообразных функций таблица для степеней, обратной величины, синуса, косинуса, экспоненты и показательной функции. Каждая строку легко проверяется дифференцированием: достаточно взять производную от правой части и убедиться, что получилась исходная функция. Эта таблица первообразных элементарных функций является основой; более редкие случаи (арктангенс, гиперболические) встречаются реже, но принцип работы с таблицей первообразных функций и интегралов остаётся тем же.

Примеры использования:

• * \(\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C\) — показатель увеличили на 1, разделили на новый.
• * \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\) — отдельный случай \(n=-1\).
• * \(\int \sin x\,dx = -\cos x+C\) — у синуса появляется минус, у косинуса — нет.
• * \(\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2}+C\) — делим на натуральный логарифм основания.

Проверка: \(\left(-\cos x\right)' = \sin x\), \(\left(\frac{x^4}{4}\right)' = x^3\). Таблица первообразных тригонометрических функций и степеней работает в обе стороны: интеграл — это ответ, производная — это контроль.

Первообразная сложных функций и линейности: как пользоваться таблицей

Реальные задачи ЕГЭ редко дают чистый \(\sin x\) или \(x^2\). Обычно встречаются суммы, постоянные множители и аргументы вида \(kx+b\). Здесь работают два главных приёма: линейность интеграла и правило для линейного аргумента. Таблица первообразных сложных функций не существует как готовый справочник — её собираешь сам, применяя свойства к строкам базовой таблицы. Зная таблицу первообразных функций для студентов (базовую), можно интегрировать любую комбинацию элементарных функций.

Линейность: постоянный множитель выносится за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов. \[ \int\big(af(x)+bg(x)\big)\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx \]

Линейный аргумент: если в таблице есть \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), то для аргумента \(kx+b\) \[ \int f(kx+b)\,dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C \] Пример: \(\int\cos 3x\,dx=\frac{1}{3}\sin 3x+C\). Проверка: \(\left(\frac{1}{3}\sin 3x\right)'=\frac{1}{3}\cdot\cos 3x\cdot 3=\cos 3x\).

Если нужно найти конкретную первообразную, проходящую через точку \((x_0;y_0)\), используют начальное условие: подставляют координаты в общий вид \(F(x)+C\) и решают уравнение на \(C\).

Частые вопросы

В чем разница между неопределённым и определённым интегралом? Неопределённый интеграл — это семейство функций \(F(x)+C\) (первообразных). Определённый интеграл \(\int_a^b f(x)\,dx\) — это конкретное число, равное \(F(b)-F(a)\) по формуле Ньютона–Лейбница. Первое ищут, когда просят «найти первообразную» или «вычислить неопределённый интеграл». Второе — для площадей, путей, работ.

Почему у синуса при интегрировании минус, а у косинуса — нет? Потому что \((\cos x)' = -\sin x\). Чтобы получить \(+\sin x\) после дифференцирования, нужно взять \(-\cos x\). А \((\sin x)' = \cos x\), поэтому интеграл косинуса — просто синус. Запомнить проще через проверку: продифференцируй свой ответ.

Как интегрировать \(\cos(5x-2)\)? Используй правило для линейного аргумента: первообразная от \(\cos\) — это \(\sin\), а коэффициент при \(x\) (то есть 5) уходит в знаменатель. Ответ: \(\frac{1}{5}\sin(5x-2)+C\). Проверь: \(\left(\frac{1}{5}\sin(5x-2)\right)' = \frac{1}{5}\cos(5x-2)\cdot 5 = \cos(5x-2)\).

Зачем нужна константа \(C\) и можно ли её не писать? Писать \(+C\) обязательно в неопределённом интеграле, так как ответ — это множество функций. Без \(C\) запись неполная и считается ошибкой. В определённом интеграле \(C\) сокращается при вычитании \(F(b)-F(a)\), поэтому его можно не писать на этапе поиска первообразной, но в финальном ответе на «неопределённый интеграл» оно должно быть.

Что делать, если функции нет в таблице? Попробуй преобразовать выражение: раскрой скобки, приведи к степеням, используй тригонометрические тождества (\(\sin^2+\cos^2=1\), формулы приведения), раздели дробь на слагаемые. Если после преобразований функция свелась к сумме элементарных — применяй линейность и таблицу.

По этой теме есть отдельный разбор: производная функции.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства степеней.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения в тригонометрии.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое логарифм.