Теорема Безу: формулировка, доказательство, примеры и схема Горнера

Теорема Безу — один из самых полезных инструментов при работе с многочленами. Она позволяет находить остаток от деления на линейный бином без выполнения длинного деления, а также быстро проверять, является ли число корнем многочлена. Ниже рассмотрим формулировку, доказательство, связь со схемой Горнера и типичные примеры, которые встречаются на ЕГЭ и ОГЭ.

Что такое теорема Безу: простыми словами и точная формулировка

Теорема Безу простыми словами гласит: если многочлен \(P(x)\) разделить на \(x-a\), то остаток от этого деления равен значению многочлена в точке \(x=a\). То есть, чтобы узнать остаток, достаточно подставить \(a\) в сам многочлен.

\[ \text{Если } P(x) = (x-a)Q(x) + R,\ \text{то } R = P(a). \]

Здесь \(Q(x)\) — неполное частное, а \(R\) — остаток, который, поскольку делитель \(x-a\) имеет степень 1, обязательно является постоянным (числом).

Доказательство теоремы Безу для многочленов

Пусть \(P(x)\) — многочлен степени \(n\). При делении на линейный многочлен \(x-a\) получаем представление

\[ P(x) = (x-a)Q(x) + R, \]

где степень \(R\) строго меньше степени делителя, то есть \(\deg R < 1\). Следовательно, \(R\) — это некоторая постоянная величина, обозначим её \(c\).

Подставим в равенство \(x = a\):

\[ P(a) = (a-a)Q(a) + c = 0\cdot Q(a) + c = c. \]

Таким образом, остаток \(c\) равен \(P(a)\). Это и есть формулировка теоремы Безу для многочленов.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства степеней и корней для преобразований.

Теорема Безу и схема Горнера: быстрый алгоритм деления

Схема Горнера (синтетическое деление) реализует именно то представление, которое используется в доказательстве теоремы Безу. Она позволяет за один проход найти коэффициенты неполного частного \(Q(x)\) и остаток \(R=P(a)\).

Рассмотрим многочлен

\[ P(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0. \]

Для заданного числа \(a\) составляем таблицу:

\[ \begin{array}{c|cccc} a & b_n & b_{n-1} & \dots & b_0 \\ \hline & & a\cdot & & \\ \end{array} \]

Сначала переписываем ведущий коэффициент \(b_n\). Затем каждый следующий столбец заполняем по правилу: к текущему коэффициенту добавляем произведение предыдущего результата и \(a\). Последняя полученная величина — это остаток \(P(a)\), а все предыдущие — коэффициенты \(Q(x)\) от степени \(n-1\) до \(0\).

Это алгоритм работает за \(O(n)\) операций, что особенно удобно при решении уравнений высоких степеней.

Примеры применения теоремы Безу: остатки, корни и разложение

Пример 1. Найдите остаток от деления \(P(x)=2x^3-5x^2+3x-7\) на \(x-2\).

По теореме Безу достаточно вычислить \(P(2)\):

\[ P(2)=2\cdot2^3-5\cdot2^2+3\cdot2-7=16-20+6-7=-5. \]

Остаток равен \(-5\).

Пример 2. Проверьте, является ли \(x=1\) корнем многочлена \(Q(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-1\).

Вычисляем \(Q(1)=1-3+2+1-1=0\). Поскольку остаток нулевой, \(x-1\) делит \(Q(x)\) без остатка, значит \(1\) — корень.

Пример 3. В многочлене \(R(x)=x^3+px^2-4x+8\) неизвестен коэффициент \(p\). Известно, что \(x=-2\) — корень. Найдите \(p\).

По теореме Безу \(R(-2)=0\):

\[ (-2)^3+p(-2)^2-4(-2)+8=-8+4p+8+8=4p+8=0\;\Rightarrow\;p=-2. \]

Пример 4. Разложите многочлен \(S(x)=x^3-6x^2+11x-6\) на множители, зная, что его корни — целые числа.

Перебираем делители свободного члена \(6\): \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Проверяем \(S(1)=0\) → \(x-1\) делитель. Делим схемой Горнера на \(x-1\):

\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Получаем частное \(x^2-5x+6\). Его легко факторизовать: \((x-2)(x-3)\). Итоговое разложение:

\[ S(x)=(x-1)(x-2)(x-3). \]

Примеры решения уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу

Решим уравнение \(x^4-5x^3+6x^2+4x-8=0\).

1. 1. Поиск целых корней. Делители свободного члена \(-8\): \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\).

Подставляем: \(f(1)=1-5+6+4-8=-2\neq0\); \(f(-1)=1+5+6-4-8=0\) → корень \(-1\).

1. 2. Снижение степени. Делим многочлен на \(x+1\) схемой Горнера:

\[ \begin{array}{c|ccccc} -1 & 1 & -5 & 6 & 4 & -8 \\ \hline & 1 & -6 & 12 & -8 & 0 \end{array} \]

Получаем частное \(x^3-6x^2+12x-8\).

1. 3. Повторный поиск корней у полученного кубика. Делители \(-8\): \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\).

Проверяем: \(g(2)=8-24+24-8=0\) → корень \(2\).

1. 4. Ещё одно деление на \(x-2\):

\[ \begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -6 & 12 & -8 \\ \hline & 1 & -4 & 4 & 0 \end{array} \]

Частное \(x^2-4x+4=(x-2)^2\).

1. 5. Собираем ответ:

\(x^4-5x^3+6x^2+4x-8=(x+1)(x-2)^3\). Следовательно, решения: \(x=-1\) (кратность 1) и \(x=2\) (кратность 3).

Этот же подход применим к уравнениям любой степени: находим целые корни через делители свободного члена, проверяем их теоремой Безу, снижаем степень схемой Горнера и решаем полученный нижний порядок.

По этой теме есть отдельный разбор: как решать квадратные уравнения через дискриминант.

По этой теме есть отдельный разбор: методы решения задач с параметром на корни уравнений.

Частые вопросы

Что такое теорема Безу простыми словами? Остаток от деления многочлена \(P(x)\) на линейный бином \(x-a\) равен значению многочлена в точке \(x=a\), то есть \(P(a)\).

Как пользоваться теоремой Безу для деления многочлена на \(x-a\)? Нужно вычислить \(P(a)\). Полученное число — искомый остаток. Если остаток ноль, то \(x-a\) делит многочлен без остатка.

В чем связь теоремы Безу и схемы Горнера? Схема Горнера реализует представление \(P(x)=(x-a)Q(x)+R\) в табличном виде, где последняя полученная величина — это остаток \(R=P(a)\), а предыдущие числа — коэффициенты неполного частного \(Q(x)\).

Как найти корень уравнения с помощью теоремы Безу? Подставляем кандидата в многочлен. Если результат равен нулю, то это число — корень, а соответствующий линейный множитель делит многочлен.

Каков остаток при делении многочлена \(P(x)\) на \(x-a\)? Остаток равен \(P(a)\), то есть значение многочлена в точке \(x=a\). Если \(P(a)=0\), то остаток отсутствует и \(x-a\) — фактор многочлена.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи ЕГЭ по теории чисел и делимости многочленов.