Тригонометрия в ЕГЭ: формулы и как решать уравнения

Тема охватывает определения тригонометрических функций числового аргумента, основные тождества (связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом), формулы приведения, суммы и разности, двойного и половинного аргумента, а также технику решения простейших и составных тригонометрических уравнений с корректной записью серий корней и отбором на отрезке. На ЕГЭ проверяется в задании 6 (вычисление значений выражений), 9 (преобразование и упрощение) и 13 (решение уравнения плюс отбор корней с помощью ОДЗ или единичной окружности).

Формулы

• - Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — Из него выражают синус через косинус и наоборот; знак ставят по четверти.
• - Связь тангенса и косинуса: \(1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) — Верна при $\cos\alpha\neq0$. Аналогично $1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$.
• - Косинус суммы и разности: \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) — Знак в правой части противоположен знаку слева.
• - Синус суммы и разности: \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) — Знак в правой части совпадает со знаком слева.
• - Тангенс суммы: \(\tg(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tg\alpha\pm\tg\beta}{1\mp\tg\alpha\,\tg\beta}\) — При условии, что все тангенсы определены.
• - Двойной аргумент: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) — Косинус двойного также равен $2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$.
• - Формулы понижения степени: \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2},\quad \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}\) — Ключ к уравнениям с квадратами синуса и косинуса.
• - Сумма в произведение: \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\) — Позволяет получить общий множитель и разложить на множители.
• - Корни уравнения косинуса: \(\cos x=a\ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\) — Только при $|a|\le 1$; иначе решений нет.
• - Корни уравнения синуса: \(\sin x=a\ \Rightarrow\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\) — Удобная альтернатива: две отдельные серии $x=\arcsin a+2\pi k$ и $x=\pi-\arcsin a+2\pi k$.
• - Корни уравнения тангенса: \(\tg x=a\ \Rightarrow\ x=\arctg a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\) — Обязательно учитывать ОДЗ $\cos x\neq0$.

Свойства и правила

• - Частные случаи для косинуса: \(\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n;\ \cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n\) — Эти три случая быстрее записывать одной серией, а не через $\pm\arccos a$.
• - Частные случаи для синуса: \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n;\ \sin x=1\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \sin x=-1\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\) — Запись $x=\pi n$ короче, чем $(-1)^k\cdot 0+\pi k$.
• - Чётность и нечётность: \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \tg(-\alpha)=-\tg\alpha\) — Косинус чётный, синус и тангенс нечётные.
• - Формулы приведения (правило): \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\) — При углах $\pi\pm\alpha,\ 2\pi\pm\alpha$ функция не меняется; при $\tfrac{\pi}{2}\pm\alpha,\ \tfrac{3\pi}{2}\pm\alpha$ синус меняется на косинус и наоборот. Знак — по четверти исходного угла.
• - Границы значений: \(-1\le\sin x\le 1,\quad -1\le\cos x\le 1\) — Уравнение вида $\sin x=a$ или $\cos x=a$ при $|a|>1$ решений не имеет — проверяй сразу.
• - Ограниченность суммы: \(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi),\quad R=\sqrt{a^2+b^2}\) — Метод вспомогательного угла: выражение принимает значения в $[-R;R]$.

Как решать: методы

Решение простейшего уравнения

Уравнение сведено к виду $\sin x=a$, $\cos x=a$ или $\tg x=a$.

1. 1. Проверить ОДЗ (для тангенса $\cos x\neq0$, для котангенса $\sin x\neq0$) и условие $|a|\le1$ для синуса/косинуса.
2. 2. Если $a$ — табличное или частный случай ($0,\pm1$), записать серию по короткой формуле.
3. 3. Иначе применить общую формулу корней с $\arcsin a$, $\arccos a$ или $\arctg a$.
4. 4. Записать ответ с параметром $n\in\mathbb{Z}$, не забывая $\pm$ у косинуса и $(-1)^k$ у синуса.

Замена переменной (сведение к квадратному)

В уравнении одна функция или всё выражается через неё: например, только $\cos x$ или только $\sin x$.

1. 1. С помощью основного тождества привести всё к одной функции (например, $\sin^2 x=1-\cos^2 x$).
2. 2. Ввести замену $t=\cos x$ (или $t=\sin x$) с ограничением $t\in[-1;1]$.
3. 3. Решить квадратное уравнение относительно $t$ и отбросить корни вне $[-1;1]$.
4. 4. Для каждого допустимого $t$ решить простейшее уравнение и объединить серии.

Разложение на множители

Есть общий множитель или уравнение приводится к произведению, равному нулю.

1. 1. Перенести всё в одну часть, приравняв к нулю.
2. 2. Вынести общий множитель или применить формулы суммы-в-произведение.
3. 3. Приравнять каждый множитель к нулю: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нуль.
4. 4. Решить полученные простейшие уравнения и объединить серии, проверив ОДЗ.

Однородное уравнение

Уравнение вида $a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0$ (все слагаемые одной степени).

1. 1. Проверить, что $\cos x=0$ не является решением (подставить); если является — учесть отдельно.
2. 2. Разделить обе части на $\cos^2 x$ (при $\cos x\neq0$).
3. 3. Получить квадратное уравнение относительно $\tg x$.
4. 4. Решить его и записать серии через $\arctg$.

Понижение степени

Присутствуют $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ или $\sin x\cos x$, мешающие разложению.

1. 1. Заменить $\sin^2 x=\tfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x=\tfrac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x=\tfrac12\sin 2x$.
2. 2. Привести подобные — обычно останется линейная комбинация $\sin 2x$ и $\cos 2x$.
3. 3. Свести к простейшему уравнению относительно двойного аргумента.
4. 4. Решить и вернуться к $x$.

Метод вспомогательного угла

Уравнение вида $a\sin x+b\cos x=c$.

1. 1. Вычислить $R=\sqrt{a^2+b^2}$ и разделить обе части на $R$.
2. 2. Записать коэффициенты как $\cos\varphi=\tfrac{a}{R}$, $\sin\varphi=\tfrac{b}{R}$, получив $\sin(x+\varphi)=\tfrac{c}{R}$.
3. 3. Проверить $\left|\tfrac{c}{R}\right|\le1$; если нет — решений нет.
4. 4. Решить простейшее уравнение относительно $x+\varphi$ и выразить $x$.

Отбор корней на отрезке

Вторая часть задания 13: выбрать корни, принадлежащие данному промежутку.

1. 1. Записать каждую серию корней в общем виде с параметром $n$.
2. 2. Для каждой серии решить двойное неравенство: подставить границы отрезка и найти целые $n$.
3. 3. Вычислить конкретные значения корней для найденных $n$.
4. 4. Записать в ответ только попавшие в промежуток значения (можно проверить по единичной окружности).

Учёт ОДЗ при отборе

В уравнении есть тангенс, котангенс или дроби с тригонометрией.

1. 1. До решения выписать ограничения: $\cos x\neq0$ и/или $\sin x\neq0$, знаменатели $\neq0$.
2. 2. Отметить запрещённые точки на окружности или записать сериями исключений.
3. 3. После нахождения корней исключить те, что нарушают ОДЗ.
4. 4. Только оставшиеся серии участвуют в записи ответа и отборе на отрезке.

Типичные ошибки

• - ❌ $\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\arccos\tfrac12+2\pi n$ → ✅ $x=\pm\arccos\tfrac12+2\pi n=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n$. У косинуса две симметричные серии — теряется знак минус, а с ним половина корней.
• - ❌ Делят однородное уравнение на $\cos x$ без проверки $\cos x=0$. → ✅ Сначала убедиться, что $\cos x=0$ не корень, и лишь потом делить на $\cos^2 x$.. Деление на выражение, которое может быть нулём, способно потерять корни или дать неверный переход.
• - ❌ $\sin x=1{,}2\Rightarrow x=\arcsin 1{,}2+\ldots$ → ✅ Решений нет, так как $|1{,}2|>1$.. Синус и косинус по модулю не превосходят единицы; арксинус от числа больше 1 не определён.
• - ❌ После $\tg x=1$ пишут ответ, забыв ОДЗ. → ✅ Указать $\cos x\neq0$ и проверить, что найденные корни ему удовлетворяют.. Игнорирование области определения приводит к посторонним корням в задании 13.
• - ❌ $\sqrt{\sin^2 x}=\sin x$ → ✅ $\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|$. Квадратный корень из квадрата даёт модуль; знак зависит от четверти, иначе теряются корни или появляются лишние.
• - ❌ При отборе на отрезке подбирают $n$ на глаз и берут лишние значения. → ✅ Решать неравенство $a\le x(n)\le b$ относительно $n$ и брать только целые решения.. Прикидка без неравенства ведёт к пропуску корней у границ промежутка или включению чужих.

Коротко

• - Косинус даёт $\pm$, синус — множитель $(-1)^k$, тангенс — просто $+\pi n$.
• - Период синуса и косинуса $2\pi$, тангенса и котангенса $\pi$.
• - Если $|a|>1$, то $\sin x=a$ и $\cos x=a$ решений не имеют.
• - Табличные: $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$, $\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tg\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3$.
• - $\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|$, а не $\sin x$.
• - Для тангенса всегда фиксируй ОДЗ $\cos x\neq0$ до записи ответа.
• - Однородное уравнение делят на $\cos^2 x$, проверив, что $\cos x=0$ не корень.
• - Отбор корней надёжнее делать через неравенство относительно $n$, а не подбором.

Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.