Тема охватывает определения тригонометрических функций числового аргумента, основные тождества (связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом), формулы приведения, суммы и разности, двойного и половинного аргумента, а также технику решения простейших и составных тригонометрических уравнений с корректной записью серий корней и отбором на отрезке. На ЕГЭ проверяется в задании 6 (вычисление значений выражений), 9 (преобразование и упрощение) и 13 (решение уравнения плюс отбор корней с помощью ОДЗ или единичной окружности).
Формулы и свойства
Основное тригонометрическое тождество
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
Из него выражают синус через косинус и наоборот; знак ставят по четверти.
Связь тангенса и косинуса
\[1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\]
Верна при \(\cos\alpha\neq0\). Аналогично \(1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\).
Косинус суммы и разности
\[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]
Знак в правой части противоположен знаку слева.
Синус суммы и разности
\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\]
Знак в правой части совпадает со знаком слева.
Тангенс суммы
\[\tg(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tg\alpha\pm\tg\beta}{1\mp\tg\alpha\,\tg\beta}\]
При условии, что все тангенсы определены.
Двойной аргумент
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
Косинус двойного также равен \(2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\).
Формулы понижения степени
\[\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2},\quad \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}\]
Ключ к уравнениям с квадратами синуса и косинуса.
Сумма в произведение
\[\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Позволяет получить общий множитель и разложить на множители.
Корни уравнения косинуса
\[\cos x=a\ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\]
Только при \(|a|\le 1\); иначе решений нет.
Корни уравнения синуса
\[\sin x=a\ \Rightarrow\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\]
Удобная альтернатива: две отдельные серии \(x=\arcsin a+2\pi k\) и \(x=\pi-\arcsin a+2\pi k\).
Корни уравнения тангенса
\[\tg x=a\ \Rightarrow\ x=\arctg a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\]
Обязательно учитывать ОДЗ \(\cos x\neq0\).
Частные случаи для косинуса
\[\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n;\ \cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n\]
Эти три случая быстрее записывать одной серией, а не через \(\pm\arccos a\).
Частные случаи для синуса
\[\sin x=0\Rightarrow x=\pi n;\ \sin x=1\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \sin x=-1\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\]
Запись \(x=\pi n\) короче, чем \((-1)^k\cdot 0+\pi k\).
Чётность и нечётность
\[\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \tg(-\alpha)=-\tg\alpha\]
Косинус чётный, синус и тангенс нечётные.
Формулы приведения (правило)
\[\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\]
При углах \(\pi\pm\alpha,\ 2\pi\pm\alpha\) функция не меняется; при \(\tfrac{\pi}{2}\pm\alpha,\ \tfrac{3\pi}{2}\pm\alpha\) синус меняется на косинус и наоборот. Знак — по четверти исходного угла.
Границы значений
\[-1\le\sin x\le 1,\quad -1\le\cos x\le 1\]
Уравнение вида \(\sin x=a\) или \(\cos x=a\) при \(|a|>1\) решений не имеет — проверяй сразу.
Ограниченность суммы
\[a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi),\quad R=\sqrt{a^2+b^2}\]
Метод вспомогательного угла: выражение принимает значения в \([-R;R]\).
PDF бесплатно
Забрать шпаргалкиЗабери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как решать: методы
Решение простейшего уравнения
Уравнение сведено к виду \(\sin x=a\), \(\cos x=a\) или \(\tg x=a\).
- Проверить ОДЗ (для тангенса \(\cos x\neq0\), для котангенса \(\sin x\neq0\)) и условие \(|a|\le1\) для синуса/косинуса.
- Если \(a\) — табличное или частный случай (\(0,\pm1\)), записать серию по короткой формуле.
- Иначе применить общую формулу корней с \(\arcsin a\), \(\arccos a\) или \(\arctg a\).
- Записать ответ с параметром \(n\in\mathbb{Z}\), не забывая \(\pm\) у косинуса и \((-1)^k\) у синуса.
Замена переменной (сведение к квадратному)
В уравнении одна функция или всё выражается через неё: например, только \(\cos x\) или только \(\sin x\).
- С помощью основного тождества привести всё к одной функции (например, \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\)).
- Ввести замену \(t=\cos x\) (или \(t=\sin x\)) с ограничением \(t\in[-1;1]\).
- Решить квадратное уравнение относительно \(t\) и отбросить корни вне \([-1;1]\).
- Для каждого допустимого \(t\) решить простейшее уравнение и объединить серии.
Разложение на множители
Есть общий множитель или уравнение приводится к произведению, равному нулю.
- Перенести всё в одну часть, приравняв к нулю.
- Вынести общий множитель или применить формулы суммы-в-произведение.
- Приравнять каждый множитель к нулю: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нуль.
- Решить полученные простейшие уравнения и объединить серии, проверив ОДЗ.
Однородное уравнение
Уравнение вида \(a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0\) (все слагаемые одной степени).
- Проверить, что \(\cos x=0\) не является решением (подставить); если является — учесть отдельно.
- Разделить обе части на \(\cos^2 x\) (при \(\cos x\neq0\)).
- Получить квадратное уравнение относительно \(\tg x\).
- Решить его и записать серии через \(\arctg\).
Понижение степени
Присутствуют \(\sin^2 x\), \(\cos^2 x\) или \(\sin x\cos x\), мешающие разложению.
- Заменить \(\sin^2 x=\tfrac{1-\cos 2x}{2}\), \(\cos^2 x=\tfrac{1+\cos 2x}{2}\), \(\sin x\cos x=\tfrac12\sin 2x\).
- Привести подобные — обычно останется линейная комбинация \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\).
- Свести к простейшему уравнению относительно двойного аргумента.
- Решить и вернуться к \(x\).
Метод вспомогательного угла
Уравнение вида \(a\sin x+b\cos x=c\).
- Вычислить \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) и разделить обе части на \(R\).
- Записать коэффициенты как \(\cos\varphi=\tfrac{a}{R}\), \(\sin\varphi=\tfrac{b}{R}\), получив \(\sin(x+\varphi)=\tfrac{c}{R}\).
- Проверить \(\left|\tfrac{c}{R}\right|\le1\); если нет — решений нет.
- Решить простейшее уравнение относительно \(x+\varphi\) и выразить \(x\).
Отбор корней на отрезке
Вторая часть задания 13: выбрать корни, принадлежащие данному промежутку.
- Записать каждую серию корней в общем виде с параметром \(n\).
- Для каждой серии решить двойное неравенство: подставить границы отрезка и найти целые \(n\).
- Вычислить конкретные значения корней для найденных \(n\).
- Записать в ответ только попавшие в промежуток значения (можно проверить по единичной окружности).
Учёт ОДЗ при отборе
В уравнении есть тангенс, котангенс или дроби с тригонометрией.
- До решения выписать ограничения: \(\cos x\neq0\) и/или \(\sin x\neq0\), знаменатели \(\neq0\).
- Отметить запрещённые точки на окружности или записать сериями исключений.
- После нахождения корней исключить те, что нарушают ОДЗ.
- Только оставшиеся серии участвуют в записи ответа и отборе на отрезке.
Формулы двойного угла: как применять
Формулы двойного угла — самый частый инструмент в задании 13. Особенно важен косинус: у него три равносильные формы, и выбор правильной экономит несколько строк решения.
Синус двойного угла
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\]
Работает и в обратную сторону: произведение синуса на косинус сворачивается в один синус.
Косинус двойного угла — три формы
\[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\]
Вторая форма — если в уравнении есть только косинус, третья — если только синус.
Тангенс двойного угла
\[\tg 2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\]
При условии, что оба тангенса определены.
Типовой ход в уравнении: \(\sin 2x=\cos x\) превращаем в \(2\sin x\cos x-\cos x=0\), выносим общий множитель — \(\cos x\,(2\sin x-1)=0\) — и решаем два простых уравнения. Делить на \(\cos x\) нельзя: потеряются корни.
Обратный приём — понижение степени: если в уравнении \(\sin^2 x\) или \(\cos^2 x\), заменяем их по формулам \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}\) и \(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}\) — квадраты исчезают, остаётся линейное уравнение относительно \(\cos 2x\).
Полный свод всех тригонометрических формул для ЕГЭ — выше, в разделе «Формулы и свойства»: тождества, суммы и разности, приведение, серии корней.
Типичные ошибки
❌ ошибка\(\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\arccos\tfrac12+2\pi n\)
✅ верно\(x=\pm\arccos\tfrac12+2\pi n=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\)
У косинуса две симметричные серии — теряется знак минус, а с ним половина корней.
❌ ошибкаДелят однородное уравнение на \(\cos x\) без проверки \(\cos x=0\).
✅ верноСначала убедиться, что \(\cos x=0\) не корень, и лишь потом делить на \(\cos^2 x\).
Деление на выражение, которое может быть нулём, способно потерять корни или дать неверный переход.
❌ ошибка\(\sin x=1{,}2\Rightarrow x=\arcsin 1{,}2+\ldots\)
✅ верноРешений нет, так как \(|1{,}2|>1\).
Синус и косинус по модулю не превосходят единицы; арксинус от числа больше 1 не определён.
❌ ошибкаПосле \(\tg x=1\) пишут ответ, забыв ОДЗ.
✅ верноУказать \(\cos x\neq0\) и проверить, что найденные корни ему удовлетворяют.
Игнорирование области определения приводит к посторонним корням в задании 13.
❌ ошибка\(\sqrt{\sin^2 x}=\sin x\)
✅ верно\(\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|\)
Квадратный корень из квадрата даёт модуль; знак зависит от четверти, иначе теряются корни или появляются лишние.
❌ ошибкаПри отборе на отрезке подбирают \(n\) на глаз и берут лишние значения.
✅ верноРешать неравенство \(a\le x(n)\le b\) относительно \(n\) и брать только целые решения.
Прикидка без неравенства ведёт к пропуску корней у границ промежутка или включению чужих.
Коротко
Коротко
- Косинус даёт \(\pm\), синус — множитель \((-1)^k\), тангенс — просто \(+\pi n\).
- Период синуса и косинуса \(2\pi\), тангенса и котангенса \(\pi\).
- Если \(|a|>1\), то \(\sin x=a\) и \(\cos x=a\) решений не имеют.
- Табличные: \(\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\), \(\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(\tg\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\).
- \(\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|\), а не \(\sin x\).
- Для тангенса всегда фиксируй ОДЗ \(\cos x\neq0\) до записи ответа.
- Однородное уравнение делят на \(\cos^2 x\), проверив, что \(\cos x=0\) не корень.
- Отбор корней надёжнее делать через неравенство относительно \(n\), а не подбором.
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
PDF бесплатно
Забрать шпаргалкиЗабери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.