Вероятность в ЕГЭ (задание 4): как решать классическую вероятность

Классическое определение вероятности применимо, когда у случайного опыта конечное число равновозможных исходов. Тогда вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех. Ключевые инструменты для задания 4 ЕГЭ: прямой подсчёт по формуле $P=\\dfrac{m}{n}$, комбинаторика (сочетания и правила суммы/произведения), а также свойства вероятности — сложение несовместных, умножение независимых событий и переход к противоположному событию. Важно уметь отличать равновозможные исходы от неравновозможных: классическая схема работает только для симметричных опытов (правильная монета/кубик, случайный выбор наугад).

Формулы

• - Классическое определение вероятности: \(P(A)=\dfrac{m}{n}\) — $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов
• - Границы вероятности: \(0\le P(A)\le 1\) — $P=0$ — невозможное событие, $P=1$ — достоверное
• - Вероятность противоположного события: \(P(\bar A)=1-P(A)\) — удобно, когда «прямых» исходов много, а «противоположных» мало (напр. «хотя бы один»)
• - Сложение несовместных событий: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) — только если $A$ и $B$ не могут произойти одновременно
• - Сложение произвольных событий: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) — формула включений-исключений для совместных событий
• - Умножение независимых событий: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) — события независимы: наступление одного не меняет вероятности другого
• - Число сочетаний: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) — число способов выбрать $k$ объектов из $n$ без учёта порядка
• - Правило произведения: \(N=n_1\cdot n_2\cdots n_k\) — если 1-й шаг можно сделать $n_1$ способами, 2-й — $n_2$ и т.д.
• - Вероятность через сочетания: \(P=\dfrac{C_{a}^{k}\cdot C_{b}^{\,r}}{C_{n}^{\,k+r}}\) — выбор наугад «нужных» и «остальных» объектов из партии

Свойства и правила

• - Условие применимости классической схемы: \(P(A)=\dfrac{m}{n}\) — исходов конечное число И они равновозможны; для «нечестных» кубиков/монет формула НЕ работает
• - Нормировка суммы вероятностей: \(\sum_i P(A_i)=1\) — сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1; сумма вероятностей полной группы несовместных событий тоже 1
• - Монотонность: \(A\subseteq B\ \Rightarrow\ P(A)\le P(B)\) — чем «шире» событие, тем больше его вероятность
• - Дополнение до 1: \(P(A)+P(\bar A)=1\) — основной приём для событий «хотя бы один», «не менее», «не все»
• - Совместность и несовместность: \(A\cap B=\varnothing\ \Rightarrow\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) — перед сложением проверь, могут ли события произойти вместе

Как решать: методы

Прямой подсчёт по формуле m/n

Опыт с конечным числом равновозможных исходов, которые легко перечислить (кубик, монета, выбор одного объекта)

1. 1. Определи, что такое один исход опыта, и убедись, что исходы равновозможны
2. 2. Посчитай общее число исходов $n$
3. 3. Посчитай число благоприятных исходов $m$ (перебором или подсчётом)
4. 4. Раздели: $P=\dfrac{m}{n}$ и сократи дробь
5. 5. При необходимости округли/переведи в десятичную дробь по условию

Перебор исходов для двух кубиков / двух бросков

Бросают две кости, монету дважды, сумма/произведение очков, совпадения

1. 1. Зафиксируй пространство исходов: для двух кубиков это упорядоченные пары, всего $6\cdot 6=36$
2. 2. Выпиши или пересчитай пары, дающие нужное условие (например сумму 8)
3. 3. Число таких пар — это $m$
4. 4. $P=\dfrac{m}{36}$ и сократи

Метод противоположного события

Формулировки «хотя бы один», «не менее одного», «хотя бы раз», где прямой перебор громоздкий

1. 1. Сформулируй противоположное событие $\bar A$ (обычно «ни разу», «ни одного»)
2. 2. Найди $P(\bar A)$ — часто это произведение вероятностей «неудач»
3. 3. Вычисли $P(A)=1-P(\bar A)$
4. 4. Проверь: ответ должен лежать в $[0;1]$

Комбинаторный подсчёт через сочетания

Из партии/группы наугад берут несколько объектов, порядок не важен (детали, шары, команды)

1. 1. Общее число способов выбрать $k$ объектов из $n$: $C_n^k$ — это знаменатель
2. 2. Разбей нужный набор на части (годные/бракованные и т.п.) и посчитай число благоприятных выборов произведением сочетаний
3. 3. Подставь в $P=\dfrac{\text{благоприятные}}{C_n^k}$
4. 4. Сократи дробь и вычисли

Правило умножения для независимых испытаний

Несколько независимых стрелков/приборов/бросков, нужно «все сработали», «оба попали»

1. 1. Убедись, что события независимы (исход одного не влияет на другой)
2. 2. Перемножь вероятности нужных исходов: $P=p_1\cdot p_2\cdots$
3. 3. Для комбинированных условий разбей на несовместные случаи и сложи их вероятности
4. 4. Проверь границы результата

Дерево / разбиение на несовместные случаи

Событие происходит несколькими взаимоисключающими способами (например «ровно один из двух попал»)

1. 1. Перечисли все несовместные сценарии, дающие событие
2. 2. Для каждого сценария найди вероятность (обычно произведением)
3. 3. Сложи вероятности всех сценариев
4. 4. Убедись, что сценарии не пересекаются и покрывают всё событие

Приём с вероятностью-долей (частотный)

В условии заданы количества (сколько всего, сколько нужных), выбор наугад одного объекта

1. 1. Найди общее количество объектов $n$
2. 2. Найди количество «нужных» объектов $m$
3. 3. $P=\dfrac{m}{n}$; если условие про «не такой» объект — используй $\dfrac{n-m}{n}$
4. 4. Сократи дробь

Типичные ошибки

• - ❌ Применять $P=\dfrac{m}{n}$ к неравновозможным исходам (например «выпадет или орёл, или два орла» как 1 из 2) → ✅ Сначала свести опыт к равновозможным элементарным исходам (упорядоченные пары бросков), и только потом считать долю. Классическая формула верна лишь для равновозможных исходов; иначе доля не равна вероятности
• - ❌ Для двух кубиков брать $n=11$ (суммы от 2 до 12) или считать пары $(2,5)$ и $(5,2)$ за одну → ✅ Пространство исходов — 36 упорядоченных пар; $(2,5)$ и $(5,2)$ различны. Суммы неравновозможны: сумма 7 встречается чаще суммы 2. Равновозможны именно пары
• - ❌ Складывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно, без вычитания пересечения → ✅ Для совместных событий $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; складывать напрямую можно только несовместные. Иначе общие исходы учитываются дважды и вероятность завышается (может превысить 1)
• - ❌ Событие «хотя бы один» считать как сумму вероятностей отдельных попаданий стрелков → ✅ Использовать $P=1-P(\text{ни одного})=1-\prod(1-p_i)$. Простое сложение переучитывает случаи, когда попали несколько; правильный путь — через противоположное событие
• - ❌ Перемножать вероятности зависимых событий (выбор без возврата) как независимых → ✅ При выборе без возврата пересчитывать состав после каждого шага или считать через сочетания $C_n^k$. После изъятия объекта меняются и число благоприятных, и общее число исходов
• - ❌ Оставлять ответ несокращённой дробью или неверно округлять (0.375 записать как 0,4 без указания в условии) → ✅ Сократить дробь и округлять строго по требованию задания (обычно до сотых). В ЕГЭ ответ сверяется точно; лишнее/неверное округление засчитывается как ошибка

Коротко

• - Классика работает ТОЛЬКО для равновозможных исходов (честный кубик/монета, выбор наугад).
• - Вероятность всегда в пределах от 0 до 1; если получилось больше 1 — ошибка.
• - Два кубика: всегда 36 упорядоченных пар, а не 11 сумм.
• - «Хотя бы один» → считай через $1-P(\text{ни одного})$.
• - Независимые события «и…и» → перемножай; несовместные «или…или» → складывай.
• - Выбор без возврата → сочетания $C_n^k$ или пересчёт состава после каждого шага.
• - Ответ сокращай и округляй строго как требует условие (обычно до сотых).

Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.