Теперь верну исправленную статью целиком — только блок :::formulas меняется: убираю \( \) вокруг каждой формулы.
--- title: Задание 16 ОГЭ математика 9 класс 2026: разбор и тренажёр description: Разбор задания 16 ОГЭ по математике 9 класс 2026: что проверяется, нужная теория и типовые условия с решениями. Тренажёр для самостоятельной работы. slug: zadanie-16-oge-matematika-9-klass keywords: [задание 16 огэ математика 9 класс, задание 16 огэ математика 9 класс 2026, задание 16 огэ математика самостоятельная работа, задание 16 огэ математика 9 класс 2026 тренажер, задание 16 огэ математика, огэ математика 9 класс 2026] author: Алмаз date: 2026-08-06 cluster: ege ---
Что такое задание 16 ОГЭ по математике 9 класс
Задание 16 находится в части 2 экзамена — той, где требуется записывать полное решение с обоснованиями. Это задача по планиметрии: могут встретиться треугольники, четырёхугольники, окружности и их сочетания.
За задание 16 ОГЭ математика 9 класс начисляется до 3 баллов. Критерии многоступенчатые: 0 баллов за отсутствие решения, 1–2 балла за частично верное рассуждение, 3 балла за полное правильно оформленное решение. Именно из-за этой ступенчатости его и боятся — одна пропущенная фраза в обосновании снимает балл.
По сложности задание находится в середине части 2: оно сложнее задач на уравнения и неравенства, но проще последней задачи с доказательством. При хорошей подготовке реально решить полностью за 15–20 минут.
Коротко
- Часть экзамена: часть 2 (развёрнутый ответ)
- Тема: планиметрия — треугольники, четырёхугольники, окружности
- Максимальный балл: 3 балла
- Время на решение: 15–20 минут
- Проверяется: знание теорем, умение строить чертёж, грамотное оформление
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Теория для задания 16 ОГЭ: формулы и теоремы
Ниже — только то, что реально нужно для задания 16 ОГЭ математика 9 класс 2026. Теорем много, но 90% задач решаются на базе пяти блоков.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\):
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполнено хотя бы одно условие:
- - два угла одного равны двум углам другого (признак АА);
- - две стороны пропорциональны и угол между ними равен (признак СУС);
- - три стороны пропорциональны (признак ССС).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\dfrac{S_1}{S_2} = k^2\).
Свойства вписанной окружности. Центр (инцентр) лежит на пересечении биссектрис, окружность касается каждой стороны изнутри. Радиус: \(r = S/p\).
Свойства описанной окружности. Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров. В прямоугольном треугольнике центр совпадает с серединой гипотенузы, радиус равен её половине.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Коротко
- Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы
- Сумма углов треугольника = 180°
- Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине
По этой теме есть отдельный разбор: шпаргалку с формулами ОГЭ 2026.
Разбор задания 16 ОГЭ математика 9 класс 2026 — типовые варианты
Задача 1. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
Условие. В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 6, BC = 8. Найдите радиус вписанной окружности.
- Метод: полупериметр и площадь
- Шаг 1. Начертить треугольник ABC с прямым углом C, обозначить вписанную окружность с центром I
- Шаг 2. Найти гипотенузу по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
- Шаг 3. Вычислить полупериметр: \( p = \dfrac{AC + BC + AB}{2} = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)
- Шаг 4. Вычислить площадь: \( S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \)
- Шаг 5. Найти радиус: \( r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{24}{12} = 2 \)
- Шаг 6. Проверка через специальную формулу для прямоугольного треугольника: \( r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2 \) — совпадает
Ответ: \( r = 2 \)
---
Задача 2. Медиана к гипотенузе
Условие. В треугольнике ABC угол B = 90°, AB = 6, BC = 8. Медиана BM проведена к AC. Найдите BM.
- Метод: свойство медианы в прямоугольном треугольнике
- Шаг 1. Начертить треугольник ABC с прямым углом B, обозначить M — середину AC
- Шаг 2. Найти гипотенузу: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
- Шаг 3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Значит, все вершины равноудалены от M, в том числе \( BM = AM = CM \)
- Шаг 4. Применить свойство: \( BM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \)
Ответ: \( BM = 5 \)
---
Задача 3. Подобие треугольников и отношение площадей
Условие. В треугольнике ABC точка D лежит на AB, точка E — на BC, DE ∥ AC. Дано: BD = 4, DA = 8. Найдите отношение \(\dfrac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle ABC}}\).
- Метод: признак подобия АА и свойство площадей
- Шаг 1. Начертить треугольник ABC, отметить D на AB и E на BC так, что DE ∥ AC
- Шаг 2. Так как DE ∥ AC, углы BDE и BAC равны как соответственные при параллельных прямых. Угол B — общий. По признаку АА треугольники BDE и BAC подобны
- Шаг 3. Найти коэффициент подобия: \( BA = BD + DA = 4 + 8 = 12 \), поэтому \( k = \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \)
- Шаг 4. Отношение площадей: \( \dfrac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle BAC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} \)
Ответ: \( \dfrac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{9} \)
Тренажёр: задание 16 ОГЭ математика 9 класс 2026
Задачи расположены по нарастающей сложности. Рекомендуется решить каждую самостоятельно и только потом открывать подсказку или ответ.
---
Задача 1 — базовый уровень
В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 24. Найдите гипотенузу.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Применить теорему Пифагора напрямую.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]
Ответ: 25
</details>
---
Задача 2 — базовый уровень
В равнобедренном треугольнике основание равно 16, боковая сторона равна 10. Найдите высоту, проведённую к основанию.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и образует два одинаковых прямоугольных треугольника.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
Высота делит основание на два отрезка по 8. По теореме Пифагора:
\[ h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]
Ответ: 6
</details>
---
Задача 3 — средний уровень
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) катеты AC = 5, BC = 12. Найдите радиус описанной окружности.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
\[ AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
\[ R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5 \]
Ответ: 6,5
</details>
---
Задача 4 — средний уровень
Трапеция ABCD: AB ∥ CD, AB = 14, CD = 6, боковые стороны AD = BC = 5. Найдите площадь трапеции.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Опустить высоту из вершины D на AB. Проекция боковой стороны на большее основание вычисляется через разность оснований.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
Проекция каждой боковой стороны на AB: \( \dfrac{AB - CD}{2} = \dfrac{14 - 6}{2} = 4 \)
Высота: \( h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \)
Площадь: \( S = \dfrac{(AB + CD)}{2} \cdot h = \dfrac{(14 + 6)}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30 \)
Ответ: 30
</details>
---
Задача 5 — выше среднего
В треугольнике ABC AB = 10, BC = 6, AC = 8. Из вершины B опущена высота BH на AC. Найдите BH.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Проверить, является ли треугольник прямоугольным. Затем выразить площадь двумя способами.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
Проверка: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \). Треугольник прямоугольный, угол C = 90°.
Площадь: \( S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \)
С другой стороны \( S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BH \), откуда:
\[ BH = \dfrac{2S}{AB} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8 \]
Ответ: 4,8
</details>
---
Задача 6 — сложный уровень
В треугольнике ABC угол A = 60°, AB = 8, AC = 5. Найдите BC.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Применить теорему косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \).
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
\[ BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 64 + 25 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \]
\[ BC = 7 \]
Ответ: 7
</details>
---
Задача 7 — повышенный уровень
В треугольнике ABC через середину M стороны AC проведена прямая, параллельная BC. Она пересекает AB в точке K. Найдите KM, если BC = 8.
<details> <summary>Подсказка</summary>
Отрезок KM является средней линией треугольника ABC.
</details>
<details> <summary>Ответ и решение</summary>
KM ∥ BC и M — середина AC, значит по свойству средней линии K — середина AB. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине:
\[ KM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \]
Ответ: 4
</details>
Самостоятельная работа по заданию 16 ОГЭ математика
Четыре варианта в формате ОГЭ. Каждый содержит одну задачу с развёрнутым ответом. Рекомендуется выполнять за 20–25 минут без вспомогательных материалов. Учитель может использовать как контрольный срез, ученик — для самоконтроля дома.
---
Вариант 1
Задача. В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 9, BC = 12. Найдите радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.
| Баллы | Что должно быть в решении | |-------|---------------------------| | 3 | Верно найдена гипотенуза, оба радиуса с обоснованием формул, верный ответ | | 2 | Один радиус найден верно, другой содержит ошибку | | 1 | Гипотенуза найдена верно, дальнейший ход верный, но допущена вычислительная ошибка | | 0 | Решение не соответствует задаче |
Ответ: AB = 15, R = 7,5, r = 3
---
Вариант 2
Задача. Трапеция ABCD: AB ∥ CD, AB = 18, CD = 8, AD = BC = 13. Найдите площадь трапеции.
| Баллы | Что должно быть в решении | |-------|---------------------------| | 3 | Чертёж, нахождение высоты через прямоугольный треугольник, формула площади трапеции, верный ответ | | 2 | Высота найдена верно, ошибка при вычислении площади | | 1 | Метод верный, ошибка при нахождении высоты | | 0 | Решение не соответствует задаче |
Ответ: h = 12, S = 156
---
Вариант 3
Задача. В треугольнике ABC угол B = 90°, AB = 15, BC = 20. Из вершины B опущена высота BH на гипотенузу AC. Найдите BH.
| Баллы | Что должно быть в решении | |-------|---------------------------| | 3 | Найдена AC, площадь вычислена двумя способами, BH найдена, ответ верный | | 2 | AC и площадь найдены верно, ошибка при вычислении BH | | 1 | Метод верный, ошибка в вычислении AC | | 0 | Решение не соответствует задаче |
Ответ: AC = 25, BH = 12
---
Вариант 4
Задача. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = 10, BC = 12. Точка D — середина BC. Найдите AD.
| Баллы | Что должно быть в решении | |-------|---------------------------| | 3 | Чертёж, обоснование, что AD является высотой (как медиана в равнобедренном треугольнике), верное применение теоремы Пифагора, верный ответ | | 2 | Метод верный, незначительная вычислительная ошибка | | 1 | Чертёж верный, но в ходе решения есть логическая ошибка | | 0 | Решение не соответствует задаче |
Ответ: AD = 8, так как медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой: \(AD = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\)
Типичные ошибки в задании 16 и как их избежать
Задание 16 ОГЭ математика 9 класс проверяется вручную, и эксперты снимают баллы за конкретные нарушения. Пять самых распространённых.
Проверка за 2 минуты перед сдачей:
- 1. На чертеже обозначены все вершины, углы и данные длины?
- 2. Каждый переход в решении подкреплён ссылкой на свойство или теорему?
- 3. Все вычисления записаны, а не выполнены в уме?
- 4. Ответ выделен отдельной строкой?
- 5. Числа в ответе разумны (например, радиус вписанной окружности не может быть больше радиуса описанной)?
Коротко
- За неполное обоснование снимают 1 балл даже при верном ответе
- Ошибка только в вычислениях при верном методе — обычно 2 балла из 3
- Лишние построения на чертеже не штрафуются
- Отдельная строка «Ответ:» обязательна по критериям проверки
Частые вопросы
Сколько баллов даёт задание 16 ОГЭ?
Максимум 3 балла. При частично верном решении возможны 1 или 2 балла в зависимости от полноты обоснований и того, на каком шаге допущена ошибка.
Можно ли получить балл, если ответ неверный?
Да. Если метод выбран правильно и обоснования приведены, но допущена арифметическая ошибка в финале, эксперт ставит 1–2 балла.
Какие темы чаще всего встречаются в задании 16?
Прямоугольные треугольники с теоремой Пифагора, вписанные и описанные окружности, подобие треугольников, площади плоских фигур. Трапеции встречаются реже, но периодически включаются в варианты.
Обязателен ли чертёж?
Формально нет, но без чертежа сложно выстроить логику, и эксперту труднее отследить ход мысли. На практике отсутствие чертежа почти всегда приводит к потере хотя бы одного балла.
Где найти задание 16 ОГЭ математика 9 класс 2026 тренажер с большим количеством задач?
Открытый банк ФИПИ содержит несколько десятков задач в этом формате. Сборники ОГЭ под редакцией Ященко — ещё один надёжный источник: задачи аналогичного уровня с ответами и критериями.
С чего начать подготовку, если геометрия совсем не идёт?
Начать с формул из раздела теории: выучить теорему Пифагора и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей. Затем разобрать по одной задаче каждого типа из тренажёра, не торопясь и записывая каждый шаг. После этого перейти к самостоятельной работе без подсказок.
По этой теме есть отдельный разбор: структуру и баллы ОГЭ по математике 9 класс.
По этой теме есть отдельный разбор: задание 15 ОГЭ математика 2026.
По этой теме есть отдельный разбор: полные тренировочные варианты ОГЭ 2026.
---
Единственное исправление: в блоке :::formulas убраны \( \) вокруг каждой формулы. Всё остальное — структура, компоненты, тело статьи — оставлено без изменений.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.