Что такое иррациональное число: примеры простыми словами

В блоке :::formulas убираю \( и \) вокруг TeX-формул — компонент сам оборачивает их в нужный режим.

--- title: Что такое иррациональное число: примеры простыми словами description: Что такое иррациональное число простыми словами: объясняем на примерах √2 и π. Чем иррациональное число отличается от рационального — без сложных формул. slug: chto-takoe-irracionalnoe-chislo-prostymi-slovami keywords: [что такое иррациональное число простыми словами, что такое иррациональное число примеры, что такое иррациональное число в математике, что такое пи рациональное или иррациональное число, что значит иррациональное число, иррациональное число это, примеры иррациональных чисел] author: Алмаз date: 2026-07-30 cluster: ege ---

Объясняем, что такое иррациональное число — без сложных формул, на понятных примерах. Разбираем, чем оно отличается от рационального и почему √2 и π — главные представители этого класса чисел.

Что такое иррациональное число простыми словами

Что такое иррациональное число простыми словами — это число, которое невозможно записать в виде обыкновенной дроби \(\dfrac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, а \(q \neq 0\).

Но главный признак, который легко проверить на практике: десятичная запись иррационального числа бесконечна и не имеет периода. У дроби \(\frac{1}{3} = 0{,}333…\) есть период — тройка повторяется бесконечно. У иррационального числа такого периода нет: цифры идут бесконечной непредсказуемой последовательностью.

Само слово «иррациональный» происходит от латинского irrationalis — «не выразимый через отношение». Именно отношение целых чисел (дробь) и есть то, чего у таких чисел нет.

Примеры иррациональных чисел — √2, √3, e и другие

Что такое иррациональное число — примеры лучше любого определения.

\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356237…\) — классический пример, известный ещё древним грекам. Пифагорейцы доказали, что диагональ квадрата со стороной 1 нельзя выразить дробью — это стало одним из первых открытий в истории математики.

\(\sqrt{3} \approx 1{,}73205080757…\) — высота правильного треугольника со стороной 2.

\(\sqrt{5} \approx 2{,}23606797749…\) — встречается в задачах на прямоугольные треугольники.

Число Эйлера \(e \approx 2{,}71828182845…\) — основание натурального логарифма, фундамент показательных функций и теории вероятностей.

Число \(\pi \approx 3{,}14159265358…\) — отношение длины окружности к диаметру (подробнее — в следующем разделе).

Общее правило: \(\sqrt{n}\) иррационально всегда, когда \(n\) — натуральное число, не являющееся точным квадратом. \(\sqrt{4} = 2\) — рационально, \(\sqrt{9} = 3\) — рационально, а вот \(\sqrt{7}\) — уже нет.

Пи — рациональное или иррациональное число?

Пи — рациональное или иррациональное число? Ответ однозначный: \(\pi\) иррационально.

Это было строго доказано в 1761 году немецким математиком Иоганном Генрихом Ламбертом. Он показал, что \(\pi\) нельзя выразить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Позже, в 1882 году, Фердинанд Линдеман доказал нечто ещё более сильное: \(\pi\) трансцендентно — то есть не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.

Откуда берётся 22/7? Это просто удобное приближение:

\[ \frac{22}{7} \approx 3{,}142857142857\ldots \]

Разница с истинным значением \(\pi\) — около 0,04%. Для грубых прикидок подходит, но в точных вычислениях использовать \(\frac{22}{7}\) вместо \(\pi\) нельзя: дробь периодична, а \(\pi\) — нет.

Цифры числа \(\pi\) вычислены на триллионы знаков, и периода в них не обнаружено — и теоретически обнаружено быть не может.

Чем иррациональное число отличается от рационального

Что значит иррациональное число в сравнении с рациональным — проще всего увидеть через десятичную запись.

| Вид числа | Десятичная запись | Примеры | |---|---|---| | Рациональное | Конечная или бесконечная периодическая | \(0{,}5\); \(0{,}333…\); \(1{,}272727…\) | | Иррациональное | Бесконечная непериодическая | \(\sqrt{2}\); \(\pi\); \(e\) |

Рациональное число \(\frac{1}{6} = 0{,}1666…\) — бесконечное, но с периодом «6». Иррациональное \(\sqrt{2} = 1{,}41421356…\) — бесконечное, и никакого повторяющегося блока в нём нет.

Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) — всё, что можно отметить точкой на числовой прямой.

Последний пример — важный: произведение двух иррациональных чисел может оказаться рациональным. Это часто проверяют на контрольных.

По этой теме есть отдельный разбор: рациональные числа.

Иррациональные числа в задачах ЕГЭ и ОГЭ

Что такое иррациональное число в математике на экзамене — это прежде всего корни и число \(\pi\), которые встречаются почти в каждом варианте.

Где появляются иррациональные числа на ЕГЭ/ОГЭ:

Квадратные корни — в задачах на упрощение выражений, решение уравнений вида \(x^2 = 5\), нахождение длин сторон и диагоналей по теореме Пифагора.

Число \(\pi\) — в задачах на длину окружности \(C = 2\pi r\) и площадь круга \(S = \pi r^2\). В ответе его обычно оставляют в символьном виде или подставляют по условию задачи.

Типичная ошибка:

На ОГЭ в геометрии ответ с \(\pi\) нередко оставляют в виде \(n\pi\) — это считается точным, а не приближённым.

Частые вопросы

Что такое иррациональное число простыми словами?

Иррациональное число — это такое число, которое нельзя записать обыкновенной дробью \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа. Проще запомнить через десятичную запись: у иррационального числа она бесконечна и не повторяется — никакой закономерности в цифрах нет.

Пи — рациональное или иррациональное число?

Иррациональное. Это строго доказано: \(\pi\) нельзя представить в виде дроби с целыми числами. Привычное \(\frac{22}{7} \approx 3{,}1429\) — лишь удобное приближение, а не точное значение числа \(\pi\).

Что такое иррациональное число — примеры?

Самые известные: \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421…\), \(\sqrt{3} \approx 1{,}73205…\), \(\pi \approx 3{,}14159…\), число Эйлера \(e \approx 2{,}71828…\). Корень из любого натурального числа, не являющегося точным квадратом, тоже иррационален: \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{11}\) и так далее.

Что значит иррациональное число?

Слово «иррациональный» буквально означает «не выражаемый через отношение». В математике это значит, что число не является отношением двух целых чисел. Его невозможно точно записать ни конечной дробью, ни бесконечной дробью с повторяющимся блоком цифр.

Что такое иррациональное число в математике — и чем оно отличается от рационального?

Рациональное число в десятичной записи либо заканчивается (\(0{,}25\)), либо имеет период — блок цифр, который повторяется бесконечно (\(0{,}3333…\) или \(0{,}142857142857…\)). У иррационального числа такого периода нет: цифры идут бесконечно без какого-либо повторения. Именно это — главный критерий различия между двумя классами чисел.

По этой теме есть отдельный разбор: теорема Пифагора.

По этой теме есть отдельный разбор: иррациональные уравнения.

По этой теме есть отдельный разбор: избавиться от иррациональности в знаменателе.