Что такое рациональные числа: определение и примеры

Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде дроби \(\frac{p}{q}\). Разберём точное определение, рассмотрим примеры и сравним рациональные числа с иррациональными — всё в рамках программы 6 класса.

Что такое рациональное число в математике: определение

Рациональное число в математике — это число, которое можно представить в виде:

\[ \frac{p}{q}, \quad \text{где } p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N},\; q \neq 0 \]

Здесь \(p\) — любое целое число (может быть отрицательным или нулём), \(q\) — натуральное число, то есть положительное целое.

Важный момент: натуральные и целые числа — это частные случаи рациональных. Любое целое \(n\) записывается дробью \(\frac{n}{1}\), поэтому оно автоматически является рациональным. Ноль тоже рационален: \(\frac{0}{1} = 0\).

Множество всех рациональных чисел обозначают буквой \(\mathbb{Q}\) — от латинского quotient («частное»).

Рациональные числа простыми словами — для 6 класса

Если объяснять рациональные числа простыми словами: число рациональное, если его можно точно выразить дробью или целым числом — без бесконечных непредсказуемых «хвостов» после запятой.

Наглядная аналогия: пиццу нарезали на 8 равных кусков. Взяли 3 куска — это \(\frac{3}{8}\) пиццы. Взяли все 8 — это \(\frac{8}{8} = 1\). В обоих случаях количество точно описывается дробью, значит, это рациональные числа.

Что такое рациональные числа — 6 класс математика изучает именно этот круг чисел: обыкновенные дроби, смешанные числа, отрицательные дроби и целые. Всё, с чем работают в курсе 5–6 класса, укладывается в \(\mathbb{Q}\).

Примеры рациональных чисел

Ниже — типичные примеры рациональных чисел, разбитые по видам записи.

| Вид числа | Примеры | Запись в виде дроби | |---|---|---| | Натуральные | \(1,\; 5,\; 100\) | \(\frac{1}{1},\; \frac{5}{1},\; \frac{100}{1}\) | | Целые отрицательные | \(-3,\; -17\) | \(\frac{-3}{1},\; \frac{-17}{1}\) | | Ноль | \(0\) | \(\frac{0}{1}\) | | Обыкновенные дроби | \(\frac{3}{4},\; -\frac{2}{5},\; \frac{7}{3}\) | уже в виде дроби | | Конечные десятичные | \(0{,}25;\; 1{,}6;\; -0{,}125\) | \(\frac{1}{4};\; \frac{8}{5};\; -\frac{1}{8}\) | | Периодические десятичные | \(0{,}(3);\; 1{,}(6);\; 0{,}(142857)\) | \(\frac{1}{3};\; \frac{5}{3};\; \frac{1}{7}\) |

Обратите внимание: периодическая десятичная дробь всегда переводится в обыкновенную, поэтому она рациональна.

Что рациональным числом не является:

\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots\) — дробь не периодическая, точной дроби \(\frac{p}{q}\) не существует.

\(\pi \approx 3{,}14159265\ldots\) — аналогично, бесконечная непериодическая запись.

Рациональные и иррациональные числа: в чём разница

Ключевое различие между рациональными и иррациональными числами — в десятичной записи:

Иррациональных чисел «больше», чем рациональных, в строгом математическом смысле — это доказывается в курсе старшей школы. Пока достаточно запомнить: если число является корнем из натурального, который не является полным квадратом (\(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\ldots\)), оно иррационально.

Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество всех вещественных чисел \(\mathbb{R}\).

По этой теме есть отдельный разбор: иррациональным уравнениям.

По этой теме есть отдельный разбор: избавиться от иррациональности в знаменателе.

Множество рациональных чисел: место в числовой системе

Числа в математике устроены по принципу вложенных множеств — каждое следующее содержит предыдущее:

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

Рациональные числа «шире» целых: между любыми двумя целыми числами бесконечно много рациональных. Например, между \(0\) и \(1\) находятся \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{100}\) и так далее — их бесконечное множество.

При этом \(\mathbb{Q}\) не покрывает всю числовую прямую: точки вроде \(\sqrt{2}\) или \(\pi\) на ней есть, но рациональными числами не описываются. Эти «пробелы» заполняются иррациональными, и вместе они дают полную числовую прямую — \(\mathbb{R}\).

---

Частые вопросы

Что такое рациональные числа в математике?

Рациональное число — это число вида \(\frac{p}{q}\), где \(p\) — целое, \(q\) — натуральное, \(q \neq 0\). Множество рациональных чисел обозначается \(\mathbb{Q}\) и включает натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби.

Что такое рациональное число в математике — коротко?

Число, которое можно точно записать дробью с целым числителем и ненулевым натуральным знаменателем. Если такой записи нет — число иррациональное.

Что такое рациональные числа простыми словами?

Число рациональное, если его можно точно «поделить» на части и описать дробью. Три куска пиццы из восьми — \(\frac{3}{8}\), это рационально. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна \(\sqrt{2}\) — дробью не описать, это иррационально.

Что такое рациональные числа, примеры?

Рациональные: \(\frac{3}{4},\; -2,\; 0,\; 0{,}25,\; 0{,}(3),\; 7\). Не рациональные: \(\sqrt{2},\; \sqrt{5},\; \pi,\; e\).

Что такое рациональные и иррациональные числа — в чём разница?

Рациональные записываются дробью \(\frac{p}{q}\) и имеют конечную или периодическую десятичную запись. Иррациональные дробью не записываются — их десятичная запись бесконечна и непериодична. Вместе они образуют множество вещественных чисел \(\mathbb{R}\).

Что такое рациональные числа в 6 классе по математике?

В 6 классе рациональные числа — это натуральные, целые и обыкновенные дроби (в том числе отрицательные), объединённые в одно множество \(\mathbb{Q}\). Именно с ними выполняются все арифметические действия в курсе 5–6 класса: сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

По этой теме есть отдельный разбор: теории чисел на ЕГЭ профиль.