ЕГЭ математика

Формулы по алгебре 8 класс: ФСУ, уравнения и геометрия

Формулы по алгебре 8 класс: ФСУ, квадратные уравнения, корни и степени. Геометрия: четырёхугольники и окружность. Охватывает программу Макарычева, база для ОГЭ.

10 мин чтения
#ЕГЭ математика#формулы по алгебре 8 класс#формулы по геометрии 8 класс#формулы сокращенного умножения по алгебре 8 класс#формулы квадратного уравнения 8 класс по алгебре

Готово. Вот полный исправленный файл:

---

` --- title: Формулы по алгебре 8 класс: ФСУ, уравнения и геометрия description: Формулы по алгебре 8 класс: ФСУ, квадратные уравнения, корни и степени. Геометрия: четырёхугольники и окружность. Охватывает программу Макарычева, база для ОГЭ. slug: formuly-po-algebre-8-klass keywords: [формулы по алгебре 8 класс, формулы по геометрии 8 класс, формулы сокращенного умножения по алгебре 8 класс, формулы квадратного уравнения 8 класс по алгебре, основные формулы по алгебре 8 класс, уравнения 8 класс по алгебре формулы, все формулы по алгебре 7 8 класс] author: Алмаз date: 2026-08-06 cluster: ege ---

Все основные формулы по алгебре 8 класс собраны в одном месте: ФСУ, квадратные уравнения, корни, степени и геометрия четырёхугольников. Шпаргалка охватывает программу Макарычева и закрывает базу, которая нужна для ОГЭ. Каждый раздел посвящён отдельной теме — от сводной таблицы до конкретных формул с примерами.

Все основные формулы по алгебре 8 класс: таблица

Таблица формул по алгебре 8 класс даёт быстрый обзор всего курса. Подробное объяснение каждого блока — в соответствующем разделе ниже.

Квадрат суммы
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Квадрат разности
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Разность квадратов
\[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]
Куб суммы
\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Куб разности
\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]
Сумма кубов
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Разность кубов
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]
Дискриминант
\[D = b^2 - 4ac\]
Формула корней
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Теорема Виета
\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\]
Корень произведения
\[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]
Произведение степеней
\[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]
Отрицательный показатель
\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]

Все правила по алгебре 8 класс из таблицы подробнее разобраны ниже с примерами и типичными ошибками.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Формулы сокращённого умножения по алгебре 8 класс

Формулы сокращённого умножения по алгебре 8 класс — это семь тождеств, которые ускоряют раскрытие скобок и разложение на множители. В учебнике Макарычева формулы квадратов по алгебре 8 класс (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) закрепляются ещё в 7-м, а кубы добавляются в 8-м.

Квадрат суммы
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Квадрат разности
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Разность квадратов
\[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]
Куб суммы
\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Куб разности
\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]
Сумма кубов
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Разность кубов
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]

Пример. Упростить \( (x+3)^2 - 9 \):

Через раскрытие: \( x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x \).

Через разность квадратов: \( (x+3)^2 - 3^2 = (x+6)\cdot x \). Результат тот же.

Типичные ошибки при применении ФСУ:

❌ ошибка\( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \)
✅ верно\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
пропущено среднее слагаемое \( 2ab \)
❌ ошибка\( (a-b)^2 = a^2 - b^2 \)
✅ верно\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
слева квадрат разности, а не разность квадратов
❌ ошибка\( a^3 - b^3 = (a-b)^3 \)
✅ верно\( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)
разность кубов не равна кубу разности

Формулы квадрат суммы и квадрат разности из алгебры 7 класса — фундамент всех дальнейших преобразований: все формулы по алгебре 7 8 класс так или иначе к ним возвращаются.

Формулы квадратного уравнения 8 класс: дискриминант и теорема Виета

Уравнения 8 класс по алгебре начинаются с квадратного уравнения в стандартном виде: \[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \]

Формула корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Коротко

  • D > 0: два различных вещественных корня
  • D = 0: один корень (кратный): \( x = -b\,/\,(2a) \)
  • D < 0: вещественных корней нет

Теорема Виета — если корни \( x_1 \) и \( x_2 \) существуют: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Теорема Виета удобна для проверки: достаточно убедиться, что сумма и произведение найденных корней совпадают с \( -b/a \) и \( c/a \).

Неполные квадратные уравнения — отдельный блок в теме формулы квадратного уравнения 8 класс по алгебре:

ax^2 = 0
\[x = 0\]
ax^2 + c = 0
\[x^2 = -c/a; корни существуют только при -c/a \geq 0\]
ax^2 + bx = 0
\[x(ax + b) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0,\; x_2 = -b/a\]

  1. Алгоритм решения через дискриминант
  2. Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду \( ax^2+bx+c=0 \).
  3. Шаг 2. Вычислить \( D = b^2 - 4ac \).
  4. Шаг 3. Если \( D < 0 \) — корней нет. Если \( D \geq 0 \) — найти \( x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D})\,/\,(2a) \).
  5. Шаг 4. Проверить по теореме Виета: сумма корней равна \( -b/a \), произведение равно \( c/a \).

Формулы по корням и степеням — алгебра 8 класс

Формулы по корням 8 класс алгебра включают свойства квадратного корня. Обязательное условие: \( a \geq 0 \), \( b > 0 \) (для корня частного).

Корень произведения
\[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]
Корень частного
\[\sqrt{a/b} = \sqrt{a}\,/\,\sqrt{b}\]
Квадрат корня
\[\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\]
Корень квадрата
\[\sqrt{a^2} = |a|\]

Важный нюанс: \( \sqrt{a^2} = |a| \), а не просто \( a \). При \( a < 0 \) выражение \( \sqrt{a^2} \) всё равно положительно — это частая ошибка в контрольных работах.

Формулы по алгебре 8 класс степени — свойства степени с целым показателем:

Произведение степеней
\[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]
Частное степеней
\[a^n / a^m = a^{n-m}\]
Степень степени
\[(a^n)^m = a^{nm}\]
Степень произведения
\[(ab)^n = a^n b^n\]
Нулевой показатель
\[a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\]
Отрицательный показатель
\[a^{-n} = 1/a^n \quad (a \neq 0)\]

Пример. Упростить \( \dfrac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^3} \): \[ \frac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^3} = \frac{x^{5+(-2)}}{x^3} = \frac{x^3}{x^3} = x^0 = 1 \]

Формулы по геометрии 8 класс: четырёхугольники и площади

Формулы по геометрии 8 класс охватывают пять основных четырёхугольников. Ниже — площадь, периметр и свойства диагоналей каждой фигуры.

Параллелограмм (основание \( a \), высота \( h \), боковая сторона \( b \)):

Площадь
\[S = a \cdot h\]
Периметр
\[P = 2(a + b)\]
Диагонали
\[точка пересечения делит каждую диагональ пополам\]

Прямоугольник (стороны \( a \) и \( b \)):

Площадь
\[S = ab\]
Периметр
\[P = 2(a+b)\]
Диагональ
\[d = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Ромб (сторона \( a \), высота \( h \), диагонали \( d_1 \) и \( d_2 \)):

Площадь через высоту
\[S = ah\]
Площадь через диагонали
\[S = \dfrac{d_1 d_2}{2}\]
Периметр
\[P = 4a\]
Диагонали
\[взаимно перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения\]

Квадрат (сторона \( a \)):

Площадь
\[S = a^2\]
Периметр
\[P = 4a\]
Диагональ
\[d = a\sqrt{2}\]

Трапеция (основания \( a \) и \( b \), высота \( h \)):

Площадь
\[S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h\]
Средняя линия
\[m = \dfrac{a+b}{2}\]
Площадь через среднюю линию
\[S = m \cdot h\]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. В задачах ОГЭ это свойство применяется регулярно — стоит знать наизусть.

Теорема Пифагора и признаки подобия треугольников: геометрия 8 класс

Теорема Пифагора — одна из самых востребованных формул по геометрии во всём школьном курсе. Для прямоугольного треугольника с катетами \( a \), \( b \) и гипотенузой \( c \): \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Высота из прямого угла делит треугольник на два подобных — основа теоремы Пифагора через площади
Высота из прямого угла делит треугольник на два подобных — основа теоремы Пифагора через площади

Отсюда катет: \( a = \sqrt{c^2 - b^2} \).

Коротко

  • Пифагорова тройка (3, 4, 5) — встречается в задачах ОГЭ чаще остальных
  • Другие часто встречающиеся тройки: (5, 12, 13) и (8, 15, 17)
  • Обратная теорема: если \( a^2 + b^2 = c^2 \), то треугольник прямоугольный

Три признака подобия треугольников:

Признак I (два угла)
\[если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны\]
Признак II (две стороны и угол)
\[\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} и \angle A = \angle A'\]
Признак III (три стороны)
\[\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'}\]

Если коэффициент подобия равен \( k \), то отношение площадей: \[ \frac{S_1}{S_2} = k^2 \]

Этот факт решает целый класс задач ОГЭ на нахождение площадей подобных фигур.

  1. Как применять теорему Пифагора в задаче
  2. Шаг 1. Определить прямой угол (указан в условии или вытекает из свойств фигуры).
  3. Шаг 2. Обозначить два катета и гипотенузу.
  4. Шаг 3. Подставить известные значения в \( a^2 + b^2 = c^2 \) и решить уравнение.
  5. Шаг 4. Проверить: гипотенуза должна быть наибольшей стороной треугольника.

Формулы по алгебре 8–9 класс: что использовать при подготовке к ОГЭ

Все формулы по алгебре 8 9 класс, которые встречаются в ОГЭ чаще всего:

Коротко

  • Дискриминант и формула корней — задания части 1 и части 2
  • ФСУ — упрощение алгебраических выражений в первой части
  • Теорема Пифагора — почти каждое геометрическое задание
  • Подобие треугольников — задания на нахождение сторон и площадей
  • Свойства степеней и корней — задания на упрощение выражений

В 9-м классе к этой базе добавятся новые темы — именно там понадобятся формулы по алгебре 9 класс:

Арифметическая прогрессия
\[a_n = a_1 + (n-1)d,\quad S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\]
Геометрическая прогрессия
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
Основное тригонометрическое тождество
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Вершина параболы
\[x_0 = -b\,/\,(2a) для y = ax^2 + bx + c\]

Всё перечисленное выше опирается на курс 8-го класса: без уверенного знания дискриминанта, ФСУ и свойств корней двигаться в 9-й класс будет заметно труднее. Шпаргалка из этой статьи — готовая база для такого перехода.

Частые вопросы

Сколько формул ФСУ нужно знать в 8 классе?

Семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов и разность кубов. Первые три закрепляются в 7-м классе, последние четыре — в 8-м. Все семь входят в программу Макарычева и встречаются на ОГЭ.

Нужно ли учить теорему Виета или достаточно дискриминанта?

Дискриминанта хватает для нахождения корней. Теорема Виета нужна для быстрой проверки ответа и для задач, где требуется найти сумму или произведение корней, не вычисляя каждый из них.

Чем отличается средняя линия трапеции от средней линии треугольника?

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и равна \( m = (a+b)/2 \), где \( a \) и \( b \) — основания. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны, параллельна ей. Формулы внешне похожи, но применяются в разных фигурах.

Как быстро запомнить свойства степеней?

Проще всего — через числовой пример: \( 2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5 \). Основание то же, показатели складываются. Каждое свойство проверяется аналогично: два-три числовых примера — и формула запоминается сама.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы сокращённого умножения 7 класса.

По этой теме есть отдельный разбор: решать квадратные уравнения через дискриминант.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признаки параллелограмма.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признаки трапеции. `

---

Что исправлено: во всех 12 блоках :::formulas убраны разделители \( \) вокруг формул. Тело TeX (\dfrac, \sqrt, \sin^2\alpha и т.д.) сохранено без изменений — компонент сам оборачивает в math-mode. Все остальные блоки (:::compare, :::keyfacts, :::steps), инлайн-математика в тексте (\( ... \)) и display-math (\[ ... \]) не тронуты.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Что такое дисперсия простыми словами: математика и физика2026-07-29Что такое факториал в математике: простыми словами2026-07-29Что такое иррациональное число: примеры простыми словами2026-07-30Что такое медиана в статистике: объяснение для 7 класса2026-07-30