ЕГЭ математика

Как решать линейные неравенства: алгоритм и числовая прямая

Как решать линейные неравенства: пошаговый алгоритм для 8–9 класса и ОГЭ. Разбираем одиночные, двойные неравенства, системы и изображение на числовой прямой.

10 мин чтения
#ЕГЭ математика#как решать линейные неравенства#как решать неравенства 8 класс#как решать неравенства 9 класс#как решать двойные неравенства

Оба блока исправлены. Вот полный файл:

--- title: Как решать линейные неравенства: алгоритм и числовая прямая description: Как решать линейные неравенства: пошаговый алгоритм для 8–9 класса и ОГЭ. Разбираем одиночные, двойные неравенства, системы и изображение на числовой прямой. slug: kak-reshat-linejnye-neravenstva keywords: [как решать линейные неравенства, как решать неравенства 8 класс, как решать неравенства 9 класс, как решать двойные неравенства, система линейных неравенств как решать, как решать линейные неравенства 9 класс, алгебра как решать неравенства] author: Алмаз date: 2026-08-06 cluster: \(uravneniya_neravenstva ---\)

Линейные неравенства — базовый раздел алгебры 8–9 класса и обязательная тема ОГЭ. В статье разобраны все типы: одиночные неравенства, двойные, системы и неравенства с двумя переменными. После прочтения станет понятно, как изображать решение на числовой прямой и каких ошибок избегать на экзамене.

Что такое линейное неравенство: алгебра для 8 класса

Линейным называют неравенство вида \( ax + b > 0 \) (или с другим знаком: \( <,\; \ge,\; \le \)), где \( a \ne 0 \) и \( b \) — числа, \( x \) — переменная. Стандартная форма — всё в левой части, правая равна нулю.

Отличие от уравнения принципиальное: уравнение ищет конкретное значение, неравенство — промежуток значений \( x \), при которых оно выполняется.

Ключевое понятие — равносильность. Два неравенства равносильны, если их множества решений совпадают. Равносильное преобразование ничего не теряет и ничего не добавляет: слагаемые переносят из части в часть, умножают обе части на ненулевую константу — с обязательным контролем знака.

Про ОДЗ: в курсе алгебры задачи на решение неравенств начинают именно с линейных, потому что здесь нет знаменателей, корней и логарифмов. Область допустимых значений — вся числовая прямая, ОДЗ не ограничивает решение.

Коротко

  • Равносильное преобразование сохраняет множество решений неравенства
  • Для линейного неравенства ОДЗ — вся числовая прямая (нет знаменателей и корней)
  • Знак неравенства меняется только при умножении или делении на отрицательное число

По этой теме есть отдельный разбор: линейные уравнения.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Алгоритм: как решать линейные неравенства шаг за шагом

Алгоритм почти совпадает с решением уравнения — с одним принципиальным отличием.

  1. Алгоритм решения линейного неравенства
  2. Шаг 1. Перенести все члены с \(x\) влево, свободные числа — вправо
  3. Шаг 2. Привести подобные слагаемые
  4. Шаг 3. Разделить обе части на коэффициент при \(x\); если он отрицательный — изменить знак неравенства
  5. Шаг 4. Записать ответ в виде промежутка и изобразить на числовой прямой

Пример 1. \( 3x - 6 > 0 \)

\[ 3x > 6 \quad\Rightarrow\quad x > 2 \]

Ответ: \( x \in (2;\,+\infty) \)

Пример 2. \( 5 - 2x \ge 11 \)

\[ -2x \ge 6 \quad\Rightarrow\quad x \le -3 \]

Делили на \(-2\) — знак изменился с \(\ge\) на \(\le\). Ответ: \( x \in (-\infty;\,-3] \)

Пример 3. \( 2(x + 3) - 5x > 4 - x \)

\[ 2x + 6 - 5x > 4 - x \] \[ -3x + x > 4 - 6 \] \[ -2x > -2 \] \[ x < 1 \]

Ответ: \( x \in (-\infty;\,1) \)

В задачах на линейные неравенства за 9 класс выражения сложнее, но алгоритм не меняется. Самая частая ошибка — не изменить знак при делении на отрицательное.

❌ ошибка\(-2x > -2 \implies x > 1\) (знак не изменён)
✅ верно\(-2x > -2 \implies x < 1\)
При делении на \(-2\) знак неравенства меняется: \(>\) превращается в \(<\)
❌ ошибкаПеренести \(-x\) из правой части и записать \(-3x - x\)
✅ верно\(-3x + x\) — перенос меняет знак слагаемого
Знак при переносе меняется у самого слагаемого, а не у знака неравенства

Изображение решения на числовой прямой

Ответ линейного неравенства — луч. На числовой прямой его рисуют так:

Открытый кружок (\(\circ\)) — граничная точка не входит в решение. Ставится при строгих неравенствах \(<\) и \(>\).

Закрашенный кружок (\(\bullet\)) — граничная точка входит. Ставится при нестрогих \(\le\) и \(\ge\).

От точки рисуют стрелку-луч в сторону решения.

Строгое неравенство
\[{<}\text{ или }{>}\ \longrightarrow\ \circ\ \longrightarrow\ (\,)\]
Нестрогое неравенство
\[{\le}\text{ или }{\ge}\ \longrightarrow\ \bullet\ \longrightarrow\ [\,]\]
Бесконечность
\[у \pm\infty скобка всегда круглая\]

Пример: \( x \ge -3 \) — закрашенная точка в \(-3\), луч вправо, запись \( [-3;\,+\infty) \).

Пример: \( x < 5 \) — открытая точка в \(5\), луч влево, запись \( (-\infty;\,5) \).

Особый случай — изолированная точка: единственное значение в ответе без луча. Встречается в нестрогих неравенствах с кратными корнями — об этом подробнее в разделе про квадратные неравенства.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 17 ЕГЭ база — неравенства и числовая прямая.

Двойные неравенства: как решать 2 неравенства одновременно

Двойное неравенство \( a < f(x) < b \) — частный случай системы:

\[ a < f(x) < b \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} f(x) > a \\ f(x) < b \end{cases} \]

Удобство формы двойного неравенства: одни и те же операции выполняют сразу над всеми тремя частями, не разбивая на два отдельных.

  1. Как решать двойные неравенства
  2. Шаг 1. Выполнять одинаковые арифметические действия над всеми тремя частями одновременно
  3. Шаг 2. При делении на отрицательное число изменить оба знака неравенства
  4. Шаг 3. Записать ответ в виде промежутка

Пример. \( -1 < 2x + 3 \le 7 \)

\[ -1 - 3 < 2x \le 7 - 3 \] \[ -4 < 2x \le 4 \] \[ -2 < x \le 2 \]

Ответ: \( x \in (-2;\,2] \)

На числовой прямой: открытый кружок в \(-2\), закрашенный в \(2\), закрашенный отрезок между ними.

Система линейных неравенств: как решать и записывать ответ

Система линейных неравенств — несколько неравенств, объединённых фигурной скобкой. Решение системы — пересечение множеств решений: в ответ идут только те \(x\), которые подходят каждому неравенству одновременно.

  1. Система линейных неравенств: как решать
  2. Шаг 1. Решить каждое неравенство системы по отдельности
  3. Шаг 2. Нарисовать оба решения на одной числовой прямой
  4. Шаг 3. Найти пересечение — общий участок прямой
  5. Шаг 4. Записать ответ

Пример.

\[ \begin{cases} x \ge 12 \\ x > 8 \end{cases} \]

Первое: \( [12;\,+\infty) \), второе: \( (8;\,+\infty) \).

Пересечение: \( [12;\,+\infty) \cap (8;\,+\infty) = [12;\,+\infty) \).

Ответ: \( x \in [12;\,+\infty) \)

Разница между системой и совокупностью принципиальна:

❌ ошибкаОтвет системы \(\begin{cases}x\ge 12\\x>8\end{cases}\) записать \((8;+\infty)\)
✅ верноПравильный ответ: \([12;+\infty)\) — пересечение
Система (фигурная скобка) — логическое «и»; \((8;+\infty)\) было бы ответом совокупности — логического «или»

Коротко

  • Система (\(\{\)) — пересечение, «и там, и там»
  • Совокупность (\([\)) — объединение, «хотя бы там»

По этой теме есть отдельный разбор: системы неравенств.

Линейные неравенства с двумя переменными

Линейное неравенство с двумя переменными: \( ax + by > c \) (или \(<,\,\ge,\,\le\)). Решение — уже не промежуток на прямой, а полуплоскость на координатной плоскости.

Общий подход к тому, как решать линейные неравенства с двумя переменными:

  1. Решение линейного неравенства с двумя переменными
  2. Шаг 1. Построить прямую \(ax + by = c\) — граница области
  3. Шаг 2. Взять контрольную точку, не лежащую на прямой (чаще всего удобно начало координат \((0;\,0)\))
  4. Шаг 3. Подставить точку в неравенство
  5. Шаг 4. Истина — закрасить полуплоскость с этой точкой; ложь — противоположную
  6. Шаг 5. Строгое неравенство — прямую рисуют пунктиром; нестрогое — сплошной линией

Пример. \( x + 2y \le 4 \)

Граница: \( x + 2y = 4 \) — прямая через точки \( (0;\,2) \) и \( (4;\,0) \).

Контрольная точка \( (0;\,0) \): \( 0 + 0 = 0 \le 4 \) — истина. Решение — полуплоскость с началом координат, включая саму прямую (нестрогое неравенство).

ОДЗ здесь не ограничивает: линейное выражение определено при любых \(x\) и \(y\).

Линейные и квадратные неравенства: в чём разница и как не перепутать

Линейное неравенство даёт луч — один промежуток. Квадратное может дать интервал, объединение двух лучей или изолированную точку. Понимание этой разницы необходимо при решении как линейных, так и квадратных неравенств.

Для квадратного неравенства \( ax^2 + bx + c \gtrless 0 \) применяют метод интервалов.

  1. Метод интервалов для квадратного неравенства
  2. Шаг 1. Найти корни трёхчлена: \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\)
  3. Шаг 2. Разложить трёхчлен: \(a(x-x_1)(x-x_2)\)
  4. Шаг 3. Отметить корни на оси: строгое неравенство — открытые, нестрогое — закрытые
  5. Шаг 4. Знак на крайнем правом промежутке совпадает со знаком \(a\); далее чередовать через корни
  6. Шаг 5. Выбрать промежутки нужного знака
Разложение трёхчлена
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]
Дискриминант
\[D=b^2-4ac\]
Если D<0
\[трёхчлен сохраняет знак a при всех x — корней нет\]

Особый случай — кратный корень. В неравенстве \( (x-1)^2(x+2) \le 0 \) корень \( x = 1 \) имеет чётную кратность: через него знак не меняется. Но неравенство нестрогое — в точке \( x = 1 \) выражение равно нулю, условие \( \le 0 \) выполнено. Точку включают в ответ как изолированную:

\[ x \in (-\infty;\,-2]\cup\{1\} \]

❌ ошибкаВ \((x-1)^2(x+2)\le 0\) отбросить \(x=1\), раз знак через неё не меняется
✅ верноВключить \(x=1\) как изолированную точку: \(x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\)
Нестрогое неравенство выполняется при обращении в нуль; корень чётной кратности даёт изолированную точку — терять её нельзя

Типичные ошибки при решении линейных неравенств на ОГЭ

Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего.

❌ ошибка\(-2x > -2 \implies x > 1\) (знак не изменён)
✅ верно\(x < 1\)
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
❌ ошибкаНарисовать \(\bullet\) для \(x > 3\)
✅ верноНарисовать \(\circ\) — точка не входит в решение
Строгое неравенство \(>\) требует открытого кружка; закрашенный ставят только для \(\ge\)
❌ ошибкаОтвет системы \(\begin{cases}x\ge 12\\x>8\end{cases}\) записать \((8;+\infty)\)
✅ верно\([12;+\infty)\) — пересечение
Система — пересечение (логическое «и»); \((8;+\infty)\) — ответ совокупности (объединение)
❌ ошибкаУмножить \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) на \((x+2)\) и решить \(x-1>0\)
✅ верноПрименить метод интервалов, выколов \(x=-2\)
Знак \((x+2)\) неизвестен; при отрицательном множителе знак неравенства меняется — теряется целый промежуток решений

Коротко

  • Деление на отрицательное число — изменить знак неравенства
  • Строгое неравенство — открытый кружок; нестрогое — закрытый
  • Система — пересечение; совокупность — объединение
  • Дробь с переменной в знаменателе — только метод интервалов, не умножать на знаменатель

Частые вопросы

Как решать линейные неравенства?

Перенести все члены с переменной влево, свободные числа — вправо. Привести подобные слагаемые. Разделить обе части на коэффициент при переменной: если он отрицательный — изменить знак неравенства. Записать ответ промежутком и изобразить на числовой прямой.

Система линейных неравенств: как решать и что писать в ответе?

Решить каждое неравенство отдельно. Нарисовать оба решения на одной числовой прямой. Найти пересечение — участок, где выполняются все неравенства системы одновременно. Это и есть ответ.

Как решать двойные неравенства?

Выполнять одинаковые арифметические действия сразу над всеми тремя частями неравенства вида \( a < f(x) < b \), пока переменная не останется в средней части одна. При делении на отрицательное число изменить оба знака.

Как решать линейные неравенства в 9 классе?

Алгоритм тот же, что и в 8 классе: перенос, приведение подобных, деление с учётом знака. Задачи уровня 9 класса чаще содержат системы и двойные неравенства, но алгоритм не меняется. Главное — правило знака при делении на отрицательное.

Как решать линейные и квадратные неравенства?

Линейное решается переносом и делением — ответ всегда луч. Квадратное решается методом интервалов после разложения трёхчлена: \( a(x-x_1)(x-x_2) \gtrless 0 \). Ответ может быть интервалом, объединением двух лучей или содержать изолированную точку при кратном корне в нестрогом неравенстве.

Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

Построить граничную прямую \( ax + by = c \). Подставить в неравенство контрольную точку — например, начало координат. Закрасить ту полуплоскость, для которой неравенство истинно. При строгом неравенстве граница — пунктир; при нестрогом — сплошная линия.

По этой теме есть отдельный разбор: метод интервалов.

---

Исправлены оба блока :::formulas: убраны обёртки \( \) из всех формул (и из правой части ::, и из метки слева в строке Если D<0). Остальное не тронуто.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Как решать уравнения высших степеней в 10 классе: разбор2026-07-31Неравенства ЕГЭ профиль 2026: методы решения и разбор заданий2026-07-14Разложение квадратного трёхчлена на множители: формула и примеры2026-07-28Системы неравенств как решать: алгоритм для 9 класса и ОГЭ2026-07-29