Задание 17 ЕГЭ математика база: неравенства и прямая

Задание 17 ЕГЭ математика база направлено на работу с неравенствами и числовой прямой. В нём проверяются навыки определения области допустимых значений, применения равносильных преобразований и выбора подходящего метода решения (метод интервалов, замена переменной, рационализация и т.д.). Умение быстро ориентировочные задачи – важная часть успешной сдачи базового профиля.

Что такое задание 17 ЕГЭ математика база: основные понятия

Задание 17 егэ математика база обычно представляет собой неравенство, содержащее алгебраические, показательные, логарифмические или тригонометрические выражения. Перед любыми преобразованиями необходимо найти ОДЗ (область допустимых значений) – множество всех значений переменной, при которых каждое выражение определено. Например, для дроби знаменатель не должен обращаться в ноль, а для логарифма аргумент должен быть положителен.

Пример решения тригонометрического уравнения sin x = 1/2 на окружности

Равносильность (эквивалентность) гарантирует, что после преобразования множество решений не меняется. Операции вроде возведения в чётную степень или умножения на выражение с переменной могут нарушить равносильность, поэтому их использование требует дополнительной проверки через ОДЗ или обратную подстановку.

Метод интервалов – основной инструмент для рациональных неравенств вида \(\frac{P(x)}{Q(x)}>0\). Сначала находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на оси, определяют знак дроби на нужный интервалов кратность корняет не меняет знак множителя, а при нестрогом неравенстве нули числителя включаются в ответ.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Типы и прототипы 17-го задания ЕГЭ (база)

В базовом профиле встречаются следующие варианты неравенств:

Пример геометрического прототипа: высота из прямого угла к гипотенузе

* рациональные (дробно‑рациональные);
* показательные;
* логарифмические;
* тригонометрические (простейшие sin, cos, tg);
* комбинированные, где несколько видов функций переплетаются.

Прототипы 17 задания егэ математика база, опубликованные ФИПИ, иллюстрируют каждый тип. Например, рациональное неравенство \(\frac{x^2-4}{x+1}\le 0\) решается методом интервалов, показательное \(2^{x-1}>8\) – через основное показательное равносильное, а логарифмическое \(\log_{2}(x-3)<1\) – переходом к равносильной системе с учётом монотонности логарифма.

Задание 17 егэ математика база уравнения иногда появляется в виде неравенства, которое после простых преобразований сводится к уравнению (например, \(\sqrt{x+5}=x-1\)). В таких случаях важно не забыть про ОДЗ и проверить полученные корни.

Методы решения и типичные ошибки в задании 17

Основные приёмы

Определение sin и cos как проекций точки единичной окружности — основа метода решения

Для большинства задач достаточно комбинации следующих методов:

* Метод интервалов – приведение к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless 0\), разложение множителей, чередование знаков.
* Замена переменной – полезна, когда встречаются повторяющиеся конструкции вроде \(a^{2x}\) и \(a^{x}\) или \(\log^2 x\) и \(\log x\).
* Рационализация – позволяет избавиться от логарифмов и показателей, заменяя \(\log_a f\) на \((a-1)(f-1)\) и \(a^{f}-a^{g}\) на \((a-1)(f-g)\).
* Переход к равносильной системе – обязателен при наличии квадратных корней или логарифмов, где формальные действия могут быть неравносильны.
* Функционально‑графический метод – применяется, когда стандартные алгебраические приёмы не работают; оценивают области значений левой и правой частей.

Ниже показан пример использования рационализации.

Метод рационализации для показательных и логарифмических неравенств
Шаг 1: Найти ОДЗ и зафиксировать его как систему условий.
Шаг 2: Перенести всё в одну часть, привести к сравнению с нулём.
Шаг 3: Заменить каждый множитель-разность на равнознаковый рациональный: \(\log_a f\) заменить на \((a-1)(f-1)\); \(a^{f}-a^{g}\) на \((a-1)(f-g)\).
Шаг 4: Получить рациональное неравенство и решить методом интервалов.
Шаг 5: Пересечь решение с ОДЗ — это финальный ответ.

Типичные ошибки и как их избежать

Неправильные действия часто связаны с игнорированием ОДЗ, неверным учетом знака при умножении на выражение с переменной или неправильным применением формул логарифмов. Ниже приведены типичные ошибки из базы знаний и правильные варианты.

❌ ошибка\(\log_a x^{2}=2\log_a x\) при решении уравнения без оговорок.

✅ верно\(\log_a x^{2}=2\log_a |x|\), ОДЗ левой части \(x\neq0\) шире правой (\(x>0\)).

Формула вынесения показателя сужает ОДЗ и теряет отрицательные корни; нужно писать модуль или разбирать знак.

❌ ошибкаУмножить неравенство \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) на \((x+2)\) и решить \(x-1>0\).

✅ верноОставить дробь и применить метод интервалов, выколов \(x=-2\).

Знак \((x+2)\) неизвестен, при отрицательном множителе знак неравенства меняется — теряется целый промежуток решений.

❌ ошибкаИз \(\sqrt{f(x)}=x\) найти \(f=x^{2}\) и взять все корни.

✅ верноРешать систему \(\{x\ge0,\; f(x)=x^{2}\}\).

Возведение в квадрат неравносильно: появляются посторонние корни, где правая часть была отрицательна.

❌ ошибкаВ логарифмическом неравенстве \(\log_{0{,}5} x>1\) записать \(x>0{,}5\).

✅ верноОснование \(0{,}5<1\) — знак переворачивается: \(0<x<0{,}5\).

При основании между 0 и 1 логарифм убывает, поэтому неравенство между аргументами меняет знак; забыли учесть тип монотонности.

❌ ошибкаРешить \(\cos x=\tfrac12\) и в ответ отбора взять \(x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\), забыв вторую серию.

✅ верноУчесть обе серии \(x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\) и перебрать \(n\) для обеих.

Косинус даёт два семейства корней; отбрасывание одной серии теряет половину корней на отрезке.

❌ ошибкаПосле замены \(t=2^{x}\) искать все \(t\), включая \(t\le0\).

✅ верноНаложить \(t>0\) и отбросить неположительные корни до обратной замены.

Показательная функция принимает только положительные значения; отрицательные \(t\) не дают действительных \(x\) и порождают ложные ответы.

❌ ошибкаОтвет системы \(\begin{cases} x\ge12 \\\\ x>8 \end{cases}\) записать как объединение \((8;+\infty)\).

✅ верноСистема — это пересечение: \([12;+\infty)\). Объединение \((8;+\infty)\) было бы ответом совокупности.

Фигурная скобка (система) требует выполнения всех неравенств сразу — берём пересечение; квадратная (совокупность) — хотя бы одного, тогда объединение. Перепутанные скобки дают разный ответ.

❌ ошибкаВ неравенстве \((x-1)^{2}(x+2)\le0\) отбросить \(x=1\), раз через корень чётной кратности знак не меняется.

✅ верно\(x=1\) обращает левую часть в нуль, а неравенство нестрогое — точку включаем: \(x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\).

У нестрогого неравенства нули левой части входят в решение; корень чётной кратности даёт отдельную (изолированную) точку, терять её нельзя.

Краткие факты, которые стоит держать в памяти

Коротко

ОДЗ ищем ПЕРВЫМ делом и держим до конца — половина ошибок в задании 15 от забытого ОДЗ.
Основание логарифма/степени \(0<a<1\) переворачивает знак неравенства между аргументами.
Дробь никогда не умножаем на знаменатель с переменной — работаем методом интервалов.
\(\cos x=a\) даёт две серии \((\pm)\), \(\sin x=a\) — одну с \((-1)^k\), не путать.
Замена \(t=a^{x}\) требует \(t>0\); \(t=\log_a x\) — любое; \(t=\sin x/\cos x\) — \(|t|\le1\).
\(\ge\) и \(\le\) в методе интервалов включают нули числителя, но всегда выкалывают нули знаменателя.
Возведение в чётную степень — только при неотрицательности обеих частей, иначе система.
В задании 13 отбор корней надёжнее делать двойным неравенством с перебором целого \(n\).
Рационализация: \(\log_a f\) и \((a-1)(f-1)\) одного знака — экономит разбор случаев.
\(\log_a x^{2}=2\log_a|x|\) — модуль обязателен, иначе теряются отрицательные корни.
Корень нечётной степени (в том числе кубический) извлекается из любого числа без ОДЗ: \((x+a)^{3}=b\Leftrightarrow x+a=\sqrt[3]{b}\) — ограничений нет, в отличие от квадратного корня.
Дробь сравниваем с числом только переносом всего влево и приведением к общему знаменателю — умножать неравенство на знаменатель с переменной нельзя: его знак неизвестен.
Система — пересечение решений (скобка \(\{\), «и там, и там»), совокупность — объединение (скобка \([\), «хотя бы где-то»).

Частые вопросы

Вопрос? Ответ отсутствует, так как в предоставленном скелете раздел FAQ пуст. При необходимости можно добавить часто задаваемые вопросы о конкретных типах неравенств или о типичных сложностях при подготовке к заданию 17.