Формула \(y = kx + b\) задаёт прямую на координатной плоскости и встречается в каждом варианте ОГЭ и ЕГЭ: в задачах на соответствие, нахождение точек пересечения и восстановление уравнения по чертежу. Ниже разобраны смысл коэффициентов, алгоритм построения и способ прочитать формулу с готового рисунка.
Что такое линейная функция — определение и формула
Линейная функция — это функция вида \(y = kx + b\), где \(k\) и \(b\) — числовые коэффициенты, \(k \neq 0\). Область определения — все вещественные числа: подставить в формулу можно любое \(x\), и всегда получится ровно одно значение \(y\).
Почему именно прямая? Уравнение первой степени по геометрическому смыслу и задаёт прямую линию: при каждом следующем \(x\) значение \(y\) меняется ровно на \(k\) — без изломов и изгибов. Поэтому и говорят: графиком линейной функции является прямая. Через любые две точки можно провести ровно одну прямую, а значит, для построения достаточно найти всего две точки и соединить их линейкой.
Эта тема изучается с 7 класса, и формула линейной функции остаётся базовым инструментом до конца школьного курса.
По этой теме есть отдельный разбор: область определения функции.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Свойства линейной функции: что означают коэффициенты k и b
Линейная функция, её график и свойства полностью читаются из двух коэффициентов — \(k\) и \(b\).
Угловой коэффициент \(k\):
- - \(k > 0\) — функция возрастает, прямая идёт снизу-слева вверх-вправо;
- - \(k < 0\) — функция убывает;
- - \(|k|\) определяет крутизну: при \(|k| = 1\) наклон ровно 45°, при \(|k| > 1\) — круче, при \(|k| < 1\) — положе.
Свободный член \(b\):
При \(x = 0\) формула даёт \(y = b\). Это означает: прямая всегда пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;\,b)\). Именно \(b\) «поднимает» или «опускает» прямую параллельно самой себе — без изменения наклона.
Свойства линейной функции и её графика прямой кратко:
Коротко
- k > 0 — возрастает; k < 0 — убывает
- Пересечение с осью Oy: точка (0; b)
- Нуль функции (пересечение с Ox): x = −b/k
- Монотонна на всей числовой прямой
- При b = 0 — нечётная функция; при b ≠ 0 — ни чётная, ни нечётная
По этой теме есть отдельный разбор: степенная функция и её график.
Построение графика линейной функции: пошаговый алгоритм
Линейная функция и построение её графика сводятся к нахождению двух точек — этого достаточно, чтобы однозначно провести прямую.
- Алгоритм «две точки — прямая»
- Шаг 1. Подставить x = 0: получается точка (0; b) — пересечение с осью Oy.
- Шаг 2. Выбрать второй x так, чтобы y оказалось целым числом. Например, для y = 2x − 3 удобно x = 2: y = 2·2 − 3 = 1, точка (2; 1).
- Шаг 3. Отметить обе точки на координатной плоскости.
- Шаг 4. Провести через них прямую линейкой — бесконечно в обе стороны.
Пример. Построить \(y = 2x - 3\).
Точка 1: \(x = 0\), \(y = -3\) → \((0;\,-3)\).
Точка 2: \(x = 2\), \(y = 1\) → \((2;\,1)\).
Прямая возрастает (\(k = 2 > 0\)) и пересекает ось \(Oy\) ниже нуля (\(b = -3\)) — всё совпадает с ожидаемым видом. Линейная функция и её график в задачах 7 класса строятся именно этим методом, и алгоритм не меняется при любых числах.
Прямая пропорциональность y = kx — частный случай
При \(b = 0\) формула принимает вид \(y = kx\). Это прямая пропорциональность. График линейной функции прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат, поскольку при \(x = 0\) получается \(y = 0\):
\[y = kx \quad \xrightarrow{x\,=\,0} \quad y = 0\]
Линейная функция вида \(y = kx\), её прямой график, проходящий через точку \((0;\,0)\) — это ключевое визуальное отличие от общего случая \(y = kx + b\). Если прямая на чертеже проходит через начало координат — это прямая пропорциональность, \(b = 0\). Если нет — нужно найти \(b\).
Коротко
- y = kx: график проходит через (0; 0)
- y = kx + b, b ≠ 0: прямая сдвинута на b единиц по оси Oy
- Прямая пропорциональность — нечётная функция: f(−x) = −f(x)
Параллельные прямые: когда графики линейных функций параллельны
Два графика линейных функций \(y = k_1 x + b_1\) и \(y = k_2 x + b_2\) параллельны тогда и только тогда, когда:
\[k_1 = k_2, \quad b_1 \neq b_2\]
Если равны и \(k\), и \(b\) — прямые совпадают. Одинаковый угловой коэффициент означает одинаковый наклон, а разные \(b\) гарантируют, что прямые не пересекутся.
Горизонтальная прямая. При \(k = 0\) линейная функция принимает вид \(y = b\). График линейной функции — прямая, параллельная оси \(Ox\). Формулой линейной функции с графиком параллельной прямой к оси \(Ox\) служит \(y = \mathrm{const}\).
Вертикальная прямая. Уравнение \(x = c\) задаёт прямую, параллельную оси \(Oy\), — но это уже не функция: одному значению \(x\) соответствует бесконечно много \(y\). Понятие «вертикальная линейная функция» некорректно.
Коротко
- Параллельность: k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂
- Горизонтальная прямая y = b: k = 0, параллельна оси Ox
- Вертикальная прямая x = c: не является функцией
- Совпадение прямых: k₁ = k₂ и b₁ = b₂
Уравнение прямой и линейная функция: как связаны формулы
В геометрии прямую часто записывают в общем виде:
\[Ax + By + C = 0\]
Это уравнение прямой — более широкая форма, которая охватывает в том числе вертикальные прямые. График линейной функции \(y = kx + b\) — его частный случай при \(B \neq 0\), форма «наклон — пересечение».
Чтобы перейти от общего вида к стандартному, достаточно выразить \(y\):
\[By = -Ax - C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}\,x - \frac{C}{B}\]
Отсюда: \(k = -\dfrac{A}{B}\), \(b = -\dfrac{C}{B}\).
Пример. \(2x - 3y + 6 = 0\):
\[-3y = -2x - 6 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}\,x + 2\]
Угловой коэффициент \(\dfrac{2}{3}\), пересечение с осью \(Oy\) в точке \((0;\,2)\).
Связь «уравнение прямой — линейная функция» важна для задач, где условие дано в форме \(Ax + By + C = 0\), а ответ требуется в виде \(y = kx + b\).
Как найти функцию по графику линейной прямой: алгоритм
Задача «как найти функцию по графику линейной прямой» решается строго по алгоритму и не требует угадывания.
- Восстановление коэффициентов линейной функции
- Шаг 1. Найти b: прочитать ординату точки пересечения прямой с осью Oy.
- Шаг 2. Выбрать две точки, где прямая точно попадает в узлы координатной сетки — пересечения горизонтальных и вертикальных линий.
- Шаг 3. Вычислить k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) по координатам выбранных точек.
- Шаг 4. Записать y = kx + b. Проверить: подставить третью точку с графика и убедиться, что равенство выполняется.
Пример. Прямая пересекает \(Oy\) в точке \((0;\,4)\) и проходит через \((2;\,0)\).
\[k = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2\]
Формула: \(y = -2x + 4\). Проверка при \(x = 1\): \(y = -2 + 4 = 2\) — совпадает с графиком.
Именно так устроено большинство задач ОГЭ: графики линейных функций с их коэффициентами нужно считывать с чертежа по узловым точкам сетки, а не «на глаз».
Типичные ошибки при работе с графиком линейной функции
Задания с линейными функциями из ОГЭ и ЕГЭ: разбор
Задача 1. Соответствие: функция линейная, 4 графика — 4 формулы.
Формулы: \(y = 2x + 1\), \(y = -x + 3\), \(y = 2x - 2\), \(y = -x - 1\).
Первый шаг — делим по знаку \(k\). Возрастающие (\(k > 0\)): \(y = 2x + 1\) и \(y = 2x - 2\); у обеих \(k = 2\), значит параллельны. Различие в \(b\): первая пересекает \(Oy\) выше нуля (\(b = 1\)), вторая ниже (\(b = -2\)).
Убывающие (\(k < 0\)): \(y = -x + 3\) (\(b = 3\)) и \(y = -x - 1\) (\(b = -1\)) — аналогично.
Задание на четыре графика линейных функций с их коэффициентами решается именно так: сначала по знаку \(k\) делим на группы, затем внутри группы различаем по \(b\).
Задача 2. Точка пересечения двух прямых.
Найти координаты точки пересечения \(y = 3x - 1\) и \(y = -x + 7\).
\[3x - 1 = -x + 7 \;\Rightarrow\; 4x = 8 \;\Rightarrow\; x = 2, \quad y = 3 \cdot 2 - 1 = 5\]
Ответ: \((2;\,5)\).
Задача 3. Восстановление формулы по чертежу (тип задач ОГЭ).
Прямая пересекает \(Oy\) в точке \((0;\,-2)\) и проходит через \((3;\,1)\).
\[k = \frac{1 - (-2)}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1\]
Формула: \(y = x - 2\). Проверка при \(x = 3\): \(y = 1\) ✓.
Линейная функция, её построение и обратная задача — восстановление формулы по чертежу — в заданиях ОГЭ и ЕГЭ проверяются вместе. Понимание обоих направлений даёт уверенное решение.
Частые вопросы
Как найти функцию по графику линейной прямой?
Нужно найти \(b\) — ординату точки пересечения прямой с осью \(Oy\), затем выбрать две чёткие узловые точки сетки и вычислить \(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Результат — формула \(y = kx + b\), которую проверяют подстановкой третьей точки с рисунка.
Что показывает угловой коэффициент k в формуле y = kx + b?
Коэффициент \(k\) описывает наклон прямой: при \(k > 0\) функция возрастает, при \(k < 0\) — убывает. Величина \(|k|\) определяет крутизну: \(k = 1\) даёт наклон 45°, большие значения — более крутую прямую, дробные — более пологую.
Как определить, параллельны ли два графика линейных функций?
Два графика параллельны, если их угловые коэффициенты равны (\(k_1 = k_2\)) и свободные члены различны (\(b_1 \neq b_2\)). Если совпадают и \(k\), и \(b\) — прямые совпадают целиком.
Чем прямая пропорциональность отличается от линейной функции?
Прямая пропорциональность \(y = kx\) — частный случай линейной функции при \(b = 0\). Её отличительный признак: график проходит через начало координат \((0;\,0)\). В общем случае \(y = kx + b\) прямая смещена по вертикали на \(b\) единиц.
Как быстро построить график линейной функции по формуле?
Достаточно двух точек. Проще всего взять \(x = 0\) — получится точка \((0;\,b)\) на оси \(Oy\). Затем подобрать \(x\) так, чтобы \(y\) тоже оказалось целым числом, и соединить точки линейкой.
Может ли график линейной функции быть параллелен оси координат?
Параллельным оси \(Ox\) — да: при \(k = 0\) функция принимает вид \(y = b\), и прямая горизонтальна. Параллельным оси \(Oy\) — нет: вертикальная прямая \(x = c\) не является функцией, так как одному значению \(x\) соответствует бесконечно много значений \(y\).
По этой теме есть отдельный разбор: задание 11 ЕГЭ профиль на графики функций.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.