Что входит в задание 11: общая теория и виды графиков
Задание 11 проверяет умение переводить геометрический образ графика в аналитическую формулу. В профильном ЕГЭ это задание базового уровня сложности, оценивается в 1 первичный балл. Обычно на рисунке изображен график одной из элементарных функций с отмеченными узловыми точками; требуется найти значение функции, коэффициент или параметр уравнения.
Главный навык — быстро распознать семейство функции по форме кривой. Ниже шпаргалка для мгновенной идентификации.
Коротко
- Прямая линия — линейная функция \(y=kx+b\).
- Симметричная кривая с вершиной и ветвями — квадратичная функция \(y=ax^2+bx+c\).
- Две ветви в противоположных четвертях с асимптотами вдоль осей — обратная пропорциональность \(y=k/x\) или дробно-линейная функция при сдвиге асимптот.
- Одна ветвь «лежачей» параболы из начала координат — функция квадратного корня \(y=\sqrt{x}\).
- Кривая через \((0;1)\) с горизонтальной асимптотой — показательная \(y=a^x\).
- Кривая через \((1;0)\) с вертикальной асимптотой — логарифмическая \(y=\log_a x\).
- Периодическая волна — тригонометрическая функция (синус, косинус, тангенс, котангенс).
Важную роль играют сдвиги графика. Шаблон \(y=f(x-m)+n\) переносит базовый график на \(m\) вправо и на \(n\) вверх. По смещению асимптот сразу восстанавливают вид уравнения гиперболы или дробно-линейной функции. Область определения проектируется на ось \(Ox\), область значений — на \(Oy\); это помогает отсечь неверные варианты при сопоставлении графиков и формул.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Линейная функция и прямая: восстановление уравнения по графику
Алгоритм нахождения коэффициентов \(k\) и \(b\) стандартный и надёжный. Свободный член \(b\) равен ординате пересечения прямой с осью \(Oy\). Угловой коэффициент \(k\) вычисляют по двум точкам, которые гарантированно попадают в узлы сетки. Взятие точек «на глаз» — частая причина потери балла: неточное считывание координат даёт неверный наклон.
- Восстановление коэффициентов линейной функции
- Шаг 1. Найдите \(b\) как ординату пересечения с осью \(Oy\).
- Шаг 2. Выберите две узловые точки \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\), через которые проходит график.
- Шаг 3. Вычислите \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
- Шаг 4. Запишите уравнение \(y=kx+b\) и подставьте требуемый аргумент.
Если прямая параллельна оси \(Ox\), то \(k=0\), уравнение \(y=b\). Если параллельна оси \(Oy\) — это не график функции (одному \(x\) соответствует множество \(y\)), такие варианты в задании 11 не встречаются.
Парабола (квадратичная функция): вершина, ветви, коэффициенты
Направление ветвей сразу выдаёт знак старшего коэффициента: ветви вверх — \(a>0\), вниз — \(a<0\). Пересечение с осью \(Oy\) даёт свободный член \(c\) (ордината точки \((0;c)\)). Типичная ошибка — считать \(c\) абсциссой вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\), она связывает \(a\) и \(b\), но не равна \(c\).
Если на рисунке отмечена вершина \((h;k)\), быстрее всего использовать вершинную форму \(y=a(x-h)^2+k\). Остаётся подставить координаты любой другой чёткой точки и найти \(a\).
- Восстановление коэффициентов параболы
- Шаг 1. Определите \(c\) по пересечению с осью \(Oy\).
- Шаг 2. По вершине \((x_0;y_0)\) используйте \(x_0=-\frac{b}{2a}\), связывая \(a\) и \(b\).
- Шаг 3. Подставьте координаты ещё одной ясной точки графика в \(y=ax^2+bx+c\).
- Шаг 4. Решите систему уравнений и найдите все коэффициенты.
- Восстановление параболы по вершине
- Шаг 1. Считайте координаты вершины \((h;k)\) по клеткам.
- Шаг 2. Запишите \(y=a(x-h)^2+k\).
- Шаг 3. Подставьте ещё одну отмеченную точку и найдите \(a\).
- Шаг 4. При необходимости вычислите требуемое значение функции.
Гипербола и дробно-линейная функция: сдвиги и асимптоты
Базовая гипербола \(y=k/x\) имеет асимптоты \(x=0\) и \(y=0\). При \(k>0\) ветви лежат в I и III четвертях, при \(k<0\) — во II и IV. Дробно-линейная функция \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) — это та же гипербола, сдвинутая по горизонтали и вертикали. Вертикальная асимптота \(x=-\frac{d}{c}\) (нуль знаменателя), горизонтальная \(y=\frac{a}{c}\) (отношение старших коэффициентов). По графику считывают уравнения асимптот, подставляют в заготовку \(y=\frac{k}{x-m}+n\) и находят \(k\) через отмеченную точку.
- Гипербола со сдвигом
- Шаг 1. Найдите вертикальную асимптоту \(x=m\) и горизонтальную \(y=n\) по расположению ветвей.
- Шаг 2. Запишите заготовку \(y=\frac{k}{x-m}+n\).
- Шаг 3. Подставьте координаты одной отмеченной точки графика и найдите \(k\).
- Шаг 4. Подставьте искомый аргумент, чтобы получить ответ.
Показательная, логарифмическая, корневая и модульные функции
Показательная \(y=a^x\) всегда проходит через \((0;1)\), имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\). Логарифмическая \(y=\log_a x\) — обратная ей: проходит через \((1;0)\), вертикальная асимптота \(x=0\). Монотонность определяет основание: растёт — \(a>1\), убывает — \(0<a<1\). Основание \(a\) находят через контрольную точку: для показательной это ордината при \(x=1\) (так как \(a^1=a\)), для логарифмической — абсцисса при \(y=1\) (так как \(\log_a a=1\)). Ошибка — искать основание в точке \((0;1)\): там всегда единица, она не различает функции.
- Распознавание показательной и логарифмической
- Шаг 1. Прижимается к горизонтали и проходит через (0;1) — показательная \(y=a^x\).
- Шаг 2. Прижимается к вертикали и проходит через (1;0) — логарифмическая \(y=log_a x\).
- Шаг 3. По возрастанию/убыванию определите, a>1 или 0<a<1.
- Шаг 4. Подставьте отмеченную точку (например (1;a) для показательной), чтобы найти основание a.
- Определение основания через контрольную точку
- Шаг 1. Для \(y=a^x\) возьмите точку с абсциссой 1: её ордината равна a.
- Шаг 2. Либо подставьте любую целочисленную точку \((x_0;y_0\)) и решите \(a^{x_0}=y_0\).
- Шаг 3. Для \(y=log_a x\) возьмите точку (a;1) или решите \(log_a x_0=y_0\), то есть \(a^{y_0}=x_0\).
- Шаг 4. Проверьте знак и монотонность на согласованность.
- Коэффициент корня y=k*sqrt(x)
- Шаг 1. Подставьте одну отмеченную целочисленную точку (x0;y0) в y=k*sqrt(x).
- Шаг 2. Найдите k=y0/sqrt(x0).
- Шаг 3. Обратную задачу (по данному y найти x) решите из k*sqrt(x)=y возведением в квадрат.
График \(y=k\sqrt{x}\) — половина «лежачей» параболы. Коэффициент \(k\) растягивает или сжимает ветвь, при \(k<0\) она направлена вниз. Тригонометрические графики узнаются по периоду и амплитуде: синус и косинус — волны с периодом \(2\pi\), тангенс и котангенс — периодические кривые с вертикальными асимптотами и периодом \(\pi\).
Сложные случаи: вторая точка пересечения и система графиков
Частый тип задачи: даны графики параболы и прямой (или двух парабол), они пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Известны координаты \(A\), нужно найти абсциссу или ординату \(B\). Восстанавливают уравнения обоих графиков, приравнивают правые части, получают квадратное уравнение. Один корень — известная абсцисса \(A\). Второй корень находят мгновенно по теореме Виета: сумма корней \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) (или \(-p\) для приведённого уравнения). Это быстрее и безопаснее, чем решать уравнение «с нуля».
Задания на соответствие нескольких графиков и формул решаются методом исключения. Сначала определяют грубые признаки: знак коэффициентов, направление ветвей, положение асимптот. Затем проверяют оставшиеся кандидаты подстановкой отмеченных точек.
- Вторая точка пересечения двух графиков
- Шаг 1. Восстановите формулы обоих графиков по отмеченным точкам.
- Шаг 2. Приравняйте правые части и приведите к уравнению (обычно квадратному).
- Шаг 3. Один корень — это известная точка A; второй найдите по теореме Виета (x1+x2=-p, x1*x2=q).
- Шаг 4. Для ординаты подставьте найденный x в любое из уравнений.
- Установление соответствия «график ↔ формула»
- Шаг 1. Для каждой формулы определите знаки коэффициентов и характерные признаки (направление ветвей/наклона, четверти, асимптоты).
- Шаг 2. Для каждого графика считайте те же признаки с рисунка.
- Шаг 3. Сопоставляйте по самым различающим признакам (знак a, монотонность, положение асимптот).
- Шаг 4. Проверьте оставшиеся варианты подстановкой контрольной точки.
Коротко
- Пересечение с осью Oy сразу даёт свободный член: b у прямой, c у параболы.
- Ветви параболы вверх — a>0, вниз — a<0.
- Гипербола k/x: k>0 — I и III четверти, k<0 — II и IV.
- Показательная всегда проходит через (0;1), логарифмическая — через (1;0).
- a>1 — функция растёт, 0<a<1 — убывает (для \(a^x\) и \(log_a x\)).
- Угловой коэффициент прямой: k=Δy/Δx по двум узловым точкам.
- Сдвиг: f(x-m)+n — на m вправо и n вверх.
- Абсцисса вершины параболы x=-b/(2a), а не c.
- Корень y=sqrt(x) определён только при x≥0.
- Считывайте координаты только по точным узлам сетки.
Частые вопросы
Как определить коэффициенты функции по графику в задании 11? Сначала идентифицируйте тип функции по форме графика. Затем используйте характерные точки: пересечение с осями, вершина, асимптоты, отмеченные узловые точки. Подставьте их координаты в общий вид формулы и решите полученные уравнения относительно неизвестных параметров.
Какие функции егэ профиль встречаются в задании 11? Линейная, квадратичная, обратная пропорциональность, дробно-линейная, показательная, логарифмическая, корневая, модульная, тригонометрические (синус, косинус, тангенс, котангенс) и их комбинации со сдвигами.
В чем разница между сдвигами гиперболы по x и по y? Сдвиг по горизонтали (по \(x\)) меняет уравнение вертикальной асимптоты: \(x=m\) в формуле \(y=\frac{k}{x-m}+n\). Сдвиг по вертикали (по \(y\)) меняет уравнение горизонтальной асимптоты: \(y=n\). Внутри знаменателя — горизонтальный сдвиг, снаружи — вертикальный.
11 задание егэ математика профиль парабола как решать? Определите знак \(a\) по ветвям. Найдите \(c\) по пересечению с \(Oy\). Если вершина отмечена — пишите вершинную форму \(y=a(x-h)^2+k\), подставьте другую точку, найдите \(a\). Если вершина не отмечена — используйте систему: \(c\) известно, подставьте две точки в \(y=ax^2+bx+c\), найдите \(a\) и \(b\).
По этой теме есть отдельный разбор: решение квадратных уравнений через дискриминант.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства логарифмов и уравнения для ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: как найти область определения функции.
По этой теме есть отдельный разбор: геометрический смысл производной и касательные.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.