Треугольник — базовая фигура планиметрии, на которой держатся задания 1, 3 и 16 профильного ЕГЭ. В задании 1 проверяют прямое применение формул (площадь, теоремы синусов и косинусов, соотношения в прямоугольном треугольнике). В задании 3 — вычисления с использованием свойств медиан, биссектрис, высот, вписанной и описанной окружностей. Задание 16 — полноценная геометрическая задача с доказательством (пункт а) и вычислением (пункт б), где ключ к успеху — грамотное сочетание теорем подобия, площадей, окружностей и метрических соотношений. В базе собраны определения, рабочие формулы, свойства замечательных линий и точек, пошаговые методы решения типовых конфигураций, разбор частых ошибок и примеры с полным ходом рассуждений.
Формулы и свойства
Теорема Пифагора
\[c^2=a^2+b^2\]
Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c.
Площадь через основание и высоту
\[S=\dfrac{1}{2}a\,h_a\]
Половина произведения стороны на опущенную к ней высоту.
Площадь через две стороны и угол
\[S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\]
γ — угол между сторонами a и b.
Теорема косинусов
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]
Находит третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а также любой угол по трём сторонам.
Теорема синусов
\[\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R\]
Связывает стороны, противолежащие углы и радиус описанной окружности R.
Формула Герона
\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
\(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) — полупериметр; площадь по трём сторонам.
Радиус вписанной окружности
\[r=\dfrac{S}{p}\]
S — площадь, p — полупериметр.
Радиус описанной окружности
\[R=\dfrac{abc}{4S}\]
Через три стороны и площадь.
Длина медианы
\[m_a=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]
Медиана к стороне a.
Длина биссектрисы
\[l_a^2=bc-\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}\]
Биссектриса из вершины A к стороне a (равна bc минус произведение отрезков BD·DC).
Площадь прямоугольного треугольника
\[S=\dfrac{1}{2}a\,b\]
Половина произведения катетов a и b.
Соотношения в прямоугольном треугольнике
\[\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\ \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{a}{b}\]
a — противолежащий катет, b — прилежащий, c — гипотенуза.
Неравенство треугольника
\[|b-c|<a<b+c\]
Каждая сторона меньше суммы и больше модуля разности двух других; условие существования треугольника.
Соотношение сторон и углов
\[a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta\]
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Свойство центроида
\[AG=\dfrac{2}{3}m_a\]
Точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2:1 от вершины; медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих.
Признаки подобия
\[\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k\ \Rightarrow\ \dfrac{S_1}{S_2}=k^2\]
У подобных треугольников стороны пропорциональны, а площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Свойство прямоугольного треугольника
\[m_c=\dfrac{c}{2}=R\]
Медиана к гипотенузе равна её половине и равна радиусу описанной окружности; центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Внешний угол
\[\gamma_{\text{внеш}}=\alpha+\beta\]
Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних.
Ежедневные разборы и задачи — в TelegramПодписаться
Как решать: методы
Решение через теорему косинусов
Известны две стороны и угол между ними (нужна третья сторона) или известны все три стороны (нужен угол).
- Обозначьте стороны a, b, c и углы α, β, γ так, чтобы искомая сторона лежала против известного угла.
- Для стороны: подставьте \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) и извлеките корень.
- Для угла: выразите \(\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) и найдите угол через арккосинус или табличное значение.
- Проверьте разумность: против большего угла должна лежать большая сторона.
Решение через теорему синусов
Известны сторона и два угла, либо две стороны и угол против одной из них, либо нужен радиус описанной окружности.
- Найдите недостающий угол из условия α+β+γ=180°, если известны два угла.
- Запишите пропорцию \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}\) и выразите искомую сторону.
- Для радиуса используйте \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R\), откуда \(R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}\).
- Следите за случаем двух решений (тупой/острый угол), если дана сторона против меньшего угла.
Метод площадей
Нужно найти высоту, отрезок, отношение площадей или связать несколько элементов через одну площадь.
- Выразите площадь треугольника двумя разными способами (например, \(S=\tfrac12 a h_a\) и \(S=\tfrac12 ab\sin\gamma\)).
- Приравняйте выражения и выразите искомую величину.
- Для отношений используйте, что треугольники с общей высотой относятся как основания, а с общим углом — как произведения прилежащих сторон.
- Проверьте единицы и положительность результата.
Использование вписанной и описанной окружностей
В условии фигурируют r, R, точки касания или треугольник вписан/описан.
- Найдите площадь S (Герон или полусторона·высота) и полупериметр p.
- Вычислите \(r=\dfrac{S}{p}\) для вписанной окружности.
- Вычислите \(R=\dfrac{abc}{4S}\) или \(R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}\) для описанной.
- Помните: отрезки касательных из одной вершины равны, что даёт систему p-a, p-b, p-c.
Подобие треугольников
Есть параллельные прямые, общий угол, вписанные углы или каскад пропорций (задание 16).
- Найдите пару равных углов (по параллельности, вертикальные, вписанные, общий угол).
- Установите подобие по двум углам и запишите отношение соответствующих сторон.
- Составьте пропорцию и выразите искомый отрезок.
- Для площадей примените \(\dfrac{S_1}{S_2}=k^2\), где k — коэффициент подобия.
Свойство биссектрисы
Биссектриса делит сторону, нужно найти отрезки, стороны или длину биссектрисы.
- Запишите \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\), обозначив отрезки как части через параметр.
- Выразите отрезки, зная сумму BD+DC=a.
- При необходимости длины биссектрисы примените \(l_a^2=bc-BD\cdot DC\).
- Проверьте: биссектриса лежит внутри треугольника, отрезки положительны.
Координатный метод
Много перпендикуляров, середин, требуется доказать соотношение отрезков или углов (задание 16б).
- Введите систему координат, удобно поставив одну вершину в начало, а сторону — на ось Ox.
- Запишите координаты вершин и нужных точек (середины — среднее координат).
- Выразите длины через формулу расстояния, углы — через скалярное произведение или тангенсы.
- Проведите вычисления и приведите ответ; проверьте частным случаем.
Достраивание и дополнительные построения
Задача 16 не решается прямо: нужна вспомогательная линия (высота, параллель, продолжение, удвоение медианы).
- Определите, какой элемент мешает: тупой угол, нецелая высота, разрозненные отрезки.
- Проведите высоту к нужной стороне или продлите медиану до параллелограмма (удвоение).
- Получите прямоугольные треугольники или параллелограмм и примените Пифагора/подобие.
- Соберите найденные величины в исходный вопрос.
Типичные ошибки
❌ ошибкаВ теореме косинусов пишут \(c^2=a^2+b^2+2ab\cos\gamma\)
✅ верноПравильно \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) со знаком минус
При γ=90° косинус равен нулю и формула обязана давать теорему Пифагора; знак минус учитывает, что при тупом угле сторона длиннее.
❌ ошибкаЦентроид делит медиану пополам, \(AG=\tfrac12 m_a\)
✅ верноЦентроид делит медиану как 2:1 от вершины, \(AG=\dfrac{2}{3}m_a\)
От вершины идёт большая часть; путаница отношения ведёт к неверным длинам и площадям.
❌ ошибкаПлощади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия k
✅ верноПлощади относятся как квадрат коэффициента, \(\dfrac{S_1}{S_2}=k^2\)
Площадь — двумерная величина, поэтому масштабируется во второй степени, а не линейно.
❌ ошибкаСинус находят по формуле \(\sin\alpha=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\)
✅ верно\(\sin\alpha=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}\), а прилежащий даёт косинус
Перепутанные катеты дают неверный угол; синус всегда связан с противолежащим катетом.
❌ ошибкаДля любого треугольника считают \(R=\dfrac{c}{2}\)
✅ верноРавенство \(R=\dfrac{c}{2}\) верно только для прямоугольного (c — гипотенуза)
Формула следует из того, что гипотенуза — диаметр описанной окружности; для косоугольного треугольника используют \(R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}\).
❌ ошибкаСчитают, что треугольник со сторонами 2, 3, 6 существует
✅ верноТакого треугольника нет: 2+3=5<6, нарушено неравенство треугольника
Сумма двух сторон должна строго превышать третью, иначе стороны не замкнутся.
Коротко
Коротко
- Сумма углов треугольника: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
- Медианы делятся точкой пересечения как 2:1 от вершины.
- Площадь через угол: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\).
- Формула Герона: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где p — полупериметр.
- Вписанная: \(r=\dfrac{S}{p}\); описанная: \(R=\dfrac{abc}{4S}\).
- В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине и равна R.
- Неравенство треугольника: |b-c|<a<b+c.
- У подобных фигур площади относятся как \(k^2\), периметры — как k.
- Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Против большей стороны лежит больший угол.
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
Забери бесплатные шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки одним файлом. Плюс ежедневные разборы в канале.
Забрать в боте