Треугольник — базовая фигура планиметрии, на которой держатся задания 1, 3 и 16 профильного ЕГЭ. В задании 1 проверяют прямое применение формул (площадь, теоремы синусов и косинусов, соотношения в прямоугольном треугольнике). В задании 3 — вычисления с использованием свойств медиан, биссектрис, высот, вписанной и описанной окружностей. Задание 16 — полноценная геометрическая задача с доказательством (пункт а) и вычислением (пункт б), где ключ к успеху — грамотное сочетание теорем подобия, площадей, окружностей и метрических соотношений. В базе собраны определения, рабочие формулы, свойства замечательных линий и точек, пошаговые методы решения типовых конфигураций, разбор частых ошибок и примеры с полным ходом рассуждений.
Формулы и свойства
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как решать: методы
Решение через теорему косинусов
- Обозначьте стороны a, b, c и углы α, β, γ так, чтобы искомая сторона лежала против известного угла.
- Для стороны: подставьте \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) и извлеките корень.
- Для угла: выразите \(\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) и найдите угол через арккосинус или табличное значение.
- Проверьте разумность: против большего угла должна лежать большая сторона.
Решение через теорему синусов
- Найдите недостающий угол из условия α+β+γ=180°, если известны два угла.
- Запишите пропорцию \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}\) и выразите искомую сторону.
- Для радиуса используйте \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R\), откуда \(R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}\).
- Следите за случаем двух решений (тупой/острый угол), если дана сторона против меньшего угла.
Метод площадей
- Выразите площадь треугольника двумя разными способами (например, \(S=\tfrac12 a h_a\) и \(S=\tfrac12 ab\sin\gamma\)).
- Приравняйте выражения и выразите искомую величину.
- Для отношений используйте, что треугольники с общей высотой относятся как основания, а с общим углом — как произведения прилежащих сторон.
- Проверьте единицы и положительность результата.
Использование вписанной и описанной окружностей
- Найдите площадь S (Герон или полусторона·высота) и полупериметр p.
- Вычислите \(r=\dfrac{S}{p}\) для вписанной окружности.
- Вычислите \(R=\dfrac{abc}{4S}\) или \(R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}\) для описанной.
- Помните: отрезки касательных из одной вершины равны, что даёт систему p-a, p-b, p-c.
Подобие треугольников
- Найдите пару равных углов (по параллельности, вертикальные, вписанные, общий угол).
- Установите подобие по двум углам и запишите отношение соответствующих сторон.
- Составьте пропорцию и выразите искомый отрезок.
- Для площадей примените \(\dfrac{S_1}{S_2}=k^2\), где k — коэффициент подобия.
Свойство биссектрисы
- Запишите \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\), обозначив отрезки как части через параметр.
- Выразите отрезки, зная сумму BD+DC=a.
- При необходимости длины биссектрисы примените \(l_a^2=bc-BD\cdot DC\).
- Проверьте: биссектриса лежит внутри треугольника, отрезки положительны.
Координатный метод
- Введите систему координат, удобно поставив одну вершину в начало, а сторону — на ось Ox.
- Запишите координаты вершин и нужных точек (середины — среднее координат).
- Выразите длины через формулу расстояния, углы — через скалярное произведение или тангенсы.
- Проведите вычисления и приведите ответ; проверьте частным случаем.
Достраивание и дополнительные построения
- Определите, какой элемент мешает: тупой угол, нецелая высота, разрозненные отрезки.
- Проведите высоту к нужной стороне или продлите медиану до параллелограмма (удвоение).
- Получите прямоугольные треугольники или параллелограмм и примените Пифагора/подобие.
- Соберите найденные величины в исходный вопрос.
Теорема косинусов и теорема синусов: доказательства
Доказательства помогают восстановить формулы с нуля, если забыл их на экзамене, — и именно их спрашивают на зачётах в 9 классе.
Доказательство теоремы косинусов. Поместим треугольник в координаты: вершину \(C\) — в начало, сторону \(CA\) — вдоль оси \(x\). Тогда \(A(b;0)\), а \(B(a\cos\gamma;\ a\sin\gamma)\). Квадрат расстояния между \(A\) и \(B\):
\[ c^2=(a\cos\gamma-b)^2+(a\sin\gamma)^2=a^2\cos^2\gamma-2ab\cos\gamma+b^2+a^2\sin^2\gamma=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \]
Здесь использовано основное тождество \(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1\). При \(\gamma=90^\circ\) косинус обнуляется и получается теорема Пифагора — она частный случай теоремы косинусов.
Доказательство теоремы синусов. Впишем треугольник в окружность радиуса \(R\) и проведём диаметр \(BD\) через вершину \(B\). Углы \(A\) и \(D\) опираются на одну дугу \(BC\), поэтому \(\angle D=\alpha\). Треугольник \(BCD\) прямоугольный (угол \(C\) опирается на диаметр), значит \(a=BD\sin\alpha=2R\sin\alpha\), откуда \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R\). Для остальных сторон рассуждение то же.
Короткий вариант без окружности (достаточно для 9 класса): запишем площадь тремя способами \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha=\dfrac{1}{2}ac\sin\beta\) и разделим все части на \(\dfrac{1}{2}abc\) — получится \(\dfrac{\sin\gamma}{c}=\dfrac{\sin\alpha}{a}=\dfrac{\sin\beta}{b}\).
Какую теорему выбрать в задаче:
Коротко
- Две стороны и угол МЕЖДУ ними → теорема косинусов (ищем третью сторону).
- Три стороны → теорема косинусов (ищем любой угол через выражение для косинуса).
- Сторона и два угла → теорема синусов.
- Две стороны и угол НЕ между ними → теорема синусов; внимание — решений может быть два.
Типичные ошибки
Коротко
Коротко
- Сумма углов треугольника: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
- Медианы делятся точкой пересечения как 2:1 от вершины.
- Площадь через угол: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\).
- Формула Герона: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где p — полупериметр.
- Вписанная: \(r=\dfrac{S}{p}\); описанная: \(R=\dfrac{abc}{4S}\).
- В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине и равна R.
- Неравенство треугольника: |b-c|<a<b+c.
- У подобных фигур площади относятся как \(k^2\), периметры — как k.
- Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- Против большей стороны лежит больший угол.
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.