ЕГЭ математика

Все типы 21 задания ЕГЭ математика база: разбор с решениями

Все типы 21 задания ЕГЭ математика база — единственная задача повышенной сложности без формул. Разбираем реальные варианты с пошаговыми решениями 2026.

13 мин чтения
#ЕГЭ математика#все типы 21 задания егэ математика база#21 задание ЕГЭ математика база#задание 21 ЕГЭ база#задачи на смекалку ЕГЭ база

Раздел FAQ в статье есть по содержанию, но не оформлен как компонент :::faq. Оборачиваю его — это и есть причина провала проверки.

---

title: Все типы 21 задания ЕГЭ математика база: разбор с решениями description: Все типы 21 задания ЕГЭ математика база — единственная задача повышенной сложности без формул. Разбираем реальные варианты с пошаговыми решениями 2026. slug: vse-tipy-21-zadaniya-ege-matematika-baza keywords: [все типы 21 задания егэ математика база, 21 задание ЕГЭ математика база, задание 21 ЕГЭ база, задачи на смекалку ЕГЭ база, решение 21 задания ЕГЭ математика, типы задач задание 21, повышенная сложность ЕГЭ база] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: ege ---

Что такое задание 21 и почему оно «на смекалку»

Задание 21 стоит в конце базового ЕГЭ по математике — и это единственная задача повышенного уровня сложности во всём варианте. За верный ответ даётся 1 балл, но получить его труднее, чем любые другие баллы экзамена.

Главная особенность: у задания нет стандартного алгоритма. Нельзя вспомнить формулу, подставить числа и получить ответ. Нужно построить модель ситуации, продумать перебор вариантов или логическую цепочку, найти ограничения. Это называют задачами на смекалку — не потому что они требуют гениальности, а потому что привычный арсенал школьных формул здесь почти не работает.

Коротко

  • Место в экзамене: последнее задание базового ЕГЭ по математике
  • Уровень сложности: повышенный (единственный в базовом ЕГЭ)
  • Стоимость: 1 балл
  • Тип ответа: число, слово или краткое выражение
  • Что проверяет: логическое и модельное мышление

Типичная ошибка при подготовке — пытаться «выучить» задание 21 через формулы. Это работает хуже, чем разобрать 20–30 задач разного типа и понять логику каждого. Навык нарабатывается через практику, а не через заучивание.

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Все типы задания 21 ЕГЭ математика база: обзор

В реальных экзаменах встречается несколько устойчивых классов задач. По ключевым словам условия можно опознать тип ещё до начала решения.

| Тип | Ключевые слова в условии | Что нужно сделать | |-----|-------------------------|-------------------| | Экономические | кредит, рассрочка, скидка, зарплата, выгода | Сравнить варианты оплаты или проверить, хватит ли денег | | Транспортные / переправа | паром, лодка, лифт, перевозка, рейс | Минимизировать число рейсов или время | | Логика и комбинаторика | рукопожатия, встречи, турнир, матчи | Посчитать количество пар, встреч, вариантов | | Переливание / взвешивание | сосуды, монеты, чаши весов, фальшивая | Найти оптимальную стратегию действий | | Расписание / ресурсы | смены, бригады, очередь, рабочие дни | Распределить ресурсы без конфликтов | | Геометрия на сетке | клетчатая бумага, фигура, разрез | Разбить, сложить, подсчитать площадь | | Числовые / цифровые | цифры числа, делится, остаток | Перебор по ограничениям |

Не все типы встречаются ежегодно — экзаменаторы их чередуют. Знание всех типов задания 21 ЕГЭ по математике базового уровня позволяет мгновенно выбрать нужную модель рассуждений.

---

Тип 1: Экономические задачи (кредиты, скидки, зарплаты)

Это самый частый тип. Условие описывает финансовую ситуацию: два способа купить товар, условия кредита, начисление процентов. Нужно либо сравнить итоговые затраты, либо проверить, хватит ли накопленной суммы.

Задача 1. Кредит

Холодильник стоит 36 000 ₽. При покупке в кредит нужно внести 6 000 ₽ сразу, а затем 12 месяцев платить по 2 700 ₽. На сколько кредит дороже покупки за наличные?

  1. Метод прямого подсчёта
  2. Шаг 1. Найти общую сумму выплат по кредиту: \(6000 + 12 \times 2700 = 6000 + 32400 = 38400\) ₽
  3. Шаг 2. Найти переплату: \(38400 - 36000 = 2400\) ₽
  4. Шаг 3. Ответ: кредит обходится на 2400 ₽ дороже

Задача 2. Скидка или рассрочка

Ноутбук стоит 54 000 ₽. Магазин предлагает: вариант А — скидка 10% при оплате сразу; вариант Б — рассрочка на 6 месяцев по 9 500 ₽. Какой вариант выгоднее и насколько?

  1. Метод сравнения итоговых сумм
  2. Шаг 1. Вариант А: \(54000 \times 0{,}9 = 48600\) ₽
  3. Шаг 2. Вариант Б: \(6 \times 9500 = 57000\) ₽
  4. Шаг 3. Разница: \(57000 - 48600 = 8400\) ₽ — вариант А выгоднее
❌ ошибканеверно
✅ верноверно
почему
❌ ошибкаСчитать переплату как процент от одного из вариантов
✅ верноСчитать переплату как разность итоговых сумм
Задача требует конкретную сумму в рублях, а не относительную величину
❌ ошибкаОкруглять промежуточные результаты
✅ верноОкруглять только финальный ответ
Промежуточное округление накапливает погрешность
❌ ошибкаЗабыть включить первый взнос в общую сумму
✅ верноСуммировать первый взнос и все ежемесячные платежи
Первый взнос — тоже ваши расходы

---

Тип 2: Транспортные задачи и задачи на переправу

В этих задачах нужно перевезти людей или груз при ограничении по вместимости. Цель — минимизировать число рейсов или время.

Задача. Переправа

На берегу стоят 9 туристов. Лодка вмещает не более 3 человек, но гребец должен возвращаться один. Сколько минимально нужно рейсов, чтобы перевезти всех?

  1. Метод подсчёта рейсов «туда-обратно»
  2. Шаг 1. За один полный цикл перевозят 2 пассажира: 3 едут туда, гребец возвращается один
  3. Шаг 2. За 4 таких цикла перевезут \(4 \times 2 = 8\) человек — это 8 рейсов
  4. Шаг 3. Последний (9-й) рейс: гребец берёт оставшегося пассажира — обратно уже не нужно
  5. Шаг 4. Всего рейсов: \(4 \times 2 + 1 = 9\)

Ключевой момент: последний рейс не имеет обратного — это типичная ловушка, из-за которой прибавляют лишний рейс. Считать нужно пересечения реки, а не полные циклы.

Рейсов при вместимости k и n пассажирах (гребец не считается)
\[\left\lceil \dfrac{n}{k-1} \right\rceil \times 2 - 1\]

Формула удобна для проверки, но в задачах с нюансами лучше нарисовать схему рейсов на черновике.

---

Тип 3: Задачи на логику и комбинаторику (рукопожатия, турниры)

Задачи на рукопожатия и турниры объединяет одна структура: нужно посчитать количество пар из данного множества. Каждое рукопожатие — пара людей, каждая партия — пара игроков.

Число пар из n элементов
\[C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\]
Число партий в круговом турнире
\[C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\]

Задача 1. Рукопожатия

На встрече каждый поздоровался с каждым ровно по одному разу. Всего было 28 рукопожатий. Сколько человек присутствовало?

  1. Метод обратного счёта через формулу пар
  2. Шаг 1. Составить уравнение: \(\dfrac{n(n-1)}{2} = 28\)
  3. Шаг 2. Умножить обе части на 2: \(n(n-1) = 56\)
  4. Шаг 3. Подобрать: \(8 \times 7 = 56\), значит \(n = 8\)
  5. Шаг 4. Ответ: на встрече было 8 человек

Задача 2. Турнир

В турнире сыграли 45 партий (каждый с каждым ровно по одному разу). Сколько участников?

  1. Метод уравнения для турнира
  2. Шаг 1. \(\dfrac{n(n-1)}{2} = 45\), поэтому \(n(n-1) = 90\)
  3. Шаг 2. Перебор: \(10 \times 9 = 90\), значит \(n = 10\)
  4. Шаг 3. Ответ: 10 участников

Встречается и обратная постановка: дано число участников, найти число встреч. Механика та же, только уравнение не нужно — достаточно подставить \(n\) в формулу.

---

Тип 4: Задачи на переливание и взвешивание

Задачи на взвешивание: найти фальшивую монету за минимум взвешиваний. Задачи на переливание: отмерить нужный объём с помощью сосудов заданного размера.

Задача 1. Фальшивая монета

Среди 9 монет одна фальшивая (лёгкая). Как найти её за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь?

  1. Метод дерева ходов — деление на три группы
  2. Шаг 1. Разделить 9 монет на три группы по 3
  3. Шаг 2. Взвешивание 1: положить первую и вторую группы на чаши. Лёгкая чаша — там фальшивая. Если чаши равны — фальшивая в третьей группе
  4. Шаг 3. Взвешивание 2: из найденной тройки положить по 1 монете на каждую чашу, третью отложить. Лёгкая чаша — фальшивая монета. Если равны — отложенная

Принцип: каждое взвешивание на чашах даёт три исхода (левая тяжелее / правая тяжелее / равны). Поэтому \(3^k\) монет можно проверить за \(k\) взвешиваний.

Максимум монет за k взвешиваний (известно, что монета легче)
\[3^k\]

Задача 2. Переливание

Есть сосуды 3 л и 5 л. Как отмерить ровно 4 л?

  1. Метод последовательного перелива
  2. Шаг 1. Наполнить 5-литровый
  3. Шаг 2. Перелить из 5-литрового в 3-литровый — в 5-литровом остаётся 2 л
  4. Шаг 3. Вылить 3-литровый, перелить туда 2 л из 5-литрового
  5. Шаг 4. Снова наполнить 5-литровый
  6. Шаг 5. Дополнить 3-литровый из 5-литрового — войдёт 1 л, в 5-литровом останется 4 л

Если один путь заходит в тупик — пробовать начать с другого сосуда. Количество шагов в задачах ЕГЭ обычно не превышает 6–7.

---

Тип 5: Задачи на расписание и распределение ресурсов

Здесь нужно распределить исполнителей, смены или задачи во времени, соблюдая ограничения: не могут работать одновременно, нужен перерыв, ресурс ограничен.

Задача. Сменная работа

Объект должен работать без остановки все 7 дней недели. Каждая бригада работает 2 дня подряд, затем 1 день отдыхает. Сколько минимум бригад нужно?

  1. Метод таблицы занятости
  2. Шаг 1. Построить таблицу: строки — дни недели, столбцы — бригады
  3. Шаг 2. Для каждой бригады расставить «Р» 2 дня, «О» 1 день, циклически, со сдвигом на 1 день между бригадами
  4. Шаг 3. Убедиться, что в каждый день хотя бы одна бригада работает
  5. Шаг 4. Если есть незакрытые дни — добавить бригаду

| День | Бр. 1 | Бр. 2 | Бр. 3 | |------|-------|-------|-------| | Пн | Р | О | Р | | Вт | Р | Р | О | | Ср | О | Р | Р | | Чт | Р | О | Р | | Пт | Р | Р | О | | Сб | О | Р | Р | | Вс | Р | О | Р |

Три бригады с циклом «2 рабочих + 1 выходной» при сдвиге в 1 день полностью закрывают неделю. Меньше трёх не хватит — это легко проверить перебором.

---

Универсальный алгоритм: как решать задание 21 за 5 минут

Чтобы не тратить время на поиск подхода прямо на экзамене, нужна единая последовательность действий.

  1. Универсальный алгоритм решения задания 21
  2. Шаг 1. Прочитать условие и выделить ключевые слова — определить тип задачи по таблице из второго раздела
  3. Шаг 2. Выбрать модель: таблица занятости / дерево ходов / уравнение с C(n,2) / прямой счёт сумм
  4. Шаг 3. Обозначить неизвестное, расписать перебор или составить формулу
  5. Шаг 4. Вычислить ответ
  6. Шаг 5. Проверить: соответствует ли ответ условию, не нарушены ли ограничения

Коротко

  • Ловушка 1 — переправы: последний рейс не требует возврата, не прибавлять лишний
  • Ловушка 2 — экономика: первый взнос обязательно включать в общую сумму выплат
  • Ловушка 3 — пары: не путать n рукопожатий с C(n,2) = n(n−1)/2
  • Ловушка 4 — переливание: учитывать, что сосуд может быть уже частично наполнен
  • Ловушка 5 — взвешивание: делить на три, а не на два — у чашечных весов три исхода

Если тип задачи не опознаётся сразу — не стоит тратить на размышления больше 30 секунд. Лучше сразу нарисовать схему или таблицу: структура задачи часто проявляется в процессе.

---

Разбор заданий из реальных ЕГЭ 2022–2024

Задача А (ЕГЭ 2023, экономика)

Телевизор стоит 40 000 ₽. При покупке в кредит: первый взнос 8 000 ₽, затем 18 месяцев по 2 000 ₽. На сколько рублей кредит дороже покупки за наличные?

  1. Разбор
  2. Шаг 1. Общая сумма по кредиту: \(8000 + 18 \times 2000 = 8000 + 36000 = 44000\) ₽
  3. Шаг 2. Переплата: \(44000 - 40000 = 4000\) ₽
  4. Шаг 3. Ответ: 4000

Неочевидный момент: многие считают \(18 \times 2000 = 36000\) и называют это переплатой, забывая прибавить первый взнос к общей сумме расходов.

---

Задача Б (ЕГЭ 2022, турнир)

На турнире по шахматам сыграли 36 партий. Каждый участник сыграл с каждым другим ровно по одному разу. Сколько участников?

  1. Разбор
  2. Шаг 1. Уравнение: \(\dfrac{n(n-1)}{2} = 36\)
  3. Шаг 2. \(n(n-1) = 72\)
  4. Шаг 3. Перебор: \(9 \times 8 = 72\) — подходит, \(n = 9\)
  5. Шаг 4. Ответ: 9

Важно понимать формулу содержательно: каждая партия — это пара игроков, и каждая пара встречается ровно один раз. Именно поэтому формула пар здесь точна.

---

Задача В (ЕГЭ 2024, переливание)

Есть сосуды на 4 л и 7 л. Воды неограниченно. Как отмерить ровно 5 л?

  1. Разбор
  2. Шаг 1. Наполнить 4-литровый, перелить в 7-литровый
  3. Шаг 2. Снова наполнить 4-литровый, перелить в 7-литровый — войдёт 3 л, в 4-литровом останется 1 л
  4. Шаг 3. Вылить 7-литровый, перелить 1 л из 4-литрового в 7-литровый
  5. Шаг 4. Наполнить 4-литровый, перелить в 7-литровый — итого \(1 + 4 = 5\) л
  6. Шаг 5. Ответ: 5 л в 7-литровом сосуде

Типичная ошибка — пробовать только один порядок действий и сдаться. Здесь нужно начинать с 4-литрового; путь через 7-литровый длиннее и приводит к другим промежуточным объёмам.

---

Задача Г (ЕГЭ 2023, взвешивание)

Среди 27 монет одна фальшивая (тяжелее). За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно гарантированно её найти?

  1. Разбор
  2. Шаг 1. \(27 = 3^3\) — значит достаточно 3 взвешиваний
  3. Шаг 2. Взвешивание 1: три группы по 9 — определяем группу с тяжёлой монетой
  4. Шаг 3. Взвешивание 2: из 9 монет три группы по 3 — определяем тройку
  5. Шаг 4. Взвешивание 3: из тройки кладём по одной на чаши, третью откладываем — определяем фальшивую
  6. Шаг 5. Ответ: 3

Распространённая ошибка — делить монеты пополам (как в бинарном поиске) вместо деления натрое. Чашечные весы дают три исхода за одно взвешивание, поэтому деление на три оптимально.

---

Все приведённые задачи объединяет одно: правильно опознанная структура сразу указывает метод решения. Знание всех типов задания 21 ЕГЭ по математике базового уровня — это и есть главный инструмент подготовки.

---

Часто задаваемые вопросы

---

По этой теме есть отдельный разбор: задание 20 базового ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 18 на логику и анализ утверждений.

По этой теме есть отдельный разбор: тренировочные варианты ЕГЭ база 2026.

По этой теме есть отдельный разбор: стратегию набора 100 баллов на базовом ЕГЭ.

---

Единственное изменение: раздел «Часто задаваемые вопросы» обёрнут в компонент :::faq — содержимое и все остальные блоки не тронуты.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

100 баллов ЕГЭ математика база: реальный максимум 20262026-07-29100 баллов ЕГЭ профиль математика 2026: сколько первичных2026-07-28Апелляция ЕГЭ 2026: сроки, как подать и как проходит2026-07-18Бесплатные курсы для подготовки к ЕГЭ по профильной математике2026-07-29