Все исправления внесены. Вот полный файл:
---
`markdown --- title: Задание 20 ЕГЭ математика база 2026: все типы задач description: Задание 20 ЕГЭ математика база 2026 — единственная текстовая задача. Разбираем все типы: движение, совместная работа, сплавы. Формулы и алгоритм решения. slug: zadanie-20-ege-matematika-baza-2026 keywords: [задание 20 егэ математика база 2026, задание 20 егэ математика база как решать, задание 20 егэ математика база теория, все типы 20 задания егэ математика база 2026, 20 задание егэ математика база сплавы, разбор 20 задания егэ математика база 2026] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(dvizhenie_rabota ---\)
Задание 20 — единственная текстовая задача в ЕГЭ по математике базового уровня. Сюда входят задачи на движение, совместную работу и сплавы/смеси. Ниже — все типы с формулами и разобранными примерами, универсальный алгоритм и восемь типичных ошибок.
---
Задание 20 ЕГЭ математика база: теория и ключевые понятия
Задание 20 ЕГЭ математика база 2026 внешне выглядит по-разному: то машины едут навстречу, то рабочие копают канаву, то металл сплавляют с добавкой. Но математическая структура одна:
\[ \text{величина} = \text{скорость} \times \text{время} \]
Три понятия покрывают все случаи.
Скорость \( v = \dfrac{S}{t} \) — расстояние, пройденное за единицу времени при равномерном движении.
Производительность \( p = \dfrac{A}{t} \) — объём работы за единицу времени. Это точный аналог скорости: вместо пути \( S \) стоит объём \( A \), остальное — та же структура.
Концентрация (в задачах на сплавы) — доля вещества в смеси. Если концентрация \( c \), а масса смеси \( m \), то масса компонента равна \( c \cdot m \). Концентрацию удобно понимать как «скорость накопления» компонента — тогда задачи на смеси ничем не отличаются от задач на работу.
Формат в 2026 году не изменился: одна текстовая задача с числовым ответом (целым или десятичной дробью), 1 первичный балл, калькулятор не нужен.
Коротко
- \(S = vt\) — фундамент всей темы; работа устроена так же: \(A = pt\)
- Концентрация × масса смеси = масса компонента
- Все три типа строятся по одной схеме: величина = скорость × время
- Ответ всегда положителен: \(v > 0,\; t > 0\)
- Средняя скорость — это весь путь делится на всё время, а не полусумма скоростей
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Все типы 20 задания ЕГЭ математика база 2026
Все типы 20 задания ЕГЭ математика база 2026 по реальным вариантам 2022–2026 годов распределяются так:
| Группа | Подтип | Примерная частота | |---|---|---| | Движение | Встреча / вдогонку | ~25 % | | | По воде (течение) | ~20 % | | | Поезд мимо столба / платформы | ~10 % | | | Кольцевая трасса | ~5 % | | | Задачи с часами | редко | | Совместная работа | Два исполнителя | ~20 % | | | Три исполнителя (попарно) | ~5 % | | | Трубы / бассейн | ~5 % | | Сплавы и смеси | Разбавление / добавление | ~7 % | | | Частичная замена | ~3 % |
Задачи на движение встречаются примерно в каждом втором варианте. Совместная работа — в каждом третьем. Сплавы и смеси реже, но уравнение там то же самое: баланс массы компонента.
Универсальный алгоритм — обозначить неизвестную, заполнить таблицу «величина — скорость — время», найти связь между строками, составить уравнение — работает для всех трёх групп без изменений.
---
Задачи на движение: разбор задания 20 ЕГЭ база 2026
Разбор 20 задания ЕГЭ математика база 2026 удобнее всего начать с движения: именно здесь больше всего подтипов и подводных камней.
Встреча и вдогонку
При движении навстречу скорости складываются, при движении в одну сторону — вычитаются.
Пример. Два велосипедиста выехали навстречу из городов, расстояние между которыми 90 км. Скорость первого — 15 км/ч, второго — 20 км/ч. Через сколько часов встретятся?
\[ t = \frac{90}{15 + 20} = \frac{90}{35} \approx 2{,}6\ \text{ч} \]
Движение по воде
Собственная скорость судна \( v \), скорость течения \( u \):
- Движение по воде (течение)
- Шаг 1. Ввести собственную скорость \(v\) и скорость течения \(u\) — одна из них обычно искомая.
- Шаг 2. По течению подставлять \(v+u\), против — \(v-u\), плот — \(u\).
- Шаг 3. Составить уравнение по времени: обычно «туда и обратно» или разница времён.
- Шаг 4. Решить, проверить условие \(v > u\) (иначе движение против течения невозможно).
Пример. Лодка прошла 24 км по течению и вернулась. На всё ушло 5 часов, скорость течения 1 км/ч. Найти собственную скорость.
Пусть собственная скорость \(v\) км/ч:
\[ \frac{24}{v+1} + \frac{24}{v-1} = 5 \]
\[ 24(v-1) + 24(v+1) = 5(v^2-1) \]
\[ 48v = 5v^2 - 5 \;\Rightarrow\; 5v^2 - 48v - 5 = 0 \]
Корни: \(v = 10\) и \(v = -0{,}1\). Отбрасываем отрицательный. Ответ: 10 км/ч.
Поезд мимо точечного и протяжённого объекта
Ключевое различие: мимо столба поезд проходит свою длину, мимо платформы — сумму длин.
Пример. Поезд длиной 200 м проезжает мимо платформы длиной 300 м за 25 с. Скорость поезда?
\[ v = \frac{200 + 300}{25} = 20\ \text{м/с} \]
Если объект движется навстречу или попутно — берут относительную скорость: сумму (навстречу) или разность (попутно).
Кольцевая трасса
На круговой трассе длиной \( L \) более быстрый спортсмен обгоняет медленного каждый раз, когда «уходит вперёд» ровно на один круг.
Пример. Два бегуна стартовали одновременно в одном направлении по трассе 400 м. Скорости 5 м/с и 3 м/с. Через сколько секунд первый обгонит второго?
\[ t = \frac{400}{5 - 3} = 200\ \text{с} \]
Задачи с часами
Циферблат — круговая трасса из 12 делений. Минутная стрелка: 12 дел./ч, часовая: 1 дел./ч, относительная скорость: 11 дел./ч.
Уравнение составляется по схеме: «разность путей стрелок = начальный угол + 12 × (номер совпадения − 1)».
---
Задачи на совместную работу в задании 20 ЕГЭ база
Все задачи на работу строятся на той же основе \(A = p \cdot t\). Если объём работы не задан числом, принимают его за 1 — это метод A = 1.
Метод A = 1
- Метод A = 1 (совместная работа)
- Шаг 1. Принять весь объём работы за 1.
- Шаг 2. Производительности: \(p_i = \dfrac{1}{t_i}\), где \(t_i\) — время работы в одиночку.
- Шаг 3. Совместная производительность — сумма: \(p = p_1 + p_2\).
- Шаг 4. Время совместной работы: \(t = \dfrac{1}{p}\).
- Шаг 5. Если часть работы выполнена отдельно, вычесть выполненную долю и разделить остаток на нужную производительность.
Пример. Первый рабочий выполняет заказ за 6 ч, второй — за 3 ч. Время совместной работы?
\[ p = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}, \quad t = \frac{1}{1/2} = 2\ \text{ч} \]
Вместе всегда быстрее самого быстрого. Если получается больше 3 ч — где-то ошибка.
Два исполнителя: уравнение через разность времён
Когда один исполнитель справляется на \(\Delta t\) быстрее другого или вместе они работают \(T\) часов:
Три исполнителя, заданные попарно
Если известны времена работы каждой пары (\(t_{12},\; t_{13},\; t_{23}\)):
\[ p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t_{12}} + \frac{1}{t_{13}} + \frac{1}{t_{23}}\right) \]
Каждая производительность входит в две пары, поэтому сумма попарных производительностей вдвое больше суммарной. Время совместной работы всех трёх:
\[ t = \frac{1}{p_1 + p_2 + p_3} \]
---
20 задание ЕГЭ математика база: сплавы и смеси
20 задание ЕГЭ математика база сплавы — это задачи на баланс: сколько «чистого» вещества было до операции (с учётом добавленного или убранного), столько и стало после.
Ключевая идея
Концентрацию в процентах переводят в десятичную дробь. Масса компонента:
\[ m_{\text{комп}} = c \cdot m_{\text{смеси}} \]
Это и есть «скорость накопления» вещества — умножить на массу смеси, как скорость умножается на время.
Типовые схемы
Пример. Имеется 10 кг раствора с концентрацией 30 %. Сколько кг воды нужно добавить, чтобы концентрация стала 20 %?
Пусть добавляют \(x\) кг воды (\(c_2 = 0\)):
\[ 0{,}3 \cdot 10 = 0{,}2 \cdot (10 + x) \]
\[ 3 = 2 + 0{,}2x \;\Rightarrow\; x = 5\ \text{кг} \]
Разбор метода вспомогательной неизвестной. Если прямое обозначение делает уравнение громоздким, удобно ввести за \(x\) величину, через которую условие выражается проще — например, объём сливаемого раствора. После нахождения \(x\) пересчитать в то, что спрашивается.
---
Как решать задание 20 ЕГЭ математика база: алгоритм
Задание 20 ЕГЭ математика база как решать — вопрос с универсальным ответом. Один и тот же алгоритм работает для движения, работы и смесей.
- Универсальный алгоритм текстовой задачи
- Шаг 1. Прочитать условие. Определить тип: движение / работа / смеси.
- Шаг 2. Обозначить неизвестную (или вспомогательную) величину за \(x\), записать, что именно она означает, с единицами.
- Шаг 3. Заполнить таблицу — столбцы «величина (S или A) / скорость или производительность / время» — для каждого участника или этапа.
- Шаг 4. Выразить недостающие клетки таблицы через \(x\) по формуле \(S = vt\) или \(A = pt\).
- Шаг 5. Найти в условии связь между строками: равные пути, разница времён, суммарная работа, баланс компонента.
- Шаг 6. Записать уравнение, решить.
- Шаг 7. Проверить: все значения положительны, ответ соответствует смыслу. Перевести в требуемые единицы.
Нестандартные задачи с формулой из условия
Иногда условие содержит готовую физическую или экономическую формулу. Алгоритм тот же, только уравнение уже подсказано.
- Задача с формулой из условия
- Шаг 1. Подставить в формулу все числовые данные.
- Шаг 2. Если требуется точное значение — составить уравнение; при словах «не меньше», «не больше» — неравенство.
- Шаг 3. Выразить искомую, учитывая ОДЗ: знаменатель ≠ 0, подкоренное ≥ 0, физические величины > 0.
- Шаг 4. Выбрать наибольшее или наименьшее подходящее значение, перевести в нужные единицы.
Когда вводить вспомогательную неизвестную
Если прямое обозначение искомого даёт громоздкое уравнение, обозначить за \(x\) другую величину — ту, через которую условие пишется проще. После нахождения \(x\) пересчитать в ответ на вопрос задачи.
---
Типичные ошибки в задании 20 ЕГЭ база и как их избежать
Задание 20 ЕГЭ математика база теория достаточно стройная, но восемь ловушек повторяются из варианта в вариант.
---
По этой теме есть отдельный разбор: тренировочные варианты ЕГЭ база 2026.
Частые вопросы
Задание 20 ЕГЭ математика база как решать?
Универсальный путь: определить тип задачи → обозначить неизвестную → заполнить таблицу «величина — скорость — время» → найти в условии связь между строками → составить уравнение → решить → проверить знак и смысл ответа. Этот алгоритм работает для движения, работы и смесей без изменений.
Какие типы задач встречаются в 20 задании ЕГЭ базового уровня?
Три группы: задачи на движение (встреча, вдогонку, по воде, поезд мимо платформы, кольцо, часы), задачи на совместную работу (два или три исполнителя, трубы, бассейны) и задачи на сплавы и смеси (разбавление, добавление, частичная замена). Задачи на движение встречаются примерно в половине вариантов.
Почему нельзя считать среднюю скорость как полусумму двух скоростей?
Формула \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\) даёт верный результат только если время на каждом участке одинаково. Если одинаковы расстояния, средняя скорость считается иначе: \(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\) — это среднее гармоническое, которое всегда меньше среднего арифметического. Правильная формула — всегда через весь путь и всё время.
Как составить уравнение в задаче на сплавы?
Записать баланс компонента: масса компонента до операции плюс добавленный компонент равна массе компонента после. Концентрацию в процентах перевести в десятичную дробь. Для разбавления водой: \(c_1 m_1 = c_{\text{итог}}(m_1 + x)\), где \(x\) — масса добавляемой воды.
Что делать, если квадратное уравнение даёт два корня?
Проверить каждый корень на соответствие смыслу: скорость и время строго положительны, собственная скорость лодки больше скорости течения. Посторонний корень (отрицательный или не удовлетворяющий физическим ограничениям) отбрасывают. Если оба корня положительны — проверить все условия задачи дополнительно.
По этой теме есть отдельный разбор: критерии оценивания ЕГЭ математика база 2026.
По этой теме есть отдельный разбор: задачи на проценты, смеси и сплавы в ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы ЕГЭ по математике база. `
---
Исправлено во всех 7 блоках :::formulas: убраны \( \) из формул после ::, а также из меток (labels) — \(T\) → T, \(c_2 = 1\) → c_2 = 1, \(c_2 = 0\) → c_2 = 0. Остальная структура не тронута.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.