Формулы арифметической прогрессии для ЕГЭ: шпаргалка
Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа \(d\) — разности прогрессии. Зная первый член \(a_1\) и разность \(d\), можно найти любой член и сумму первых \(n\) членов. Это база для решения задач на прогрессии егэ.
Формула \(a_n = a_1 + (n-1)d\) работает всегда: от первого до \(n\)-го члена делается ровно \(n-1\) шагов. Сумму через крайние удобно применять, когда известны первый и последний слагаемые блока. Если последний член не задан явно — используют вторую формулу суммы.
Коротко
- Прогрессия полностью задаётся двумя числами: \(a_1\) и \(d\).
- Число членов от \(k\)-го до \(m\)-го включительно равно \(m-k+1\).
- Средний из трёх подряд членов АП — среднее арифметическое соседей.
- Сумма \(n\) первых натуральных чисел — частный случай АП: \(1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
- При \(d>0\) прогрессия возрастает, при \(d<0\) — убывает, при \(d=0\) — постоянна.
Для формул прогрессии для егэ профиль важно помнить свойство равноотстоящих членов: \(a_i + a_j = a_k + a_l\), если \(i+j = k+l\). На нём построена формула суммы через крайние. В задачах часто требуется найти разность по двум известным членам: \(d = \frac{a_m - a_k}{m-k}\).
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формулы геометрической прогрессии: сумма, знаменатель, бесконечно убывающая
Геометрическая прогрессия — последовательность с ненулевым первым членом \(b_1\), где каждый следующий получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число \(q\) — знаменатель прогрессии. Все члены отличны от нуля. Это вторая опора для задач на прогрессии егэ профиль математика.
Формула суммы \(S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\) имеет важное ограничение: при \(q=1\) знаменатель обращается в ноль. В этом случае все члены равны \(b_1\), и сумма считается как \(n\cdot b_1\). Исчезающая геометрическая прогрессия (бесконечно убывающая) имеет сумму только при \(|q|<1\). Если \(|q|\ge 1\), члены не стремятся к нулю, частичные суммы не имеют предела — суммы нет.
Коротко
- При \(q<0\) члены чередуют знак — знакочередующаяся прогрессия.
- Произведение равноотстоящих членов равно: \(b_i \cdot b_j = b_k \cdot b_l\) при \(i+j=k+l\).
- Квадрат среднего члена равен произведению соседей: \(b_k^2 = b_{k-1}b_{k+1}\).
- Из \(b_2^2 = b_1 b_3\) следует \(b_2 = \pm\sqrt{b_1 b_3}\) — нужно проверять оба знака.
- Для нахождения \(q\) удобно делить уравнения системы, чтобы сократить \(b_1\).
В формулы прогрессии егэ входит также восстановление члена через суммы: \(b_n = S_n - S_{n-1}\) (при \(n\ge 2\)), \(b_1 = S_1\). Этот приём универсален и работает для любой последовательности, заданной суммой.
Основные методы решения задач на прогрессии в ЕГЭ
Все прогрессии в егэ по математике профиль решаются набором стандартных приёмов. Ниже — пошаговые алгоритмы для каждого типа задач.
- Составление системы относительно \(a_1\) и d
- Шаг 1. Все упомянутые члены выразить через \(a_1\) и \(d\) по формуле \(a_n = a_1+(n-1)d\).
- Шаг 2. Записать данные условия как два уравнения относительно \(a_1\) и \(d\).
- Шаг 3. Решить систему (обычно линейную) и найти \(a_1\), \(d\).
- Шаг 4. Подставить найденные значения в вопрос задачи и вычислить искомое.
- Составление системы относительно \(b_1\) и q
- Шаг 1. Выразить нужные члены через \(b_1\) и \(q\) по формуле \(b_n = b_1 q^{n-1}\).
- Шаг 2. Составить систему из двух уравнений.
- Шаг 3. Разделить одно уравнение на другое, чтобы сократить \(b_1\) и получить уравнение только на \(q\).
- Шаг 4. Найти \(q\), вернуться к \(b_1\); проверить условия (\(b_1\ne0\), для бесконечной суммы \(|q|<1\)).
- Подсчёт числа членов суммируемого блока
- Шаг 1. Найти номера первого \(k\) и последнего \(m\) членов блока из формулы общего члена.
- Шаг 2. Число членов: \(N = m-k+1\).
- Шаг 3. Применить \(S = \dfrac{a_k+a_m}{2}\cdot N\) (для АП) или формулу суммы ГП с \(N\) членами.
- Шаг 4. Не забыть: количество членов на 1 больше числа шагов между ними.
- Использование характеристического свойства
- Шаг 1. Для АП приравнять средний член к полусумме крайних: \(2a_2 = a_1+a_3\).
- Шаг 2. Для ГП приравнять квадрат среднего к произведению крайних: \(b_2^2 = b_1 b_3\).
- Шаг 3. Полученное уравнение решить относительно неизвестного параметра.
- Шаг 4. Проверить, что найденное значение даёт допустимую прогрессию (для ГП — ненулевые члены).
- Симметричная параметризация трёх (пяти) чисел
- Шаг 1. Для АП обозначить члены \(a-d,\ a,\ a+d\); для ГП — \(\dfrac{b}{q},\ b,\ b\,q\).
- Шаг 2. Сумма трёх членов АП сразу даёт \(a\); произведение трёх членов ГП сразу даёт \(b\).
- Шаг 3. Оставшееся условие превращается в уравнение на \(d\) (или \(q\)).
- Шаг 4. Восстановить сами числа и выписать ответ в нужном порядке.
- Восстановление члена через суммы
- Шаг 1. Вычислить \(a_n = S_n - S_{n-1}\) при \(n\ge 2\) и отдельно \(a_1 = S_1\).
- Шаг 2. Если \(a_n\) линейна по \(n\) — прогрессия арифметическая, коэффициент при \(n\) равен \(d\).
- Шаг 3. Найти требуемый член прямой подстановкой номера.
- Шаг 4. При необходимости проверить согласованность \(a_1\) с общей формулой.
- Текстовые (экономические) задачи на равномерные платежи
- Шаг 1. Определить, что именно образует прогрессию (остаток долга, платёж) и её тип.
- Шаг 2. Записать первый член, разность/знаменатель и число членов через условие задачи.
- Шаг 3. Выразить искомую суммарную величину через формулу суммы прогрессии.
- Шаг 4. Решить уравнение и проверить ответ на здравый смысл (положительность, целость платежей).
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- Шаг 1. Убедиться, что \(|q|<1\) — иначе суммы нет.
- Шаг 2. Определить \(b_1\) (первый член ряда) и \(q\) (отношение соседних).
- Шаг 3. Применить \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\).
- Шаг 4. Для периодической дроби записать её как сумму такой прогрессии и упростить дробь.
Эти методы покрывают 95% задач на прогрессии егэ. Главное — правильно определить тип прогрессии и аккуратно вести алгебру.
Типовые ошибки при решении задач на прогрессии (ловушки ЕГЭ)
Эксперты ЕГЭ годами видят одни и те же промахи. Чек-лист ниже — ваша страховка от потери баллов за формулы прогрессии для егэ профиль.
Ещё одна ловушка: в задачах с параметрами (№18) забывают проверять найденные значения на принадлежность области определения (например, \(q \ne 0\), \(b_1 \ne 0\), \(|q|<1\) для бесконечной суммы). Всегда подставляйте ответы в исходные условия.
Разбор задач из открытого банка ФИПИ (№6, №14, №18)
Покажем оформление решений для эксперта на типовых примерах из открытого банка.
Задача №6 (Базовая: формулы и простые свойства)
Условие. В арифметической прогрессии \(a_5 = 12\), \(a_{11} = 30\). Найдите \(a_1\).
Решение.
- 1. Запишем формулы для данных членов:
\[ \begin{cases} a_1 + 4d = 12 \\ a_1 + 10d = 30 \end{cases} \]
- 2. Вычтем первое уравнение из второго: \(6d = 18 \Rightarrow d = 3\).
- 3. Подставим \(d\) в первое уравнение: \(a_1 + 12 = 12 \Rightarrow a_1 = 0\).
Ответ: 0.
Комментарий: Классическая система относительно \(a_1\) и \(d\). Не нужно искать \(a_n\) через характеристическое свойство — система быстрее.
Задача №14 (Профильная: свойства, системы, параметры)
Условие. Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана условиями \(b_1 + b_2 + b_3 = 21\), \(b_1 b_2 b_3 = 216\). Найдите знаменатель прогрессии \(q\), если известно, что он больше 1.
Решение.
- 1. Используем симметричную параметризацию трёх членов ГП: \(\frac{b}{q},\ b,\ bq\).
- 2. Произведение: \(\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3 = 216 \Rightarrow b = 6\).
- 3. Сумма: \(\frac{6}{q} + 6 + 6q = 21 \Rightarrow \frac{1}{q} + 1 + q = 3.5\).
Умножим на \(q\): \(1 + q + q^2 = 3.5q \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0\).
- 4. Корни уравнения: \(q_1 = 2\), \(q_2 = 0.5\).
- 5. По условию \(q > 1\), выбираем \(q = 2\).
Ответ: 2.
Комментарий: Симметричная параметризация убрала \(b_1\) и сразу дала уравнение на \(q\). Всегда проверяйте условие на параметр (\(q>1\)).
Задача №18 (Сложная: экономика / бесконечная ГП / параметры)
Условие (экономическая). В банк положили \(S\) рублей. Каждый год сумма на счету увеличивается на 20% относительно предыдущего года. В конце каждого года (после начисления процентов) клиент снимает фиксированную сумму \(x\) рублей. Известно, что через 3 года после открытия вклада на счету осталось ровно \(S\) рублей. Найдите \(x\) в зависимости от \(S\).
Решение.
- 1. Обозначим остаток на счете в конце \(n\)-го года (после снятия) как \(a_n\). Дано: \(a_0 = S\) (начальная сумма), \(a_3 = S\).
- 2. Процесс: остаток растет в 1.2 раза, затем вычитается \(x\).
\[ a_1 = 1.2S - x \] \[ a_2 = 1.2(1.2S - x) - x = 1.2^2 S - 1.2x - x \] \[ a_3 = 1.2(1.2^2 S - 1.2x - x) - x = 1.2^3 S - 1.2^2 x - 1.2x - x \]
- 3. Приравниваем \(a_3 = S\):
\[ 1.728S - x(1.44 + 1.2 + 1) = S \] \[ 0.728S = x \cdot 3.64 \] \[ x = \frac{0.728}{3.64}S = 0.2S \] Ответ: \(0.2S\) (или \(S/5\)).
Комментарий: Остатки долга/вклада при равномерных платежах образуют рекуррентную последовательность. Сумма вычетов — геометрическая прогрессия. Записывайте закономерность явно, не пропуская шаги.
---
Условие (бесконечная ГП). Точка подбрасывается вертикально вверх до высоты 2 м, падает, отскакивает до высоты 1.6 м, снова падает и так далее. Каждый следующий подброс составляет 80% предыдущей высоты. Найдите суммарный пройденный путь точки до полной остановки.
Решение.
- 1. Путь — это сумма всех подъемов и падений. Первый подъем 2 м (дан), затем падение 2 м.
- 2. Далее идут пары: подъем \(h_k\) и падение \(h_k\). Высоты подъемов образуют ГП: \(b_1 = 1.6\), \(q = 0.8\).
- 3. Сумма всех подъемов (кроме первого) и падений (кроме первого) — это удвоенная сумма бесконечной ГП с \(b_1=1.6\), \(q=0.8\):
\[ S_{\text{ГП}} = \frac{1.6}{1-0.8} = 8 \text{ м}. \]
- 4. Полный путь: первый подъем (2) + первое падение (2) + \(2 \times 8 = 20\) м.
Ответ: 20.
Комментарий: Всегда выделяйте первый член ряда отдельно, если он не вписывается в общую закономерность бесконечной прогрессии. Проверка \(|q|=0.8<1\) обязательна.
По этой теме есть отдельный разбор: задание 9 ЕГЭ по математике профиль.
Частые вопросы
Какие формулы прогрессий нужно знать для ЕГЭ профильного уровня? Нужно знать формулы \(n\)-го члена и суммы первых \(n\) членов для АП и ГП, формулу суммы бесконечно убывающей ГП (\(|q|<1\)), характеристические свойства (среднее арифметическое/геометрическое), а также связи несоседних членов: \(a_n = a_k + (n-k)d\) и \(b_n = b_k \cdot q^{n-k}\). Обязательно помнить частный случай суммы ГП при \(q=1\): \(S_n = n b_1\).
Как не ошибиться в количестве членов прогрессии при суммировании? Всегда используйте формулу \(N = m - k + 1\), где \(k\) — номер первого члена блока, \(m\) — номер последнего. Ошибка «на единицу» (\(m-k\)) возникает, если считать промежутки между членами, а не сами члены. Проверяйте на малых числах: от 3-го до 5-го члена — это 3, 4, 5 (три члена), \(5-3+1=3\).
Когда можно пользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Только при строгом условии \(|q| < 1\). Если \(|q| \ge 1\), суммы не существует (ряд расходится). Перед подстановкой в \(S = \frac{b_1}{1-q}\) всегда пишите проверку: «Так как \(|q| = \dots < 1\), сумма существует». Для периодических дробей \(q\) — это \(10^{-k}\) (где \(k\) — длина периода), условие всегда выполняется.
Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической в задачах ЕГЭ? В АП члены меняются аддитивно (прибавление \(d\)), в ГП — мультипликативно (умножение на \(q\)). В АП сумма считается через среднее арифметическое крайних, в ГП — через формулу с разностью степеней. В ГП все члены ненулевые, знаменатель \(q \ne 0\); в АП разность \(d\) может быть любой. При \(q<0\) ГП знакочередующаяся, АП монотонна (или постоянна).
Как решать задачи на кредиты и вклады (№18) через прогрессии? Обычно остаток долга или сумма на вкладе после начисления процентов и платежа удовлетворяет рекуррентности \(a_{n} = q a_{n-1} - x\) (кредит) или \(a_{n} = q a_{n-1} + x\) (вклад). Расписывают первые 3–4 шага, выделяют геометрическую прогрессию в коэффициентах при \(x\), суммируют её формулой \(S_n\). Ключевой момент: правильно определить \(q\) (1 + процент/100) и момент платежа (до или после начисления процентов).
По этой теме есть отдельный разбор: экономическая задача ЕГЭ профиль.
По этой теме есть отдельный разбор: текстовые задачи ЕГЭ профиль. ---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.