Текстовые задачи ЕГЭ профиль: задание 10, теория и решения

Разбор всех типов задания 10 профильного ЕГЭ по математике: задачи на движение, работу и смешанные прототипы ФИПИ. Теория, формулы, типичные ошибки и алгоритмы решения для подготовки к экзамену 2026 года.

Что такое задание 10 ЕГЭ профиль: структура, баллы и изменения 2026

Задание 10 — это короткий ответ, оцениваемый одним первичным баллом. Время на его выполнение обычно составляет 2–3 минуты. В демоверсии и спецификации ФИПИ на 2026 год формат остался неизменным: требуется найти числовое значение и записать его в поле ответа. Изменения коснулись только уточнения формулировок в некоторых прототипах, но основные темы — движение, работа, средняя скорость — сохранились. Подробнее о требованиях можно посмотреть в кодексе ФИПИ по математике профиль.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Теория и формулы для задания 10: движение, работа, средняя скорость

Здесь собраны основные определения и соотношения, которые нужны для решения текстовых задач егэ математика профиль.

Основная формула движения

\[S=v\cdot t,\quad v=\dfrac{S}{t},\quad t=\dfrac{S}{v}\]

Движение по течению и против течения

\[v_{\text{по}}=v_{\text{с}}+v_{\text{т}},\quad v_{\text{пр}}=v_{\text{с}}-v_{\text{т}}\]

Скорость сближения и удаления

\[v_{\text{сбл}}=v_1+v_2\ (\text{навстречу}),\quad v_{\text{сбл}}=v_1-v_2\ (\text{вдогонку})\]

Средняя скорость на двух участках

\[v_{\text{ср}}=\dfrac{S_1+S_2}{t_1+t_2}=\dfrac{S_1+S_2}{\dfrac{S_1}{v_1}+\dfrac{S_2}{v_2}}\]

Основная формула работы

\[A=p\cdot t,\quad p=\dfrac{A}{t},\quad t=\dfrac{A}{p}\]

Совместная работа

\[p_{\text{общ}}=p_1+p_2,\quad t_{\text{общ}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}}\]

Разность времён

\[\dfrac{S}{v}-\dfrac{S}{v+\Delta v}=\Delta t\]

Движение по окружности

\[t=\dfrac{L}{v_1-v_2}\]

Приведение процентов к скорости

\[v_{\text{нов}}=v\left(1\pm\dfrac{k}{100}\right)\]

Проезд мимо точечного объекта

\[v_{\text{отн}}\cdot t=L_{\text{поезд}}\]

Проезд мимо протяжённого объекта

\[v_{\text{отн}}\cdot t=L_{\text{поезд}}+L_{\text{объект}}\]

Три исполнителя, заданные попарно

\[p_1+p_2+p_3=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t_{12}}+\dfrac{1}{t_{23}}+\dfrac{1}{t_{13}}\right)\]

Коротко

S=vt — фундамент всей темы; работа устроена так же: A=pt.
По течению +течение, против течения −течение; плот плывёт со скоростью течения.
Навстречу — скорости складываем, вдогонку — вычитаем.
Средняя скорость = весь путь / всё время, а НЕ полусумма скоростей.
При равных участках пути \(v_{\text{ср}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\) (среднее гармоническое).
В задачах на работу удобно принять всю работу за 1, тогда \(p=1/t\).
Складываются производительности, а не времена.
Всегда переводите единицы (км/ч, м/с, минуты в часы) до подстановки.
Отбирайте корни: \(v>0, t>0\), для реки \(v_{\text{соб}}>v_{\text{теч}}\).
1 км/ч = 5/18 м/с; чтобы перевести м/с в км/ч, умножьте на 3,6.
Мимо столба поезд проходит свою длину: \(v_{\text{отн}}\,t=L\); мимо платформы или поезда — сумму длин: \(v_{\text{отn}}\,t=L_1+L_2\).
Равные по времени участки → средняя скорость \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\); равные по пути → \(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\).

Тип 1: Задачи на движение (встреча, догон, движение по воде, поезда)

Разберём типичные прототипы ФИПИ на движение: встречное/догонное движение, задачи на реку (собственная скорость/течение), проезд поездов мимо платформ и других поездов. Частые ловушки связаны с единицами измерения и относительной скоростью.

Задачи на встречу и вдогонку
Шаг 1: Определить тип: навстречу — скорости складываются, вдогонку — вычитаются.
Шаг 2: Найти начальное расстояние между объектами \(S_0\).
Шаг 3: Время до встречи/обгона: \(t=\dfrac{S_0}{v_{\text{сбл}}}\).
Шаг 4: При необходимости найти место встречи, умножив \(t\) на скорость нужного объекта.

Движение по воде (течение)
Шаг 1: Ввести собственную скорость \(v\) и скорость течения \(u\) (часто одна из них искомая).
Шаг 2: По течению подставлять \(v+u\), против — \(v-u\), в озере — \(v\), плот — \(u\).
Шаг 3: Составить уравнение по времени (обычно «туда и обратно» или разница времён).
Шаг 4: Решить и проверить условие \(v>u\).

Движение протяжённых тел (поезд)
Шаг 1: Мысленно «остановить» один объект, перейдя в связанную с ним систему отсчёта; второй движется с относительной скоростью (навстречу — сумма, вдогонку — разность).
Шаг 2: Определить путь: мимо точечного объекта — длина поезда, мимо протяжённого — сумма длин поезда и объекта.
Шаг 3: Приравнять \(v_{\text{отн}}\cdot t\) к этому пути.
Шаг 4: Согласовать единицы (км/ч и м/с, минуты и часы) и найти искомую величину.

❌ ошибкаСкорость лодки по течению и против берут одинаковой

✅ верно\(v_{\text{по}}=v+u,\; v_{\text{пр}}=v-u\)

Течение помогает по течению и мешает против; забыв это, получают неверное уравнение и теряют связь между этапами.

❌ ошибкаСчитают в разных единицах: скорость в км/ч, а время в минутах

✅ верноПривести к одним единицам: например, время в часах или скорость в км/мин

Подстановка несогласованных единиц в \(S=vt\) даёт числовую ошибку в десятки раз.

❌ ошибкаСчитают, что мимо платформы (или встречного поезда) поезд проходит только свою длину

✅ верноПуть равен сумме длин: \(L_{\text{поезд}}+L_{\text{объект}}\)

Поезд полностью минует протяжённый объект лишь когда его хвост поравняется с дальним концом объекта, то есть пройдя обе длины.

Тип 2: Задачи на работу (совместная, производительность, трубы/бассейн)

Анализ прототипов на работу: метод «объём работы = 1», расчёт производительности, задачи на наполнение/опорожнение бассейнов, три исполнителя с попарными данными. Основная ошибка — сложение времен вместо производительностей.

Совместная работа (метод A=1)
Шаг 1: Принять весь объём работы за 1.
Шаг 2: Записать производительности: \(p_i=\dfrac{1}{t_i}\), где \(t_i\) — время в одиночку.
Шаг 3: Совместная производительность — сумма: \(p=\sum p_i\).
Шаг 4: Время совместной работы \(t=\dfrac{1}{p}\); при частичном выполнении — доля работы делится на \(p\).

Три исполнителя, заданные попарно
Шаг 1: Обозначить производительности \(p_1,p_2,p_3\).
Шаг 2: Использовать формулу \(p_1+p_2+p_3=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t_{12}}+\dfrac{1}{t_{23}}+\dfrac{1}{t_{13}}\right)\).
Шаг 3: Найти суммарную производительность, затем время \(t=\dfrac{1}{p_1+p_2+p_3}\).

❌ ошибкаСкладывают времена: если один делает за 6 ч, другой за 3 ч, вместе за 6+3=9 ч

✅ верноСкладывают производительности: \(p=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2},\; t=2\text{ ч}\)

Вместе всегда быстрее самого быстрого работника, поэтому время совместной работы меньше меньшего из времён, а не их сумма.

❌ ошибкаОставляют оба корня квадратного уравнения, включая отрицательный

✅ верноОтбирают только корни с \(v>0\) и \(t>0\)

Скорость и время по смыслу положительны; посторонний корень не является ответом задачи.

❌ ошибкаВ ответе дают вспомогательную величину \(x\), а не то, что спрашивали

✅ верноПосле нахождения \(x\) пересчитать в искомую величину

Вопрос часто про другую величину (например, спрашивают скорость на обратном пути, а \(x\) — скорость туда); забывчивость даёт неверный ответ при правильном уравнении.

Тип 3: Задачи на среднюю скорость и движение по кольцу/часы

Разбор специфических прототипов: правильный расчёт средней скорости (гармоническое среднее, а не арифметическое), задачи на круговых трассах (велосипедисты, автомобили) и задачи-аналоги «Часы со стрелками».

Средняя скорость
Шаг 1: Отдельно найти весь путь \(S_{\text{общ}}\) как сумму участков.
Шаг 2: Отдельно найти всё время \(t_{\text{общ}}\) как сумму \(t_i=\dfrac{S_i}{v_i}\).
Шаг 3: Разделить: \(v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}\).
Шаг 4: Не усреднять скорости арифметически — это почти всегда ошибка.

Движение по кольцу
Шаг 1: За круг более быстрый обгоняет более медленного на длину круга \(L\).
Шаг 2: Время между обгонами при движении в одну сторону: \(t=\dfrac{L}{v_1-v_2}\).
Шаг 3: При движении навстречу время между встречами: \(t=\dfrac{L}{v_1+v_2}\).
Шаг 4: Связать с числом кругов или заданным временем и решить уравнение.

Часы со стрелками как движение по кругу
Шаг 1: Считать циферблат кругом из 12 делений (или в градусах: полный круг 360°).
Шаг 2: Скорости: минутная стрелка — 12 делений/час, часовая — 1 деление/час, относительная — 11 делений/час.
Шаг 3: Каждое следующее совпадение — это дополнительный обгон на целый круг (12 делений).
Шаг 4: Составить уравнение «разность путей стрелок = начальный угол + 12·(номер совпадения−1)» и решить.

❌ ошибкаСредняя скорость = \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\)

✅ верно\(v_{\text{ср}}=\dfrac{S_1+S_2}{t_1+t_2}\)

Среднее арифметическое верно только при равных временах движения. При равных путях средняя скорость — среднее гармоническое и всегда меньше средней арифметической.

❌ ошибкаРавные по времени участки → средняя скорость \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\)

✅ верноРавные по пути → \(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\)

Первое справедливо, если времена на участках одинаковы; второе — если длины участков равны.

Универсальный алгоритм решения и метод составления уравнений

Пошаговый алгоритм, который подходит для любой текстовой задачи егэ математика профиль theory.

Универсальный алгоритм текстовой задачи
Шаг 1: Обозначить искомую (или удобную вспомогательную) величину буквой \(x\) и записать, что именно она означает, с единицами.
Шаг 2: Заполнить таблицу: столбцы «величина (S или A) — скорость/производительность — время» для каждого участника/этапа.
Шаг 3: Выразить недостающие клетки таблицы через \(x\) по формуле \(S=vt\) (\(A=pt\)).
Шаг 4: Найти в условии величину, которая связывает строки таблицы (равные пути, разница во времени, суммарная работа), и приравнять — получить уравнение.
Шаг 5: Решить уравнение, отобрать корни по ограничениям (\(v>0, t>0\)).
Шаг 6: Вернуться к вопросу задачи и записать ответ в требуемых единицах.

Составление уравнения по времени
Шаг 1: Выразить время каждого этапа как \(t=\dfrac{S}{v}\) (или \(t=\dfrac{A}{p}\)).
Шаг 2: Записать связь: \(t_1-t_2=\Delta t\) или \(t_1+t_2=T\).
Шаг 3: Привести дроби к общему знаменателю, получить квадратное (реже дробно-рациональное) уравнение.
Шаг 4: Решить, проверить, что знаменатели не обнуляются и корни положительны.

Метод вспомогательной неизвестной
Шаг 1: Обозначить за \(x\) не то, что спрашивают, а величину, через которую условие выражается проще (например, время меньшего этапа).
Шаг 2: Составить и решить уравнение относительно \(x\).
Шаг 3: Пересчитать \(x\) в искомую величину и записать ответ.

Топ-10 фатальных ошибок в задании 10: чек-лист перед экзаменом

Список самых частых ошибок выпускников с объяснением, почему они ведут к потере балла. Особое внимание: ошибка со средней скоростью, единицах измерения, длине поезда и ответе «не тем x». Последний пункт про №9 — контекстная ошибка смежных заданий.