Задание 12 ЕГЭ математика профиль: решение и теория

Что такое задание 12 ЕГЭ профиль? Общая суть

Задание 12 в ЕГЭ по математике профильного уровня проверяет умение исследовать функцию на предмет экстремумов и определить её наибольшее и наименьшее значение на заданном отрезке. В условии может быть дано алгебраическое выражение или график, но всегда требуется:

• * найти производную,
• * выделить критические точки,
• * определить, где функция достигает локальных максимумов и минимумов,
• * сравнить значения в этих точках и на концах отрезка, чтобы получить глобальный максимум и минимум.

Все типы задания 12 ЕГЭ математика профиль объединены этой конечной целью, и в решении всегда участвуют производные егэ профиль 12 задание и экстремумы.

---

Теория: производная, критические точки, экстремумы

Определения

• * Производная — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

\[ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

• * Геометрический смысл — производная равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику в данной точке:

\[ f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha \]

• * Физический смысл — если \(s(t)\) — координата, то \(s'(t)\) — мгновенная скорость, а \(s''(t)\) — ускорение:

\[ v(t)=s'(t),\qquad a(t)=s''(t) \]

• * Критическая точка — точка, где производная равна нулю или не существует; экстремум может возникнуть только в критической точке:

\[ f'(x)=0\ \text{или}\ f'(x)\ \text{не существует} \]

Таблица основных формул

Краткие факты

---

Как решить задание 12: пошаговая инструкция

Метод «Наибольшее/наименьшее на отрезке»

Название метода: Наибольшее/наименьшее на отрезке

Шаг 1. Найти производную \(f'(x)\).

Шаг 2. Решить уравнение \(f'(x)=0\) для нахождения критических точек внутри отрезка \([a;b]\).

Шаг 3. Проверить знаки производной слева и справа от каждой критической точки (или использовать вторую производную). Смена \(+\) на \(-\) → максимум; смена \(-\) на \(+\) → минимум.

Шаг 4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка \(a\) и \(b\).

Шаг 5. Сравнить все полученные значения. Наибольшее — это глобальный максимум, наименьшее — глобальный минимум.

Метод «Экстремумы»

Название метода: Экстремумы

Шаг 1. Вычислить \(f'(x)\).

Шаг 2. Найти критические точки, решив \(f'(x)=0\).

Шаг 3. Определить знаки \(f'\) в окрестности каждой критической точки.

Шаг 4. Сделать вывод о наличии экстремума и его типе.

Эти шаги позволяют систематически подойти к заданию 12 егэ математика профиль как решать, используя производные егэ профиль 12 задание и экстремумы.

---

Типичные ошибки при решении задания 12

---

По этой теме есть отдельный разбор: геометрический смысл производной.

Примеры решения задания 12 с разбором

Пример 1. Экспоненциально-тригонометрическая функция

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=e^{x}\sin x\) на отрезке \([0;\pi]\).

Шаг 1. Найти производную:

\[ f'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=e^{x}(\sin x+\cos x) \]

Шаг 2. Решить \(f'(x)=0\):

\[ \sin x+\cos x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=-1 \;\Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{4}\ (\text{внутри отрезка}) \]

Шаг 3. Проверить знаки:

• * Для \(x\in(0,\frac{3\pi}{4})\) \(\sin x+\cos x>0\) → \(f'\) положительна.
• * Для \(x\in(\frac{3\pi}{4},\pi)\) \(\sin x+\cos x<0\) → \(f'\) отрицательна.

Следовательно, \(x=\frac{3\pi}{4}\) — точка максимума.

Шаг 4. Вычислить значения:

\[ f(0)=e^{0}\sin0=0,\qquad f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=e^{3\pi/4}\sin\frac{3\pi}{4}=e^{3\pi/4}\frac{\sqrt2}{2},\qquad f(\pi)=e^{\pi}\sin\pi=0. \]

Результат. Наибольшее значение — \(e^{3\pi/4}\frac{\sqrt2}{2}\) в точке \(x=\frac{3\pi}{4}\); наименьшее значение — \(0\) (в точках \(x=0\) и \(x=\pi\)).

---

Пример 2. Логарифмико-полиномиальная функция

Определить глобальный максимум и минимум функции \(g(x)=\ln(x+2)-\frac{x^{2}}{4}\) на отрезке \([-1;2]\).

Шаг 1. Производная:

\[ g'(x)=\frac{1}{x+2}-\frac{x}{2}=\frac{2-(x+2)x}{2(x+2)}=\frac{2-x^{2}-2x}{2(x+2)}. \]

Шаг 2. Найти критические точки внутри отрезка, решив числитель:

\[ 2-x^{2}-2x=0\;\Rightarrow\;x^{2}+2x-2=0\;\Rightarrow\;x=-1\pm\sqrt{3}. \]

Только \(x_{1}=-1+\sqrt{3}\approx0.732\) лежит в \([-1;2]\).

Шаг 3. Проверить знаки:

• * Для \(x<-1+\sqrt{3}\) числитель положителен → \(g'>0\).
• * Для \(x>-1+\sqrt{3}\) числитель отрицателен → \(g'<0\).

Таким образом, \(x_{1}\) — точка максимума.

Шаг 4. Вычислить значения:

\[ g(-1)=\ln1-\frac{1}{4}= -\frac14,\qquad g\!\left(-1+\sqrt3\right)=\ln(\sqrt3+1)-\frac{(\sqrt3-1)^{2}}{4},\qquad g(2)=\ln4-\frac{4}{4}= \ln4-1. \]

Вычисления дают:

\[ g(-1)=-\frac14\approx-0.25,\quad g(2)=\ln4-1\approx0.386,\quad g\!\left(-1+\sqrt3\right)\approx0.423. \]

Результат. Глобальный максимум — \(\approx0.423\) в точке \(x=-1+\sqrt3\); глобальный минимум — \(-0.25\) в точке \(x=-1\).

Эти примеры показывают, как применять производные егэ профиль 12 задание и экстремумы для поиска наибольшего и наименьшего значения на отрезке.

---

Частые вопросы

Вопрос? Сколько баллов можно получить за задание 12 ЕГЭ математика профиль?

Ответ? Задание 12 оценивается в 3 балла. За правильное нахождение экстремумов и глобального максимума/минимума можно получить полный балл; частичные баллы присуждаются за верные шаги даже при ошибках в окончательных значениях.

Вопрос? Как часто встречаются различные типы заданий 12 егэ математика профиль?

Ответ? В задании 12 егэ математика профиль тренажер и теория включают функции с полиномами, тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими компонентами, а также рациональные выражения. Основная идея всегда одинакова: исследование производной и сравнение значений на концах отрезка.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.

По этой теме есть отдельный разбор: как решать задачи на производную в ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: шкала перевода баллов ЕГЭ 2026.