Параметр

Задание 25 ОГЭ математика 2026: все типы с решениями

Задание 25 ОГЭ математика 2026 — единственное задание с параметром: 2 балла. Разбор всех прототипов ФИПИ: линейные уравнения, графические методы, пошаговые решения.

14 мин чтения
#Параметр#задание 25 огэ математика 2026#задание 25 огэ математика все типы#задание 25 огэ математика фипи#разбор задания 25 огэ математика 2026

Что такое задание 25 ОГЭ по математике: формат и критерии ФИПИ

Задание 25 ОГЭ по математике — последнее в КИМ 9 класса и единственное, где встречается параметр. Оно входит во вторую (развёрнутую) часть экзамена и оценивается в 2 балла по критериям ФИПИ 2026: 1 балл начисляется за частично верное решение с обоснованным разбором случаев, 2 балла — за полный и правильно оформленный ответ.

Параметр — буква в уравнении или неравенстве, которую считают фиксированной, но произвольной. Например, в уравнении \( ax^2 + bx + c = 0 \) все три буквы являются параметрами. Это значит, что задание 25 ОГЭ математика — это не одна задача, а бесконечное семейство: каждому числовому значению параметра соответствует своя задача со своим набором корней.

Решить задачу с параметром — значит разбить числовую ось параметра \( a \) на промежутки и для каждого указать корни или их отсутствие:

\[ a \in A_1 \Rightarrow x = \ldots,\quad a \in A_2 \Rightarrow \text{нет решений},\quad \ldots \]

В структуре КИМ задание 25 ОГЭ математика ФИПИ 2026 замыкает экзамен, идёт после задания 24 (геометрия) и, как правило, решается последним. Времени обычно остаётся мало, поэтому важно знать алгоритм заранее и не пытаться решать наугад.

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Все типы (прототипы) задания 25 ОГЭ математика 2026

Открытый банк ФИПИ содержит ограниченный набор задач. При систематическом разборе все прототипы задания 25 ОГЭ математика 2026 укладываются в пять основных типов:

| Тип задачи | Метод | Типичная сложность | |---|---|---| | Линейное уравнение \(ax = b\) | Аналитический разбор случаев | Базовый | | Квадратное уравнение: заданное число корней | Дискриминант, теорема Виета | Средний | | Расположение корней квадратного трёхчлена | Система из трёх условий (D, f(t), вершина) | Выше среднего | | Графический метод (плоскость xOa или xOy) | Подсчёт пересечений и касаний | Средний–сложный | | Уравнение с модулем и нестандартные прототипы | Раскрытие по случаям, симметрия, замена | Сложный |

Встречаются и гибридные варианты — квадратное уравнение с модулем или замена переменной, которая сводит задачу к расположению корней. Но базовая логика одна: найти контрольные значения параметра и разобрать все случаи. Именно эта таблица — ориентир при изучении типов 25 заданий ОГЭ математика 2026.

---

Как решать задание 25 ОГЭ математика 2026: пошаговый алгоритм

Прежде чем разбирать конкретные типы, стоит освоить универсальный алгоритм — он работает для большинства задач из открытого банка.

  1. Универсальный алгоритм решения задания с параметром
  2. Шаг 1. Определить тип уравнения: линейное, квадратное, с модулем, иное.
  3. Шаг 2. Найти контрольные (особые) значения параметра — те, при которых обнуляется старший коэффициент, дискриминант меняет знак, корень попадает на границу области.
  4. Шаг 3. Разбить числовую ось параметра на промежутки относительно найденных контрольных точек.
  5. Шаг 4. Для каждого промежутка и каждой контрольной точки найти корни или установить их отсутствие.
  6. Шаг 5. Записать ответ в виде: «при a ∈ … корень x = …; при a = … решений нет» — и так далее.

Ключевое понятие — контрольное (особое) значение параметра: точка на оси \( a \), при переходе через которую решение качественно меняется.

Контрольное значение по старшему коэффициенту
\[a_{\text{старш}} = 0\]
Контрольное значение по дискриминанту
\[D(a) = 0\]

Метод «параметр как переменная» применяют, когда параметр \( a \) легко выражается через \( x \) однозначно. Тогда вместо бесконечного семейства уравнений строят одну кривую \( a = f(x) \) и считают её пересечения с горизонтальными прямыми \( a = \text{const} \).

Коротко

  • Первый шаг почти всегда — обнулить старший коэффициент и найти контрольные значения параметра.
  • «Ровно один корень» ≠ только D = 0: линейный случай (a = 0) тоже даёт единственный корень.
  • Если a легко выражается через x — выражай и читай ответ с графика.
  • Всегда возвращайся к ОДЗ исходного уравнения перед записью ответа.

---

Тип 1: линейные уравнения с параметром — полный разбор с решением

Самый доступный прототип в разборе задания 25 ОГЭ математика 2026 — линейное уравнение с параметром вида \( ax = b \) или приводимое к нему.

Линейное уравнение с параметром
\[ax = b:\quad a \neq 0 \Rightarrow x = \dfrac{b}{a};\quad a = 0,\, b = 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R};\quad a = 0,\, b \neq 0 \Rightarrow \varnothing\]

Пример 1. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( (a - 2)x = a + 4 \) имеет единственный корень?

Контрольное значение — когда коэффициент при \( x \) равен нулю: \( a - 2 = 0 \), то есть \( a = 2 \).

При \( a = 2 \): уравнение принимает вид \( 0 \cdot x = 6 \) — решений нет.

При \( a \neq 2 \): единственный корень \( x = \dfrac{a + 4}{a - 2} \).

Ответ: при любом \( a \neq 2 \) уравнение имеет единственный корень \( x = \dfrac{a+4}{a-2} \).

Пример 2. При каком \( a \) уравнение \( a(a-1)x = a^2 - 1 \) имеет бесконечно много решений?

Контрольные значения: \( a(a-1) = 0 \Rightarrow a = 0 \) или \( a = 1 \).

При \( a = 0 \): \( 0 \cdot x = -1 \) — нет решений.

При \( a = 1 \): \( 0 \cdot x = 0 \) — любой \( x \) является решением, то есть бесконечно много корней.

При \( a \neq 0, a \neq 1 \): единственный корень

\[ x = \frac{a^2 - 1}{a(a-1)} = \frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a}. \]

Ответ: при \( a = 1 \) уравнение имеет бесконечно много решений.

Этот разбор задания 25 ОГЭ математика 2026 по линейным уравнениям демонстрирует главное правило: нельзя делить на выражение с параметром, не убедившись, что оно ненулевое. Контрольное значение всегда разбирают первым.

---

Тип 2: квадратные уравнения с параметром — дискриминант и теорема Виета

Следующий уровень — квадратные уравнения, где старший коэффициент или свободный член зависит от параметра.

Дискриминант
\[D = b^2 - 4ac\]
Число корней
\[D > 0 \text{ — два корня};\quad D = 0 \text{ — один};\quad D < 0 \text{ — нет вещественных корней}\]
Формула корней
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Теорема Виета
\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\]

Пример. При каких значениях \( a \) уравнение \( x^2 - 2ax + a + 6 = 0 \) имеет два различных вещественных корня?

Старший коэффициент равен 1 и не зависит от параметра, поэтому сразу вычисляем дискриминант:

\[ D = (-2a)^2 - 4(a + 6) = 4a^2 - 4a - 24 = 4(a^2 - a - 6) = 4(a - 3)(a + 2). \]

Условие \( D > 0 \): \( (a-3)(a+2) > 0 \Rightarrow a < -2 \) или \( a > 3 \).

Ответ: \( a \in (-\infty;\,-2) \cup (3;\,+\infty) \).

Теорема Виета удобна для условий на знаки или сумму корней. Например, условие «оба корня положительны» дополнительно требует:

\[ x_1 + x_2 = 2a > 0 \quad \text{и} \quad x_1 x_2 = a + 6 > 0, \]

что при пересечении с условием \( D > 0 \) сужает ответ.

Если коэффициент при \( x^2 \) зависит от параметра, до применения дискриминанта обязательно разбирают случай, когда этот коэффициент равен нулю — уравнение становится линейным и решается по алгоритму из типа 1.

---

Тип 3: расположение корней квадратного трёхчлена

Одна из самых распространённых задач в банке — найти значения параметра, при которых оба корня квадратного трёхчлена больше некоторого числа \( t \), или число \( t \) лежит между корнями.

Абсцисса вершины параболы
\[x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}\]
Значение трёхчлена в точке
\[f(t) = at^2 + bt + c\]
Оба корня больше t
\[\begin{cases} D \ge 0 \\ a \cdot f(t) > 0 \\ x_{\text{в}} > t \end{cases}\]
Число t лежит между корнями
\[a \cdot f(t) < 0 \quad (\text{условие } D > 0 \text{ выполняется автоматически})\]

  1. Расположение корней квадратного трёхчлена
  2. Шаг 1. Обозначить f(x) = ax² + bx + c и зафиксировать знак a.
  3. Шаг 2. Записать систему из трёх условий: знак D, знак a·f(t) и положение вершины \(x_в\) относительно t.
  4. Шаг 3. Для условий на отрезок [m; n] добавить a·f(m) ≥ 0, a·f(n) ≥ 0 и m ≤ \(x_в\) ≤ n.
  5. Шаг 4. Решить систему неравенств относительно параметра.
  6. Шаг 5. Проверить граничные значения на строгость неравенств.

Пример. При каких значениях \( a \) уравнение \( x^2 - (a+3)x + 2a + 2 = 0 \) имеет два корня, оба больше \( 1 \)?

Здесь \( f(x) = x^2 - (a+3)x + 2a+2 \), старший коэффициент \( 1 > 0 \), \( t = 1 \). Составляем систему:

\[ \begin{cases} D \ge 0 \\ f(1) > 0 \\ x_{\text{в}} > 1 \end{cases} \]

Вычисляем:

\[ D = (a+3)^2 - 4(2a+2) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \ge 0 \quad \text{— всегда.} \]

\[ f(1) = 1 - (a+3) + 2a + 2 = a \,\ge 0 \Rightarrow a \ge 0. \]

При \( a = 0 \) имеем \( f(1) = 0 \), то есть \( x = 1 \) — корень, но нужны оба строго больше 1, поэтому \( a > 0 \).

\[ x_{\text{в}} = \frac{a+3}{2} > 1 \Rightarrow a > -1. \]

Пересечение всех условий: \( a > 0 \).

Ответ: \( a \in (0;\,+\infty) \).

Признак «\( t \) между корнями» работает компактнее: достаточно одного неравенства \( a \cdot f(t) < 0 \), и наличие двух вещественных корней обеспечивается автоматически.

---

Тип 4: графический метод — плоскость xOa и семейство кривых

Графический метод применяют, когда алгебра громоздка, а кривую удобно построить или описать.

Плоскость xOa. Уравнение переписывают так, чтобы параметр \( a \) стоял отдельно: \( a = g(x) \). Строят кривую \( a = g(x) \) в координатах xOa и секут её горизонтальными прямыми \( a = \text{const} \). Число пересечений при данном \( a \) равно числу корней.

Плоскость xOy (семейство кривых). Уравнение разбивают на два графика: \( y = g(x) \) (фиксированный) и \( y = h(x, a) \) (подвижный). Параметр управляет движением второй кривой — сдвигает, поворачивает, меняет радиус.

  1. Графический метод в плоскости xOa
  2. Шаг 1. Переписать уравнение в виде a = g(x), изолировав параметр.
  3. Шаг 2. Построить график g(x) в осях xOa.
  4. Шаг 3. Отметить ключевые ординаты: локальные экстремумы, точки излома, асимптоты.
  5. Шаг 4. Определить, сколько пересечений с горизонтальной прямой a = const на каждом уровне.
  6. Шаг 5. Записать ответ по промежуткам значений параметра.

Коротко

  • В уравнении есть переменная y — строят в плоскости xOy.
  • Переменной y нет, а параметр a входит линейно — строят в плоскости xOa (a становится осью ординат).
  • Выражение вида x² + a² под корнем или с модулем — уравнение окружности; корень без a — полуокружность.
  • Нечётное число корней при симметричной (чётной) функции — метод чётности.
  • В графическом методе границы промежутков дают касания и угловые точки, а не только обычные пересечения.

Пример. При каких значениях \( a \) уравнение \( |x| + x^2 = a \) имеет ровно два корня?

Выражаем \( a = |x| + x^2 \). Функция чётная, поэтому нулевые и ненулевые корни ведут себя по-разному:

При \( a = 0 \): единственное решение \( x = 0 \) (один корень).

При \( a < 0 \): левая часть \( |x| + x^2 \ge 0 \) — решений нет.

При \( a > 0 \): существует \( x_0 > 0 \) такое, что \( x_0 + x_0^2 = a \), и по чётности \( x = -x_0 \) тоже является корнем — итого два корня.

Ответ: ровно два корня при \( a > 0 \).

---

Тип 5: уравнения с модулем и нестандартные прототипы

Уравнения с модулем в задании 25 ОГЭ математика все типы которых нужно знать, решают раскрытием по случаям. Но часто эффективнее использовать симметрию или замену переменной.

Базовое уравнение с модулем
\[|x| = a:\quad a < 0 \Rightarrow \varnothing;\quad a = 0 \Rightarrow x = 0;\quad a > 0 \Rightarrow x = \pm a\]

Метод симметрии для единственности. Если уравнение не меняется при замене \( x \to -x \) (функция чётная), то ненулевые корни идут парами. Единственный корень возможен только в точке симметрии \( x = 0 \).

  1. Метод симметрии для единственности
  2. Шаг 1. Убедиться, что замена x → −x сохраняет уравнение (чётная функция).
  3. Шаг 2. Подставить x = 0 и найти кандидатов на значение параметра.
  4. Шаг 3. Подставить каждого кандидата обратно в исходное уравнение.
  5. Шаг 4. Проверить достаточность: убедиться, что других корней действительно нет.
  6. Шаг 5. Отобрать подходящие значения параметра.

Замена переменной с контролем области. Если в уравнении встречается конструкция \( t = x^2 \) или \( t = \sqrt{x} \), вводят замену и обязательно указывают область значений \( t \). Один корень \( t > 0 \) даёт два значения \( x = \pm\sqrt{t} \), при \( t = 0 \) — один, при \( t < 0 \) — ни одного.

Пример. При каких \( a \) уравнение \( x^4 - 2x^2 + 1 = a \) имеет ровно три корня?

Замена \( t = x^2 \ge 0 \): уравнение \( (t-1)^2 = a \).

При \( a < 0 \): нет решений для \( t \) — нет корней по \( x \).

При \( a = 0 \): \( t = 1 > 0 \) — один корень по \( t \), два по \( x \): \( x = \pm 1 \).

При \( 0 < a < 1 \): \( t_{1,2} = 1 \pm \sqrt{a} \), оба положительны — четыре корня по \( x \).

При \( a = 1 \): \( t_1 = 2 > 0 \) и \( t_2 = 0 \) — первый даёт \( x = \pm\sqrt{2} \), второй \( x = 0 \), итого три корня.

При \( a > 1 \): \( t_2 = 1 - \sqrt{a} < 0 \) не подходит; \( t_1 = 1 + \sqrt{a} > 0 \) — два корня по \( x \).

Ответ: ровно три корня при \( a = 1 \).

---

Задания 20–25 ОГЭ математика 2026: как готовиться к сложной части

Вторая часть КИМ выстроена по нарастающей сложности. Задания 20–25 ОГЭ математика 2026 делятся на две логические группы: задания 20–24 — алгебра и геометрия без параметра (уравнения, функции, планиметрия, стереометрия); задание 25 ОГЭ математика 9 класса — венец экзамена, требующий отдельного навыка.

Рекомендуемый порядок освоения:

  1. 1. Закрепить задания 20–22: они дают «доступные» баллы и логически предшествуют теме параметра.
  2. 2. Освоить линейные уравнения с параметром (тип 1) — наиболее доступный вход в тему.
  3. 3. Перейти к квадратным уравнениям (тип 2): дискриминантный разбор и теорема Виета.
  4. 4. Изучить метод расположения корней (тип 3) и графические методы (тип 4).
  5. 5. Нестандартные прототипы с модулем и заменой переменной (тип 5) — финальный этап.

Задание 25 ОГЭ по математике 2026 ФИПИ не требует знания производных или тригонометрии — всё сводится к алгебре, анализу знака функции и аккуратному оформлению. Поэтому 2 балла за эту задачу вполне реальны при систематической работе с прототипами из открытого банка. Метод «параметр как переменная» и монотонность (строго монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза) — два дополнительных инструмента, которые сокращают вычисления в нестандартных ситуациях.

---

Типичные ошибки в задании 25 ОГЭ и как их не допустить

По материалам проверки работ выделяют шесть устойчивых ошибок. Каждая из них стоит балла, а их совокупность — всего результата за задачу.

❌ ошибкаДелят уравнение на коэффициент при x² сразу, не проверив, может ли он быть нулём
✅ верноСначала приравнивают старший коэффициент к нулю и разбирают вырожденный (линейный) случай отдельно
При a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным; формула корней и дискриминант теряют смысл — теряется целая серия решений
❌ ошибка«Ровно один корень» записывают только через условие D = 0
✅ верноУчитывают и линейный случай (старший коэффициент = 0, b ≠ 0), который тоже даёт единственный корень
Единственность возникает двумя разными путями; учёт лишь D = 0 теряет часть значений параметра
❌ ошибкаКандидатов из необходимого условия (например, x = 0 по симметрии) записывают в ответ без проверки
✅ верноКаждого кандидата подставляют и проверяют, что других корней нет (достаточность)
Необходимое условие может выполняться там, где корней несколько или совсем нет
❌ ошибкаПри замене t = x² переносят условия на корни без учёта области t ≥ 0
✅ верноФиксируют t ≥ 0 и считают, сколько x даёт каждый корень t
Один t > 0 даёт два x; t = 0 — один; t < 0 — ни одного; игнорирование области искажает число решений
❌ ошибкаВ условиях расположения корней пишут f(t) > 0 без учёта знака старшего коэффициента
✅ верноИспользуют a·f(t) нужного знака или разбирают случаи a > 0 и a < 0 отдельно
При a < 0 ветви параболы направлены вниз и неравенства меняются на противоположные
❌ ошибкаПри графическом методе считают только пересечения, забывая о касаниях и угловых точках
✅ верноОтдельно фиксируют уровни касания, изломов и вершин — именно там число решений меняется
Контрольные значения параметра возникают в особых положениях кривой; их пропуск ведёт к неверным границам промежутков

---

По этой теме есть отдельный разбор: подготовке к ОГЭ по математике с нуля.

Частые вопросы

Как решать 25 задание ОГЭ математика 2026?

Общий порядок: определить тип уравнения, найти контрольные значения параметра (обнуление старшего коэффициента, равенство нулю дискриминанта, граничные точки области), разобрать каждый промежуток и контрольную точку отдельно, записать ответ в виде множества. Если параметр \( a \) легко выражается через \( x \) — воспользоваться методом «параметр как переменная» и прочитать ответ с графика кривой \( a = f(x) \). Главные ловушки — пропустить случай обращения старшего коэффициента в нуль и не проверить достаточность для кандидатов, полученных из необходимого условия.

По этой теме есть отдельный разбор: структуре ОГЭ по математике 9 класса и системе баллов.

По этой теме есть отдельный разбор: задачах с параметром в ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: тренировочных вариантах ОГЭ 2026 с ответами.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Горнштейн задачи с параметрами: сравнение 6 книг для ЕГЭ2026-08-06Задачи с параметром (задание 17 ЕГЭ): методы решения2026-07-07Репетитор по математике ЕГЭ профиль онлайн: как устроены занятия2026-07-30Репетитор по математике ЕГЭ профильный уровень: как выбрать2026-07-28