Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Зная одну-две характеристики, его можно вычислить быстро, даже если не все стороны заданы явно. Ниже разобраны шесть фигур: прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция, ромб и параллелограмм — с формулами, обратными задачами (найти сторону по периметру) и таблицей-шпаргалкой в конце.
---
Что такое периметр и как его найти: общее правило
Периметр — полная длина контура фигуры. Образно: если обойти фигуру строго по краю и вернуться в начало, пройденное расстояние и будет периметром. Именно так объясняют это понятие во 2 классе, и именно так оно работает для любого многоугольника.
Универсальная формула:
\[ P = a + b + c + \dots \]
где \(a, b, c, \dots\) — длины всех сторон.
Чтобы найти длину периметра любой фигуры, достаточно следовать трём шагам.
- Универсальный алгоритм
- Шаг 1. Определи тип фигуры, выпиши все известные стороны.
- Шаг 2. Подставь стороны в формулу для данной фигуры (или сложи все стороны напрямую).
- Шаг 3. Проверь единицы измерения — периметр всегда линейный: мм, см, м, км.
Если не все стороны известны, сначала находят недостающие из дополнительных данных — через диагональ, площадь или соотношения сторон. Именно этому посвящены обратные задачи в каждом разделе ниже.
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как найти периметр прямоугольника
У прямоугольника две пары равных сторон: длина \(a\) и ширина \(b\). Формула:
\[ P = 2(a + b) \]
Обратная задача: найти ширину прямоугольника.
Это стандартная ситуация: известен периметр и одна сторона, нужно найти другую. Из формулы выражают:
\[ b = \frac{P}{2} - a \]
Пример. Периметр прямоугольника 30 м, длина — 11 м. Ширина: \(b = 15 - 11 = 4\) м.
Периметр через диагональ.
Если известна диагональ \(d\) и одна сторона \(a\), вторую находят по теореме Пифагора: \(b = \sqrt{d^2 - a^2}\), после чего подставляют в основную формулу.
Пример. Диагональ прямоугольника 13 см, одна сторона 5 см. Вторая сторона: \(b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см. Периметр: \(P = 2(5 + 12) = 34\) см.
---
Как найти периметр квадрата
Квадрат — частный случай прямоугольника с равными сторонами, поэтому формула проще. Как найти периметр квадрата:
\[ P = 4a \]
Сторона по периметру. Обратная задача элементарна: \(a = P / 4\).
Периметр через диагональ. Из формулы \(d = a\sqrt{2}\) следует \(a = d / \sqrt{2}\), значит:
\[ P = 4a = \frac{4d}{\sqrt{2}} = 2d\sqrt{2} \]
Пример. Диагональ квадрата равна 10 см. Найти периметр.
\[ P = 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{2} \approx 28{,}3 \text{ см} \]
---
Как найти периметр треугольника по 3 сторонам
Базовая формула — прямое сложение. Как найти периметр треугольника:
\[ P = a + b + c \]
Частные случаи.
В равностороннем треугольнике все стороны равны: периметр треугольника равен \(3a\). В равнобедренном — два боковых ребра равны \(a\), основание \(b\): \(P = 2a + b\).
Связь с вписанной окружностью.
Из формулы \(S = p \cdot r\), где \(p = P/2\) — полупериметр, получают:
\[ P = \frac{2S}{r} \]
Это удобно, когда площадь и радиус вписанной окружности известны, а стороны треугольника — нет.
Обратная задача: найти неизвестную сторону.
Если заданы два ребра и периметр, как найти стороны периметра треугольника:
\[ c = P - a - b \]
Пример. Периметр треугольника равен 24 см, две стороны — 7 и 9 см. Третья сторона: \(c = 24 - 7 - 9 = 8\) см. Проверка неравенства треугольника: 7 + 8 > 9, 7 + 9 > 8, 8 + 9 > 7 — выполнено.
---
Как найти периметр трапеции
У трапеции четыре стороны: два основания \(a\) и \(b\) (параллельные) и две боковые \(c\) и \(d\). Как найти периметр трапеции:
\[ P = a + b + c + d \]
Связь со средней линией.
Средняя линия трапеции \(m = (a + b)/2\) — полусумма оснований. Это даёт удобную форму для нахождения периметра 4 сторон:
\[ P = 2m + c + d \]
Если средняя линия известна, а суммы оснований нет — это быстрый способ.
Обратная задача: найти боковую сторону.
\[ d = P - a - b - c \]
Пример. Периметр трапеции 40 см, основания 12 и 8 см, одна боковая сторона 9 см. Вторая боковая: \(d = 40 - 12 - 8 - 9 = 11\) см.
---
Как найти периметр ромба
Все стороны ромба равны, поэтому формула идентична квадрату:
\[ P = 4a \]
Однако в задачах ОГЭ и ЕГЭ сторона ромба часто не задана — вместо неё даны диагонали \(d_1\) и \(d_2\). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому каждая полудиагональ — катет прямоугольного треугольника со стороной ромба как гипотенузой.
Типичная задача ОГЭ/ЕГЭ.
Диагонали ромба равны 6 и 8. Найти периметр.
\[ a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ P = 4 \cdot 5 = 20 \]
Проверка через соотношение диагоналей: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 4 \cdot 25\) — верно.
---
Как найти периметр параллелограмма
У параллелограмма две пары параллельных и равных сторон \(a\) и \(b\). Как найти периметр параллелограмма:
\[ P = 2(a + b) \]
Нахождение стороны через диагонали.
Если известны обе диагонали и одна сторона, вторую сторону находят из тождества параллелограмма:
\[ b = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2}{2} - a^2} \]
Пример. Диагонали параллелограмма 10 и 14, одна сторона 9. Найти периметр.
\[ b = \sqrt{\frac{100 + 196}{2} - 81} = \sqrt{148 - 81} = \sqrt{67} \] \[ P = 2(9 + \sqrt{67}) \approx 2(9 + 8{,}19) \approx 34{,}4 \]
Сравнение с прямоугольником.
Структура формулы одинакова: \(P = 2(a + b)\). Отличие только в том, что у прямоугольника угол между сторонами прямой, а у параллелограмма — нет. Это меняет формулу диагонали, но не периметра.
---
Периметр и площадь: в чём разница и как не перепутать
Периметр — длина границы фигуры, результат в линейных единицах (м, см). Площадь — размер поверхности, результат в квадратных единицах (м², см²). Это принципиально разные характеристики, и у двух фигур с одинаковым периметром площади могут существенно отличаться.
Таблица-шпаргалка
| Фигура | Периметр | Площадь | |---|---|---| | Прямоугольник | \(P = 2(a+b)\) | \(S = ab\) | | Квадрат | \(P = 4a\) | \(S = a^2\) | | Треугольник | \(P = a+b+c\) | \(S = \dfrac{1}{2}ah\) | | Трапеция | \(P = a+b+c+d\) | \(S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h\) | | Ромб | \(P = 4a\) | \(S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2\) | | Параллелограмм | \(P = 2(a+b)\) | \(S = ah\) |
Задачи, где нужно найти площадь и периметр сразу, требуют двух отдельных вычислений. Путать их особенно опасно на экзамене: задание может потребовать одно, а ученик по привычке считает другое.
Коротко
- Периметр — граница фигуры, единица линейная (м, см).
- Площадь — поверхность фигуры, единица квадратная (м², см²).
- Для прямоугольника и параллелограмма P = 2(a+b), для квадрата и ромба P = 4a.
- Одинаковый периметр у разных фигур не гарантирует одинаковую площадь.
- Из формулы периметра всегда можно выразить любую одну сторону, если остальные известны.
---
Частые вопросы
Как найти периметр?
Периметр любой фигуры — сумма длин всех сторон: \(P = a + b + c + \dots\). Для стандартных фигур применяют частные формулы: \(P = 2(a+b)\) для прямоугольника и параллелограмма, \(P = 4a\) для квадрата и ромба, \(P = a+b+c\) для треугольника.
Как найти периметр прямоугольника?
По формуле \(P = 2(a + b)\), где \(a\) — длина, \(b\) — ширина. Если одна сторона неизвестна, выражают её: \(a = P/2 - b\). Если задана диагональ \(d\) и одна сторона, вторую находят через теорему Пифагора: \(b = \sqrt{d^2 - a^2}\).
Как найти периметр треугольника?
Общая формула: \(P = a + b + c\). Для равностороннего — \(P = 3a\), для равнобедренного — \(P = 2a + b\). Если известны площадь \(S\) и радиус вписанной окружности \(r\), то \(P = 2S/r\). Если заданы две стороны и периметр, третья сторона: \(c = P - a - b\).
Как найти периметр квадрата?
\(P = 4a\), где \(a\) — сторона. Сторона по периметру: \(a = P/4\). Если известна только диагональ \(d\), то \(P = 2d\sqrt{2}\).
Как найти сторону прямоугольника, зная периметр?
Из \(P = 2(a + b)\) выражают нужную сторону: \(b = P/2 - a\). Необходимо знать периметр и вторую сторону.
Как найти площадь и периметр одновременно?
Это две отдельные задачи. Периметр — сумма сторон, площадь — произведение сторон на высоту (или другую характеристику). Алгоритм: сначала выписать все стороны, вычислить периметр, затем найти недостающие данные для площади и применить нужную формулу из таблицы выше.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей тех же фигур.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства и элементы трапеции.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признаки параллелограмма.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства диагоналей ромба.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.