ЕГЭ математика

Задание 5 ЕГЭ математика профиль: теория вероятностей и формулы

Разбираем теорию задания 5 ЕГЭ математика профиль: от классического определения до формулы полной вероятности. Учимся отличать события и не терять баллы на ошибках.

5 мин чтения
#ЕГЭ математика#задание 5 егэ математика профиль теория#задание 5 егэ математика профиль#теория вероятностей егэ профиль#5 задание егэ математика профиль теория вероятности

Что входит в задание 5 ЕГЭ профиль: формат и базовые понятия

Вопросы «задание 5 ЕГЭ профиль» проверяют умение работать с вероятностями в простом и сложном опыте. В этом разделе мы подробно рассматриваем задание 5 егэ математика профиль теория и изучаем основные положения теории вероятностей егэ профиль. Ключевые определения:

Случайное событие
\[0 \\le P(A) \\le 1\]
Несовместные события
\[A \\cap B = \\varnothing\]
Независимые события
\[P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)\]
Условная вероятность
\[P(B|A)=\\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}\]
Полная группа
\[\\sum_{i=1}^{k}P(H_i)=1\]
Противоположное событие
\[P(\\overline{A}) = 1-P(A)\]

Ключевые факты:

Коротко

  • Вероятность лежит в диапазоне \([0;1]\).
  • Несовместные события не могут быть независимыми, если их вероятности отличны от нуля.
  • Полная группа покрывает все исходы, поэтому сумма их вероятностей равна единице.
  • Преобразование «хотя бы один» удобно через противоположное событие.
PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Теоремы сложения и умножения: когда складывать, а когда умножать

Сложение

  1. 1. Независимые события: если \(A\) и \(B\) не могут произойти одновременно, то

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).

  1. 2. Совместные события: если пересечение возможно, то

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\).

Умножение

  1. 1. Независимые: \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B)\).
  2. 2. Зависимые: \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B|A)\).

  1. Сложение вероятностей
  2. Шаг 1. Определить, совместны ли события.
  3. Шаг 2. Если несовместны – сложить.
  4. Шаг 3. Если совместны – вычесть пересечение.
  5. Умножение вероятностей
  6. Шаг 1. Проверить независимость.
  7. Шаг 2. При независимости перемножить.
  8. Шаг 3. При зависимости использовать условную вероятность.
❌ ошибкаНеверно: «Для событий «A или B» всегда пишут \(P(A)+P(B)\)
✅ верноВерно: складывать можно только для несовместных событий, иначе \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
Потому что пересечение учитывается дважды.
❌ ошибкаНеверно: «Считают несовместные события независимыми и перемножают вероятности»
✅ верноВерно: несовместные события всегда зависимы, \(P(A \cap B)=0\).
Потому что независимость и несовместность – разные свойства.

Дерево вероятностей, формула полной вероятности и задачи на кубики

Дерево вероятностей

Для последовательных испытаний рисуем дерево: каждый уровень – новый этап, вероятности на ветвях умножаются, а ветви к одному событию складываются.

Формула полной вероятности

Если событие может произойти при разных гипотезах \(H_i\), то \(P(A)=\sum_{i=1}^{k}P(H_i)\,P(A|H_i)\).

Приём «хотя бы один»

Для независимых попыток \(P(\text{хотя бы один})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i)\). При одинаковой вероятности \(p\): \(P=1-(1-p)^n\).

  1. Дерево вероятностей
  2. Шаг 1. Нарисовать дерево с уровнями.
  3. Шаг 2. На каждой ветви указать вероятность.
  4. Шаг 3. Перемножить вероятности вдоль пути к нужному событию.
  5. Шаг 4. Сложить все соответствующие пути.
  6. Формула полной вероятности
  7. Шаг 1. Выделить полную группу гипотез \(H_i\).
  8. Шаг 2. Найти \(P(H_i)\) и \(P(A|H_i)\).
  9. Шаг 3. Перемножить и сложить.
  10. Приём «хотя бы один»
  11. Шаг 1. Найти вероятность неудачи \(q_i=1-p_i\).
  12. Шаг 2. Перемножить все \(q_i\).
  13. Шаг 3. Вычесть из единицы.
❌ ошибкаНеверно: «В «хотя бы один» суммировать все благоприятные ветви»
✅ верноВерно: использовать противоположное событие \(1-\prod q_i\).
Потому что прямое сложение игнорирует случаи одновременного успеха.
❌ ошибкаНеверно: «При выборе без возврата на втором шаге берут прежнюю дробь»
✅ верноВерно: пересчитать числитель и знаменатель после первого извлечения.
Потому что без возврата исходы зависимы.
❌ ошибкаНеверно: «Округляют промежуточные вероятности и теряют точность»
✅ верноВерно: вести расчёты в дробях до конца, округлять только финальный ответ.
Потому что раннее округление накапливает ошибку.

ЕГЭ 2026: демоверсия ФИПИ, изменения и чек‑лист типичных ошибок

В демоверсии 2026 года особое внимание уделяется выбору без возврата и проверке сумм вероятностей. Здесь полезно вспомнить егэ 2026 математика профиль задание 5 теория и обратить внимание на 5 задание егэ математика профиль теория вероятности. Частые ошибки:

❌ ошибкаНеверно: «Вероятность получается больше 1 и это не настораживает»
✅ верноВерно: проверять, что результат лежит в \([0;1]\).
Потому что любая вероятность ограничена единицей.
❌ ошибкаНеверно: «При выборе без возврата на втором шаге берут прежнюю дробь»
✅ верноВерно: пересчитать после первого шага.
Потому что без возврата исходы зависимы.

Ключевые факты:

Коротко

  • В 2026 году формулы остаются теми же, но важно не округлять до конца.
  • При выборе без возврата вероятность второго события меняется.
  • Сумма вероятностей полной группы всегда равна единице.

Частые вопросы

Вопрос? Как быстро проверить, что событие несовместно? Ответ: Если пересечение пусто, то событие несовместно.

Вопрос? Что делать, если сумма вероятностей получается >1? Ответ: Вероятно, использована неверная формула сложения; проверьте пересечение событий.

Вопрос? Как применить «хотя бы один» при разных вероятностях? Ответ: Вычтите из единицы произведение вероятностей неудач \(q_i=1-p_i\).

Вопрос? Нужно ли округлять промежуточные результаты? Ответ: Нет, округлять только окончательный ответ согласно условию задачи.

Вопрос? Как отличить несовместные и независимые события? Ответ: Несовместные не могут произойти одновременно, независимые не влияют друг на друга; их признаки различаются.

По этой теме есть отдельный разбор: базовую теорию по классической вероятности (задание 4).

По этой теме есть отдельный разбор: разбор типичных ошибок в задачах на вероятность.

По этой теме есть отдельный разбор: сколько первичных баллов стоит задание 5.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Что такое логарифм простыми словами: свойства, формулы и примеры2026-07-16Что такое производная функции простыми словами: объяснение2026-07-14Экономическая задача ЕГЭ математика профиль: решение задания 162026-07-14Как решать квадратные уравнения через дискриминант2026-07-16