Базовые понятия: случайные, несовместные и независимые события
Прежде чем подставлять числа в формулы на вероятность ЕГЭ, нужно разобраться с тремя ключевыми понятиями — без этого легко выбрать не ту формулу и потерять балл.
Случайное событие — исход опыта, который может произойти, а может не произойти. Вероятность любого события — число от 0 до 1:
\[0 \le P(A) \le 1\]
\(P = 0\) — событие невозможно, \(P = 1\) — событие достоверно.
Классическое определение вероятности работает, когда все исходы равновозможны (кубик, монета, лотерея):
\[P(A) = \frac{m}{n}\]
где \(m\) — число благоприятных исходов, \(n\) — число всех исходов.
Несовместные события — события, которые не могут наступить одновременно. Формально: \(A \cap B = \varnothing\). Примеры: выпало «чётное» и «нечётное» число на кубике; карта оказалась червей и пик одновременно.
Независимые события — события, где наступление одного не меняет вероятность другого. Формальный признак:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Примеры: два отдельных броска монеты; качество двух независимо собранных деталей.
Главный подводный камень, из-за которого чаще всего ошибаются в теоремах вероятности событий ЕГЭ: несовместность и независимость — это разные свойства. Если события несовместны (не могут произойти вместе), значит, наступление одного гарантированно исключает другое — то есть они зависимы. Смешивать эти понятия нельзя.
Коротко
- Случайное событие: вероятность от 0 до 1
- Несовместные: A и B не случаются вместе → A ∩ B = ∅
- Независимые: наступление A не меняет вероятность B
- Несовместные ≠ независимые — это принципиально разные понятия
- Классическая вероятность: P = m/n при равновозможных исходах
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формулы на вероятность для ЕГЭ: полная шпаргалка
Ниже собраны все формулы, которые нужны для базового экзамена. Для каждой указано, в каком случае она применима.
Что встречается чаще всего на базовом ЕГЭ: классическая вероятность \(P = m/n\), сложение несовместных событий, умножение независимых событий и приём «хотя бы один» через противоположное событие. Дерево вероятностей и полная вероятность нужны в задачах с урнами или контролем качества.
---
Теоремы о вероятностях событий ЕГЭ: сложение и умножение
Центральный вопрос любой задачи на теоремы вероятности событий ЕГЭ (база): когда складывать, а когда умножать? Ответ зависит от того, что описывает событие.
Теорема сложения
Если событие \(C\) означает «произошло \(A\) или \(B\)», применяют теорему сложения.
Для несовместных событий (\(A \cap B = \varnothing\)): \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Для произвольных (совместных) событий: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Почему вычитают пересечение? Если \(A\) и \(B\) могут наступить вместе, исходы из \(A \cap B\) попали бы и в \(P(A)\), и в \(P(B)\) — то есть учлись бы дважды. Вычитание исправляет этот «двойной счёт».
Пример. Вероятность вытащить туза из колоды — \(\frac{4}{52}\), вероятность вытащить червовую карту — \(\frac{13}{52}\). «Туз» и «червовая» совместны (туз червей существует), поэтому:
\[P(\text{туз или червовая}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} \approx 0{,}308\]
Теорема умножения
Если событие \(C\) означает «произошло \(A\) и \(B\)», применяют теорему умножения.
Для независимых событий: \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Для зависимых событий (например, выбор без возврата): \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\]
- Как выбрать формулу — алгоритм
- Шаг 1. Прочитать, что описывает событие: «или» / «и»
- Шаг 2. Если «или» → теорема сложения. Проверить, совместны ли события
- Шаг 3. Если несовместны → P(A) + P(B); если совместны → P(A) + P(B) − P(A∩B)
- Шаг 4. Если «и» → теорема умножения. Проверить, зависимы ли события
- Шаг 5. Если независимы → P(A)·P(B); если зависимы → P(A)·P(B|A)
- Шаг 6. Проверить, что результат лежит в [0; 1]
---
Приём «хотя бы один» и переход к противоположному событию
Задачи «найдите вероятность того, что хотя бы один из... » — один из самых частых форматов в заданиях на вероятность ЕГЭ. Прямой подсчёт здесь неудобен: нужно учесть «ровно один», «ровно два», «все три» и т.д. — слишком много ветвей.
Умный путь — переход к противоположному событию.
Противоположное к «хотя бы один» — это «ни одного». Вероятность «ни одного» считается просто: перемножить вероятности неудач.
\[P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного}) = 1 - q_1 \cdot q_2 \cdots q_n\]
где \(q_i = 1 - p_i\) — вероятность неудачи в \(i\)-й попытке.
Если все попытки одинаковые (одна и та же вероятность \(p\)): \[P = 1 - (1-p)^n\]
Разберём на примере. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания: \(p_1 = 0{,}7\), \(p_2 = 0{,}8\), \(p_3 = 0{,}9\). Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Вероятности промаха: \(q_1 = 0{,}3\), \(q_2 = 0{,}2\), \(q_3 = 0{,}1\).
\[P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0{,}3 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 1 - 0{,}006 = 0{,}994\]
Ловушка прямого подсчёта. Если пробовать суммировать «ровно один» + «ровно два» + «все три», нужно посчитать \(2^3 - 1 = 7\) слагаемых. Метод противоположного сводит это к одному умножению.
Ловушка «сложить \(p_1 + p_2 + p_3\)». При \(p_1 = p_2 = p_3 = 0{,}7\) прямое сложение даёт 2,1 — что больше 1 и уже невозможно. Формула через противоположное дала бы \(1 - 0{,}3^3 = 0{,}973\) — корректный ответ.
- Приём «хотя бы один»
- Шаг 1. Убедиться, что испытания независимы
- Шаг 2. Для каждого испытания найти вероятность неудачи: \(q_i = 1\) − \(p_i\)
- Шаг 3. Перемножить все \(q_i\) → получить P(ни одного)
- Шаг 4. Ответ: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного)
---
Дерево вероятностей и формула полной вероятности
Когда опыт проходит в несколько этапов и исходы каждого этапа ветвятся, удобно использовать дерево вероятностей. Оно наглядно и защищает от пропуска случаев.
Правила работы с деревом:
- Построение дерева вероятностей
- Шаг 1. Каждый этап опыта — новый уровень ветвления
- Шаг 2. На каждой ветви написать её вероятность; сумма ветвей из одного узла = 1
- Шаг 3. Чтобы найти вероятность пути → перемножить вероятности вдоль этого пути
- Шаг 4. Если событие достигается несколькими путями → сложить их вероятности
Пример: выбор без возврата. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Достают два шара подряд. Найти вероятность того, что оба белых.
Первый шар: \(P(Б_1) = \frac{3}{5}\). После извлечения белого шара осталось 2 белых из 4.
Второй шар: \(P(Б_2 \mid Б_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
\[P(Б_1 \cap Б_2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0{,}3\]
Типичная ошибка здесь — оставить дробь \(\frac{3}{5}\) и на втором шаге. При выборе без возврата и числитель, и знаменатель уменьшаются.
Формула полной вероятности — это дерево в виде формулы. Она нужна, когда событие \(A\) может наступить при разных взаимоисключающих условиях (гипотезах \(H_1, H_2, \dots, H_k\)):
\[P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)\]
Гипотезы образуют полную группу: они несовместны и \(\sum P(H_i) = 1\).
Пример. На заводе работают два станка. Первый производит 60 % деталей (брак 2 %), второй — 40 % (брак 5 %). Найти вероятность брака для случайной детали.
\[P(\text{брак}) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\]
Коротко
- Вдоль ветви дерева → умножаем
- Разные ветви к одному событию → складываем
- Выбор без возврата: пересчитывать и числитель, и знаменатель на каждом шаге
- Сумма вероятностей из одного узла дерева всегда равна 1
- Формула полной вероятности = взвешенная сумма условных вероятностей по гипотезам
---
Задачи на вероятность ЕГЭ с подробными решениями
Ниже разобраны задачи уровня реального экзамена. Это те форматы, которые встречаются в егэ математика база, задания на вероятность.
---
Задача 1. Монета и кубик
Бросают монету и правильный кубик. Найти вероятность того, что выпадет орёл и чётное число.
Решение.
Событие A = «орёл», \(P(A) = \frac{1}{2}\).
Событие B = «чётное число» (2, 4, 6), \(P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
События независимы (разные предметы):
\[P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\]
Ответ: 0,25.
---
Задача 2. Урна, выбор с возвратом
В урне 4 красных и 6 синих шара. Достают шар, смотрят цвет, возвращают, затем достают ещё раз. Найти вероятность того, что оба раза достали красный.
Решение.
Так как шар возвращают, состав урны не меняется. Каждый раз \(P(\text{красный}) = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Испытания независимы:
\[P = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\]
Ответ: 0,16.
---
Задача 3. Хотя бы один
Три ученика независимо решают задачу. Вероятности решить: \(0{,}5\), \(0{,}6\), \(0{,}7\). Найти вероятность того, что задача будет решена (хотя бы один решит).
Решение.
Переходим к противоположному: «никто не решил».
\[P(\text{никто}) = (1 - 0{,}5)(1 - 0{,}6)(1 - 0{,}7) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}06\]
\[P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\]
Ответ: 0,94.
---
Задача 4. Производственный брак (дерево)
На линии два контроллера проверяют детали независимо. Первый пропускает брак с вероятностью 0,1, второй — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что бракованная деталь пройдёт оба контроля.
Решение.
События «первый пропустил» и «второй пропустил» независимы:
\[P = 0{,}1 \cdot 0{,}2 = 0{,}02\]
Ответ: 0,02.
---
Типовые задания на вероятность ЕГЭ математика база: форматы и ловушки
Форматы задания
В базовом ЕГЭ задача на вероятность — это задание №3 (иногда смежные задания). Типичные сюжеты:
- - монеты, кубики, карты (классическая вероятность, подсчёт исходов);
- - урны, мешки с шарами (сложение/умножение, выбор с возвратом и без);
- - производственный брак, контроль качества (дерево, полная вероятность);
- - несколько стрелков/учеников (хотя бы один, независимые попытки).
Ответ обычно требуют в виде десятичной дроби, иногда — обыкновенной. Промежуточные вычисления проверяющий не видит, поэтому единственная ошибка в методе — уже неверный ответ.
8 типичных ошибок
Коротко
- «Или» → сложение; «и» → умножение
- Несовместные: складываем без вычитания пересечения
- Совместные: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
- Независимые: умножаем вероятности напрямую
- Зависимые: умножаем на условную вероятность P(B|A)
- «Хотя бы один» = 1 − (произведение вероятностей неудач)
- Вдоль ветви дерева → умножаем; разные ветви к цели → складываем
- Проверка: финальный ответ обязан лежать в [0; 1]
- Несовместность и независимость — разные понятия, не путать
---
Частые вопросы
Чем отличаются несовместные события от независимых?
Несовместные события не могут наступить одновременно в одном опыте (\(A \cap B = \varnothing\)). Независимые события могут наступить вместе, просто наступление одного не меняет вероятность другого. Несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы: если A произошло, B точно не произошло — это и есть зависимость.
Когда в задаче нужно складывать вероятности, а когда умножать?
Ключевое слово в условии: «или» указывает на объединение событий — используют теорему сложения. «И» указывает на совместное наступление — используют теорему умножения. Для несовместных событий складывают без поправки, для совместных вычитают пересечение. Для независимых умножают напрямую, для зависимых умножают на условную вероятность.
Как решать задачи «хотя бы один» на ЕГЭ по математике (база)?
Переходят к противоположному событию «ни одного». Для каждого испытания находят вероятность неудачи \(q_i = 1 - p_i\), перемножают все \(q_i\) и вычитают из единицы: \(P = 1 - q_1 \cdot q_2 \cdots q_n\). Прямое сложение вероятностей успехов недопустимо — оно не учитывает случаи одновременного успеха и завышает ответ.
Что такое дерево вероятностей и как его строить?
Дерево вероятностей — схема, где каждый этап опыта изображается уровнем ветвления, а на каждой ветви указана её вероятность. Правило: сумма вероятностей ветвей из одного узла равна 1. Вероятность конкретного пути — произведение вероятностей вдоль этого пути. Если несколько путей ведут к искомому событию, их вероятности складывают.
Почему при выборе без возврата вероятность на втором шаге меняется?
После первого извлечения объект не возвращается в набор. Состав изменился: в числителе и знаменателе стало на единицу меньше (или на столько, сколько объектов уже извлечено). Это делает исходы зависимыми, и использовать ту же дробь для второго шага — ошибка, которая встречается в заданиях на вероятность ЕГЭ очень часто.
Можно ли округлять вероятность на промежуточных шагах решения?
Нельзя. Промежуточные результаты следует держать в виде точных дробей или полных десятичных записей. Округление нужно делать только один раз — для финального ответа, и только если этого требует условие. Раннее округление накапливает ошибку и приводит к расхождению с эталонным ответом.
По этой теме есть отдельный разбор: основы теории вероятности.
По этой теме есть отдельный разбор: классическую вероятность в задании 4 ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: типичные ошибки при решении задач на вероятность.
По этой теме есть отдельный разбор: теорию вероятностей для профильного ЕГЭ.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.