Стандартная формула дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) работает для любого квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Но когда коэффициент \(b\) чётный, вычисления можно сократить вдвое: используют сокращённый дискриминант \(D_1\) — формулу дискриминанта, делённого на 4. Корни получаются абсолютно те же, а арифметики значительно меньше. Именно это делает метод ценным на ЕГЭ и ОГЭ, где скорость и точность счёта критичны.
Ниже — вывод формулы и условие её применения, разбор трёх случаев по знаку \(D_1\), пошаговый алгоритм и типичные ошибки.
Что такое формула дискриминанта, делённого на 4 (D₁)
Возьмём квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) и предположим, что \(b\) чётное: \(b = 2k\). Подставим в стандартный дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4ac = 4k^2 - 4ac = 4(k^2 - ac). \]
Значит, \(D = 4D_1\), где по определению:
\[ D_1 = k^2 - ac = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac. \]
Именно это и есть д на 4 — формула дискриминанта в сокращённой форме. Подставим в стандартную формулу корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2k \pm \sqrt{4D_1}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{D_1}}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}. \]
В чём выгода? Если \(b = 6\), то при обычном подходе \(b^2 = 36\). При формуле дискриминанта деленного на 4 берём \(k = 3\), \(k^2 = 9\) — числа вдвое меньше. Риск арифметической ошибки снижается, скорость растёт.
Разложение квадратного трёхчлена при этом остаётся стандартным: \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) — корни те же, только найдены другим путём.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Когда применять формулу дискриминанта 1: условие чётного b
Единственное условие: коэффициент \(b\) должен быть чётным, то есть \(b = 2k\), где \(k\) — целое число. Если условие выполнено, формула дискриминанта 1 всегда экономит вычисления.
Примеры, где метод ускоряет счёт:
Уравнение \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(a=1\), \(b=-6\), \(c=5\), \(k=-3\). \[D_1 = 9 - 1 \cdot 5 = 4, \quad x = \frac{3 \pm 2}{1}, \quad x_1 = 5,\; x_2 = 1.\]
Уравнение \(2x^2 + 8x - 10 = 0\): \(a=2\), \(b=8\), \(c=-10\), \(k=4\). \[D_1 = 16 - 2 \cdot (-10) = 36, \quad x = \frac{-4 \pm 6}{2}, \quad x_1 = 1,\; x_2 = -5.\]
Уравнение \(3x^2 - 10x + 8 = 0\): \(b=-10\), \(k=-5\). \[D_1 = 25 - 3 \cdot 8 = 1, \quad x = \frac{5 \pm 1}{3}, \quad x_1 = 2,\; x_2 = \tfrac{4}{3}.\]
Во всех трёх случаях коэффициент \(b\) чётный — метод замены переменной \(k = b/2\) работает без дробей.
Контрпример — нечётный b:
Уравнение \(x^2 - 7x + 6 = 0\): \(b = -7\) нечётное. При попытке взять \(k = -3{,}5\) получаем \(k^2 = 12{,}25\) — дробное число, которое только усложняет счёт. Здесь выгоднее обычный дискриминант: \(D = 49 - 24 = 25\), \(x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{2}\), корни \(6\) и \(1\).
Коротко
- Формулу D₁ применяют только при чётном b (b = 2k, k — целое)
- При нечётном b дробное k усложняет вычисления — лучше стандартный D
- Признак чётности для целых коэффициентов: b оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8
Пошаговый алгоритм быстрого счёта корней через формулу D/4
- Алгоритм: корни через D₁
- Шаг 1. Убедиться, что b чётное. Вычислить k = b / 2.
- Шаг 2. Вычислить D₁ = k² − ac.
- Шаг 3. Если D₁ ≥ 0 — записать корни x = (−k ± √D₁) / a. Если D₁ < 0 — вещественных корней нет.
Полный разбор на примере: уравнение \(2x^2 - 12x + 10 = 0\)
| | Через D₁ | Через стандартный D | |---|---|---| | Шаг 1 | \(k = -12/2 = -6\) | — | | Дискриминант | \(D_1 = 36 - 2 \cdot 10 = 16\) | \(D = 144 - 80 = 64\) | | Корни | \(x = \dfrac{6 \pm 4}{2}\) | \(x = \dfrac{12 \pm 8}{4}\) | | Ответ | \(x_1 = 5,\; x_2 = 1\) | \(x_1 = 5,\; x_2 = 1\) |
Результат одинаковый, но при D/4 числа вдвое меньше: \(36\) вместо \(144\), \(\sqrt{16}\) вместо \(\sqrt{64}\). На экзамене это снижает вероятность арифметической ошибки.
Разложение трёхчлена следует напрямую из найденных корней: \[2x^2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1).\]
Формула дискриминанта при 0 и если D₁ равен нулю: все три случая
Знак \(D_1\) определяет количество вещественных корней — так же, как знак стандартного \(D\). Это логично: \(D = 4D_1\), а множитель \(4 > 0\) знак не меняет.
Почему при D₁ = 0 один корень. Из формулы \(x = \frac{-k \pm \sqrt{0}}{a}\) оба значения совпадают: \(x = -k/a\). Геометрически — парабола касается оси \(Ox\) в одной точке. Формула дискриминанта если он равен нулю работает одинаково для \(D\) и для \(D_1\): один и тот же вывод, только числа при D₁ компактнее.
Связь с разложением трёхчлена:
- - \(D_1 > 0\): \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), два различных линейных множителя.
- - \(D_1 = 0\): \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\), полный квадрат.
- - \(D_1 < 0\): разложение на вещественные множители невозможно; трёхчлен сохраняет знак \(a\) при всех \(x\) — это следствие признака знака квадратного трёхчлена при отрицательном дискриминанте.
Числовые примеры:
\(x^2 - 4x + 4 = 0\): \(k = -2\), \(D_1 = 4 - 4 = 0\). Один корень \(x = 2\). Разложение: \((x-2)^2\).
\(x^2 - 4x + 5 = 0\): \(k = -2\), \(D_1 = 4 - 5 = -1 < 0\). Вещественных корней нет.
Типичные ошибки при использовании формулы дискриминанта D/4
Три ошибки встречаются чаще всего — каждая меняет ответ полностью.
Разбор ошибки 1 — уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\), \(b = -8\):
Неверно: \(k = -8\), \(D_1 = 64 - 7 = 57\), \(\sqrt{57}\) — нет целого корня, что уже должно насторожить. Верно: \(k = -4\), \(D_1 = 16 - 7 = 9\), \(x = \frac{4 \pm 3}{1}\), ответ \(x_1 = 7,\; x_2 = 1\).
Разбор ошибки 2 — уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\), \(b = -5\):
\(k = -2{,}5\), \(k^2 = 6{,}25\) — дробные числа. Стандартный путь проще: \(D = 25 - 16 = 9\), \(x = \frac{5 \pm 3}{2}\), корни \(4\) и \(1\).
Разбор ошибки 3 — уравнение \(x^2 - 6x + 8 = 0\), \(b = -6\), \(k = -3\):
Неверно: \(x = \frac{(-3) \pm 1}{1}\), корни \(-2\) и \(-4\). Проверка: \((-2)^2 - 6(-2) + 8 = 4 + 12 + 8 = 24 \neq 0\) — не подходит. Верно: \(x = \frac{-(-3) \pm 1}{1} = \frac{3 \pm 1}{1}\), корни \(4\) и \(2\).
Знак минус перед \(k\) в формуле дискриминанта на 4 — не случайность, а прямое следствие вывода: исходная формула содержит \(-b = -2k\), которое после сокращения на \(2\) даёт именно \(-k\).
FAQ
Чем формула дискриминанта на 4 отличается от стандартной?
Стандартный дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), сокращённый \(D_1 = (b/2)^2 - ac\). Между ними связь \(D = 4D_1\): множитель \(4\) не меняет знак, поэтому количество корней определяется одинаково. Формула корней через \(D_1\) — \(x = (-k \pm \sqrt{D_1})\,/\,a\) — даёт те же ответы, но с числами вдвое меньшего масштаба.
При каком условии применяют формулу D/4?
Только когда коэффициент \(b\) чётный, то есть делится на 2 без остатка. Тогда \(k = b/2\) — целое число и вычисления упрощаются. При нечётном \(b\) замена \(k = b/2\) даёт дробь и усложняет счёт — в этом случае используют стандартный \(D\).
Что означает D₁ = 0?
Уравнение имеет ровно один вещественный корень (двукратный): \(x = -k/a\). Геометрически парабола касается оси \(Ox\) в одной точке, а трёхчлен раскладывается в полный квадрат \(a(x - x_0)^2\).
Можно ли перепутать знаки и написать x = (k ± √D₁) / a?
Нет — это одна из самых частых ошибок. Из вывода следует \(-b = -2k\), после сокращения на 2 остаётся \(-k\). Правильная формула: \(x = (-k \pm \sqrt{D_1})\,/\,a\). Потеря знака минус перед \(k\) делает оба корня неверными.
Как быстро проверить найденные корни?
Подставить каждый корень в исходное уравнение: если \(ax_i^2 + bx_i + c = 0\) — корень верен. Для уравнения \(x^2 - 6x + 8 = 0\) с корнями \(4\) и \(2\): \(16 - 24 + 8 = 0\) ✓ и \(4 - 12 + 8 = 0\) ✓.
Работает ли метод, если a ≠ 1?
Да, без ограничений. Условие только на чётность \(b\). При \(a \neq 1\) формула корней остаётся \(x = (-k \pm \sqrt{D_1})\,/\,a\) — делитель \(a\), а не \(2a\), как в стандартной формуле.
По этой теме есть отдельный разбор: стандартной формуле дискриминанта D = b²−4ac.
По этой теме есть отдельный разбор: разложению квадратного трёхчлена на множители.
По этой теме есть отдельный разбор: остальные формулы ЕГЭ по математике.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.