Теорема Виета для кубического уравнения: формула и корни

Теорема Виета для квадратного уравнения: формула и смысл

Теорема Виета для квадратного уравнения позволяет узнать сумму и произведение корней напрямую из коэффициентов — без решения уравнения и без дискриминанта.

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a \neq 0\), с корнями \(x_1\) и \(x_2\):

Откуда берётся теорема. Квадратный трёхчлен с корнями \(x_1\) и \(x_2\) раскладывается в произведение линейных множителей:

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Раскрываем правую часть:

\[ a(x - x_1)(x - x_2) = a\bigl[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\bigr] \]

Сравниваем коэффициенты при \(x\) и свободные члены:

\[ b = -a(x_1 + x_2) \implies x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ c = a \cdot x_1 x_2 \implies x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Именно разложение квадратного трёхчлена объясняет, почему формула работает: все числа \(-b/a\) и \(c/a\) — это элементарные симметрические функции корней, возникающие при раскрытии скобок. Та же логика — разбить многочлен на множители \((x - x_i)\) и сравнить коэффициенты — переносится на уравнения любой степени.

Быстрое применение. Уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\): по теореме \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1 x_2 = 6\). Пара \(2\) и \(3\) удовлетворяет обоим условиям — корни найдены без дискриминанта.

---

По этой теме есть отдельный разбор: решение квадратных уравнений через дискриминант.

Теорема Виета для кубического уравнения: формула

Рассмотрим уравнение третьей степени с корнями \(x_1, x_2, x_3\):

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

Разложение на линейные множители:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \]

Раскрываем правую часть и сравниваем коэффициенты при \(x^2\), \(x\) и свободном члене. Получаем три соотношения — теорема Виета для кубического уравнения:

Знаки чередуются: перед суммой корней и перед тройным произведением стоит минус, перед суммой попарных произведений — плюс. Это прямое следствие раскрытия трёх скобок вида \((x - x_i)\).

Применение: подбор корня и деление уголком. Это основной приём решения кубических уравнений с целыми коэффициентами:

Разбор примера. Решим \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\).

Делители числа \(6\): \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\). Пробуем \(x = 1\):

\[ 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \checkmark \]

Делим на \((x - 1)\) уголком:

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

Квадратный трёхчлен \(x^2 - 5x + 6 = 0\) даёт \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\).

Проверка (\(a = 1,\ b = -6,\ c = 11,\ d = -6\)):

\[ 1 + 2 + 3 = 6 = -\tfrac{-6}{1} \checkmark \] \[ 1{\cdot}2 + 1{\cdot}3 + 2{\cdot}3 = 11 = \tfrac{11}{1} \checkmark \] \[ 1{\cdot}2{\cdot}3 = 6 = -\tfrac{-6}{1} \checkmark \]

Все три соотношения выполнены — корни верны.

---

По этой теме есть отдельный разбор: теорема Безу и схема Горнера.

Теорема Виета для многочленов высших степеней

Для многочлена степени \(n\) с корнями \(x_1, x_2, \dots, x_n\) (над \(\mathbb{C}\)):

\[ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n) \]

После раскрытия правой части возникают элементарные симметрические многочлены \(e_1, e_2, \dots, e_n\):

Знак \((-1)^k\) возникает из-за минусов перед каждым корнем в множителях \((x - x_i)\).

Почему формулы Виета не заменяют поиск корней. Соотношения задают симметрические функции от всего набора корней, а не их индивидуальные значения. Зная \(x_1 + x_2 = 5\) и \(x_1 x_2 = 6\), ещё нельзя назвать \(x_1\) и \(x_2\) без дополнительного уравнения. Соотношения Виета используются для трёх целей:

• - проверки корней — быстрее, чем подстановка по одному;
• - отбора корней — кандидат, не удовлетворяющий хотя бы одному соотношению, сразу отбрасывается;
• - составления уравнения по заданным корням без ручного раскрытия скобок.

Равносильность. При работе с многочленами степени \(\geq 3\) только совокупность всех \(n\) соотношений Виета является достаточной: выполнение лишь части из них — необходимое, но не достаточное условие. Найденные кандидаты всегда нужно проверять подстановкой или через все формулы одновременно.

---

Тренажёр: задачи на теорему Виета

Тренажёр по теореме Виета включает четыре типа задач с нарастающей сложностью и разбором типичной ошибки в каждом.

---

Тип 1. Составить уравнение по заданным корням.

Задача. Составить унитарное кубическое уравнение с корнями \(1\), \(2\), \(3\).

Считаем симметрические суммы:

\[ e_1 = 1+2+3 = 6, \quad e_2 = 1{\cdot}2 + 1{\cdot}3 + 2{\cdot}3 = 11, \quad e_3 = 1{\cdot}2{\cdot}3 = 6 \]

Уравнение строится как \(x^3 - e_1 x^2 + e_2 x - e_3 = 0\):

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \]

---

Тип 2. Найти неизвестный коэффициент.

Задача. В уравнении \(x^3 + px^2 - 7x + 6 = 0\) один из корней равен \(x_1 = 1\). Найти \(p\).

Подставляем \(x_1 = 1\):

\[ 1 + p - 7 + 6 = 0 \implies p = 0 \]

При \(p = 0\) уравнение принимает вид \(x^3 - 7x + 6 = 0\). Проверяем через теорему Виета для кубического уравнения: сумма корней \(x_1 + x_2 + x_3 = 0\), произведение \(x_1 x_2 x_3 = -6\). При \(x_1 = 1\) получаем \(x_2 + x_3 = -1\), \(x_2 x_3 = -6\). По теореме Виета для квадратного уравнения: квадратный трёхчлен для \(x_2\) и \(x_3\) — это \(t^2 + t - 6 = 0\), корни \(2\) и \(-3\).

Ответ: \(p = 0\); корни уравнения \(1\), \(2\), \(-3\).

---

Тип 3. Определить, являются ли два числа корнями кубического уравнения.

Задача. Могут ли числа \(1\) и \(2\) одновременно быть корнями уравнения \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)?

Если \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) — корни, восстанавливаем третий через произведение:

\[ x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} = 6 \implies x_3 = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3 \]

Проверяем все соотношения теоремы Виета для кубического уравнения:

• - \(1+2+3 = 6 = -\tfrac{-6}{1}\) ✓
• - \(1{\cdot}2 + 1{\cdot}3 + 2{\cdot}3 = 11 = \tfrac{11}{1}\) ✓
• - \(1{\cdot}2{\cdot}3 = 6 = -\tfrac{-6}{1}\) ✓

Все три соотношения выполнены. Числа \(1\) и \(2\) действительно являются корнями, третий корень — \(3\).

---

Тип 4 (повышенный). Уравнение с параметром и дополнительным условием.

Задача. При каком \(k\) уравнение \(x^3 - kx^2 + 3x - 1 = 0\) имеет тройной вещественный корень?

Пусть тройной корень равен \(r\): \(x_1 = x_2 = x_3 = r\). По теореме Виета для кубического уравнения:

\[ 3r = k, \qquad 3r^2 = 3, \qquad r^3 = 1 \]

Из второго соотношения: \(r^2 = 1\), значит \(r = \pm 1\). Из третьего: \(r^3 = 1\), значит \(r = 1\). Тогда \(k = 3 \cdot 1 = 3\).

Проверка: \((x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\). При \(k = 3\) уравнение совпадает ✓.

---

FAQ

Работают ли формулы Виета, если кубическое уравнение имеет комплексные корни?

Да. Соотношения Виета выводятся из разложения многочлена над \(\mathbb{C}\) и остаются верными независимо от природы корней. На ЕГЭ рассматриваются только вещественные корни, но сами формулы при этом не изменяются.

Можно ли найти корни кубического уравнения только по соотношениям Виета, не решая уравнение?

Нет. Соотношения Виета задают симметрические функции от всего набора корней, а не значения каждого. Зная три суммы, нельзя однозначно восстановить три неизвестных без дополнительного приёма — подбора корня или деления уголком. Виета используется для проверки и составления уравнений, а не для прямого нахождения корней.

Как запомнить знаки в формулах Виета для кубического уравнения?

Знаки чередуются в том же порядке, что и при раскрытии \((x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\): сумма корней — минус, сумма попарных произведений — плюс, тройное произведение — минус. Общее правило: \(e_k\) входит с коэффициентом \((-1)^k\).

Чем соотношения Виета для кубического уравнения отличаются от квадратного?

Для квадратного — два соотношения (сумма и произведение). Для кубического — три (добавляется сумма попарных произведений). Каждое дополнительное соотношение появляется при увеличении степени на единицу и соответствует одному из коэффициентов многочлена.

Достаточно ли выполнения одного соотношения Виета, чтобы числа были корнями?

Нет. Для многочлена степени \(n\) только совокупность всех \(n\) соотношений является достаточной. Выполнение части из них — необходимое, но не достаточное условие. Найденные кандидаты нужно проверять через все формулы одновременно или подстановкой.

По этой теме есть отдельный разбор: разложение квадратного трёхчлена на множители.