Как найти среднее арифметическое: формула, примеры, 5–6 класс

Что такое среднее арифметическое — простыми словами

Допустим, за неделю получены оценки по математике: 4, 5, 3, 5, 4. Как одним числом описать, как прошла неделя? Именно для этого и нужно среднее арифметическое.

Идея простая: представить, что все числа «уравнялись» — стали одинаковыми, но их общая сумма не изменилась. То число, которое при этом получится, и есть среднее.

Ещё один повседневный пример — средняя температура за неделю. Если каждый день было: 18, 21, 20, 23, 19, 22, 17 градусов, то сразу не скажешь, какой была погода в целом. Среднее арифметическое даёт одну понятную цифру вместо семи.

По этой теме есть отдельный разбор: медиана в статистике.

Формула среднего арифметического и правило вычисления

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, пользуются одной формулой:

\[ M = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \]

Здесь:

• - \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) — сами числа (слагаемые),
• - \( n \) — количество этих чисел,
• - \( M \) — искомое среднее арифметическое.

Как найти среднее арифметическое чисел — алгоритм из двух шагов:

Важно: на сколько чисел делить, на столько и только. Частая ошибка — перепутать количество слагаемых.

Как найти среднее арифметическое двух чисел — пример с 5 и 12

Частный случай формулы — когда чисел ровно два. Найти среднее арифметическое двух чисел значит сложить их и разделить на 2:

\[ M = \frac{a_1 + a_2}{2} \]

Пример. Как найти среднее арифметическое чисел 5 и 12?

\[ M = \frac{5 + 12}{2} = \frac{17}{2} = 8{,}5 \]

Результат 8,5 — дробный, хотя оба исходных числа целые. Это нормально: среднее арифметическое двух и более чисел не обязано быть целым. Главное — что 8,5 находится строго между 5 и 12, а значит действительно «посередине».

Среднее арифметическое трёх и четырёх чисел — разбор задач

Алгоритм не меняется — меняется только делитель. Именно это делает формулу универсальной.

Пример 1. Среднее трёх чисел.

Найти среднее арифметическое трёх чисел: 8, 13, 6.

\[ M = \frac{8 + 13 + 6}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Проверка: 9 лежит между 6 и 13. Верно.

Пример 2. Среднее четырёх чисел.

Как найти среднее арифметическое 4 чисел: 15, 9, 11, 13?

\[ M = \frac{15 + 9 + 11 + 13}{4} = \frac{48}{4} = 12 \]

Задачи на среднее арифметическое — 5 класс

Задачи уровня 5 класса строятся на конкретных жизненных ситуациях. Как находить среднее арифметическое в 5 классе — разберём на примерах.

---

Задача 1. Оценки за контрольные.

За четверть написано три контрольные работы. Оценки: 4, 5, 3. Какая средняя оценка?

Решение:

\[ M = \frac{4 + 5 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Средняя оценка — 4.

---

Задача 2. Очки в игре.

За пять раундов игрок набрал: 120, 95, 110, 130, 100 очков. Найти среднее арифметическое число очков за раунд.

Решение:

\[ M = \frac{120 + 95 + 110 + 130 + 100}{5} = \frac{555}{5} = 111 \]

Среднее — 111 очков.

---

Задача 3. Рост учеников.

Рост пяти учеников (в см): 158, 162, 155, 170, 160. Найти среднее арифметическое число 5 класса по росту.

\[ M = \frac{158 + 162 + 155 + 170 + 160}{5} = \frac{805}{5} = 161 \]

Средний рост — 161 см.

Задачи на среднее арифметическое — 6 класс

В 6 классе встречаются задачи с дробями и обратные задачи — когда среднее известно, а одно из чисел нужно найти. Как находить среднее арифметическое чисел в 6 классе — ниже.

---

Задача 1. Среднее с дробями.

Температура воздуха в три дня: \(+3{,}5°\), \(-1{,}5°\), \(+6°\). Найти среднее арифметическое числа 6 класса — среднюю температуру.

\[ M = \frac{3{,}5 + (-1{,}5) + 6}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67° \]

---

Задача 2. Обратная задача (найти неизвестное число).

Среднее арифметическое двух чисел равно 7. Одно из чисел — 5. Найти второе.

Из формулы \( M = \dfrac{a_1 + a_2}{2} \) выразим неизвестное:

\[ a_2 = M \times 2 - a_1 = 7 \times 2 - 5 = 14 - 5 = 9 \]

Проверка: \( \dfrac{5 + 9}{2} = 7 \) ✓

---

Задача 3. Найти неизвестное при четырёх числах.

Среднее четырёх оценок равно 4. Три оценки известны: 3, 5, 4. Найти четвёртую.

\[ a_4 = M \times n - (a_1 + a_2 + a_3) = 4 \times 4 - (3 + 5 + 4) = 16 - 12 = 4 \]

Как найти отклонение от среднего арифметического

Когда среднее найдено, можно понять, насколько каждое число отличается от него. Это и есть отклонение: разность между конкретным значением и средним.

\[ d_i = a_i - M \]

Если \( d_i > 0 \) — число выше среднего, если \( d_i < 0 \) — ниже. Важное свойство: сумма всех отклонений всегда равна нулю.

Пример. Набор: 4, 7, 5, 8, 6. Найти отклонения от среднего арифметического.

Шаг 1. Среднее:

\[ M = \frac{4 + 7 + 5 + 8 + 6}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Шаг 2. Отклонения:

| Число \(a_i\) | Отклонение \(d_i = a_i - 6\) | |:---:|:---:| | 4 | −2 | | 7 | +1 | | 5 | −1 | | 8 | +2 | | 6 | 0 | | Сумма | 0 |

Сумма отклонений равна нулю — это всегда так, и это удобная проверка расчётов.

Знание отклонений помогает анализировать данные: например, понять, у кого из учеников результаты стабильны, а у кого сильно скачут от контрольной к контрольной.

---

По этой теме есть отдельный разбор: дисперсию и отклонения от среднего.

Частые вопросы

Как найти среднее арифметическое?

Нужно сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество. Формула: \( M = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) / n \). Например, для чисел 2, 6 и 10: \( M = (2+6+10)/3 = 6 \).

Как найти среднее арифметическое двух чисел?

Сложить оба числа и разделить на 2. Пример: среднее чисел 8 и 14 равно \( (8+14)/2 = 11 \). Результат может быть дробным — это нормально.

Как найти среднее арифметическое трёх чисел?

Алгоритм тот же, делитель — 3. Числа 5, 9, 7: \( M = (5+9+7)/3 = 21/3 = 7 \). Проверка: 7 лежит между 5 и 9.

Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?

Шаг 1 — записать все числа и посчитать их количество \( n \). Шаг 2 — найти сумму. Шаг 3 — разделить сумму на \( n \). Количество слагаемых может быть любым — формула не меняется.

Как найти отклонения от среднего арифметического?

Сначала найти среднее \( M \), затем из каждого числа вычесть это среднее: \( d_i = a_i - M \). Отклонения могут быть положительными, отрицательными или нулями. Их сумма всегда равна нулю.

Как находить среднее арифметическое чисел в 6 классе, если одно число неизвестно?

Если известно среднее \( M \) и все числа, кроме одного, нужно: умножить \( M \) на количество чисел — получить общую сумму, затем вычесть сумму известных чисел. Остаток и есть искомое число.

По этой теме есть отдельный разбор: задачах по математике 5–6 класс.