Квадратичная функция и её график: парабола и свойства

Что такое квадратичная функция: определение и формула

Квадратичная функция — это функция вида:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

где \( a \), \( b \), \( c \) — числовые коэффициенты, а \( a \neq 0 \). Условие \( a \neq 0 \) принципиально: без него слагаемое \( ax^2 \) исчезает и функция превращается в линейную \( y = bx + c \) — прямую. Именно наличие квадрата и делает функцию квадратичной.

Роль каждого коэффициента:

Коэффициент \( a \) — отвечает за форму параболы: направление ветвей и степень «сжатия». Это единственный коэффициент, которому нельзя быть равным нулю.

Коэффициент \( b \) — вместе с \( a \) задаёт положение оси симметрии. Сам по себе «горизонтального сдвига» не даёт — это частое заблуждение.

Коэффициент \( c \) — ордината точки пересечения графика с осью Oy. Подставляя \( x = 0 \), сразу получаем \( y = c \).

Принципиальное отличие от линейной функции: у прямой \( y = kx + b \) степень аргумента равна 1, поэтому её график прямолинеен. У квадратичной функции степень равна 2, и это даёт изогнутый график — параболу. Тема «квадратичная функция и ее график» — одна из центральных в курсе алгебры за 9 класс и ежегодно встречается на ОГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: линейной функции y = kx + b.

График квадратичной функции — парабола

График квадратичной функции — это парабола: симметричная кривая с одной вершиной и двумя ветвями, уходящими в бесконечность.

Направление ветвей — первое, что считывается с рисунка. Если парабола «улыбается» (открыта вверх), то \( a > 0 \). Если «грустит» (открыта вниз) — \( a < 0 \). Это правило работает мгновенно и без вычислений.

Влияние коэффициентов на положение параболы. Свободный член \( c \) — вертикальный сдвиг относительно параболы \( y = ax^2 + bx \): увеличение \( c \) поднимает всю кривую вверх, уменьшение — опускает. При \( c = 0 \) парабола проходит через начало координат.

Коэффициент \( b \) не даёт чистого горизонтального сдвига — он смещает ось симметрии по формуле \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \). Для наглядного описания горизонтального сдвига удобнее вершинная форма:

\[ y = a(x - h)^2 + k \]

Здесь сдвиг виден сразу: \( h \) — смещение вправо, \( k \) — смещение вверх. Вершина переезжает из начала координат в точку \( (h;\; k) \).

Квадратичная функция и ее график в алгебре изучаются именно через эти преобразования. Важно понимать: форму параболы задаёт \( a \), а её положение — пара \( (h,\; k) \) в вершинной форме или тройка \( (a, b, c) \) в стандартной.

Сдвиг в общем виде описывается формулой \( y = f(x - m) + n \): сдвиг на \( m \) вправо и на \( n \) вверх.

Свойства квадратичной функции и её график — 9 класс

По программе 9 класса требуется знать полный набор свойств. Ниже — компактная сводка-конспект.

Квадратичная функция её график и свойства для 9 класса — обязательная тема в билетах ОГЭ. Свойства нужно знать наизусть, иначе на экзамене уйдёт лишнее время на повторный вывод.

Особо стоит обратить внимание на область значений: она всегда ограничена снизу (при \( a > 0 \)) или сверху (при \( a < 0 \)), в отличие от линейной функции, у которой \( E(y) = \mathbb{R} \). Именно это свойство часто проверяется в задачах на квадратичную функцию и ее график для 9 класса.

Нули функции (точки пересечения с осью Ox) могут отсутствовать, быть одним или двумя в зависимости от знака дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D > 0 \Rightarrow \text{два нуля}, \quad D = 0 \Rightarrow \text{один нуль}, \quad D < 0 \Rightarrow \text{нулей нет} \]

Как построить параболу: пошаговый конспект-алгоритм

Этот алгоритм одинаково удобен как конспект к уроку и как шпаргалка для презентации.

Пример. Построим параболу \( y = x^2 - 4x + 3 \).

\[ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_0 = 4 - 8 + 3 = -1 \]

Вершина \( (2;\; -1) \), ось симметрии \( x = 2 \), ветви вверх (\( a = 1 > 0 \)).

Пересечение с Oy: \( c = 3 \), точка \( (0;\; 3) \) и симметричная ей \( (4;\; 3) \).

Нули: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1,\; x_2 = 3 \).

Этого набора точек достаточно для аккуратного построения. Конспект квадратичной функции и её графика по этому алгоритму полностью закрывает требования программы.

Восстановление коэффициентов параболы по графику (задания 1, 3, 4 ОГЭ)

На ОГЭ часто даётся готовый рисунок параболы, и нужно найти коэффициенты \( a \), \( b \), \( c \) или вычислить значение функции в точке. Два устойчивых метода.

Метод 1. Через вершину

Пример. Вершина параболы в точке \( (1;\; -4) \), график проходит через \( (3;\; 0) \).

\[ y = a(x-1)^2 - 4 \] \[ 0 = a(3-1)^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1 \] \[ y = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3 \]

Значит \( a = 1,\; b = -2,\; c = -3 \).

Метод 2. Подстановка контрольных точек

Типовые форматы заданий ОГЭ. В задачах с номерами 1, 3, 4 встречаются:

• - по готовому графику определить знаки \( a \), \( b \), \( c \) (задание 1);
• - найти значение \( f(x_0) \) при заданном \( x_0 \) (задание 3);
• - сопоставить несколько графиков с формулами или уравнениями (задание 4).

Знаки коэффициентов с рисунка:

Знак \( a \): ветви вверх → \( a > 0 \), ветви вниз → \( a < 0 \).

Знак \( c \): парабола пересекает ось Oy выше нуля → \( c > 0 \), ниже → \( c < 0 \), в начале координат → \( c = 0 \).

Знак \( b \): используют соотношение \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \). Если вершина правее оси Oy (\( x_0 > 0 \)) при \( a > 0 \), то \( b < 0 \). Если вершина левее (\( x_0 < 0 \)) при \( a > 0 \), то \( b > 0 \).

Задания и тренажёр: квадратичная функция и её график

Подборка для самопроверки. Подходит как тренажёр перед экзаменом — все задания снабжены ответами.

Блок 1. Соотнести график с формулой

| График | Ключевые признаки | Формула | |--------|------------------|---------| | А: ветви вверх, вершина \((2;\; -1)\) | \( a > 0 \), \( x_0 = 2 \) | \( y = (x-2)^2 - 1 \) | | Б: ветви вниз, пересекает Oy в \((0;\; 3)\) | \( a < 0 \), \( c = 3 \) | \( y = -x^2 + 3 \) | | В: ветви вверх, касается оси Ox | \( a > 0 \), \( D = 0 \) | \( y = x^2 - 4x + 4 \) | | Г: ветви вниз, нули \( x = -1 \) и \( x = 3 \) | \( a < 0 \), два корня | \( y = -(x+1)(x-3) \) |

Блок 2. Определить знаки коэффициентов по рисунку

Алгоритм:

1. 1. Знак \( a \): ветви вверх → «\(+\)», вниз → «\(-\)».
2. 2. Знак \( c \): смотрим на точку пересечения с Oy — выше нуля → «\(+\)», ниже → «\(-\)».
3. 3. Знак \( b \): если ось симметрии справа от Oy и \( a > 0 \), то \( x_0 > 0 \Rightarrow b < 0 \).

Блок 3. Найти вторую точку пересечения параболы с прямой

Дано: парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \) и прямая \( y = x - 1 \), первая точка пересечения \( A(1;\; 0) \). Найти вторую.

\[ x^2 - 3x + 2 = x - 1 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \). Так как \( x_1 = 1 \), то \( x_2 = 3 \). Ордината: \( y = 3 - 1 = 2 \).

Вторая точка — \( B(3;\; 2) \).

Блок 4. Дополнительные задания

1. 1. Найти вершину параболы \( y = 2x^2 - 8x + 5 \).

Ответ: \( x_0 = 2,\; y_0 = -3 \), вершина \( (2;\; -3) \).

1. 2. При каких \( x \) парабола \( y = -x^2 + 6x - 5 \) принимает положительные значения?

Ответ: при \( x \in (1;\; 5) \).

1. 3. Пересекает ли парабола \( y = x^2 + x + 1 \) ось Ox?

Ответ: нет — \( D = 1 - 4 = -3 < 0 \), при \( a > 0 \) вся парабола выше оси Ox.

Типичные ошибки при работе с параболой — как не потерять баллы

Ошибка 1 подробнее. Часто пишут «вершина в точке \( (c;\; \ldots) \)». Это неверно. Точка \( (0;\; c) \) — пересечение с осью Oy. Вершина же находится в точке \( \left(-\dfrac{b}{2a};\; c - \dfrac{b^2}{4a}\right) \) — совсем другие координаты.

Ошибка 2 подробнее. Парабола \( y = (x - 3)^2 \) сдвинута на 3 вправо — вершина при \( x = 3 \). Парабола \( y = x^2 + 3 \) сдвинута на 3 вверх. Внешне формулы похожи, но смысл разный: в первом случае изменён аргумент, во втором — значение функции.

Ошибка 3 подробнее. Если одна точка пересечения известна, не нужно раскрывать скобки заново. Например, уравнение \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) имеет известный корень \( x_1 = 1 \). По теореме Виета \( x_1 + x_2 = 4 \), значит \( x_2 = 3 \) — один шаг без дискриминанта.

Частые вопросы

Что такое квадратичная функция и чем она отличается от линейной?

Квадратичная функция — это \( y = ax^2 + bx + c \) при \( a \neq 0 \). Ключевое отличие от линейной \( y = kx + b \): наличие слагаемого \( ax^2 \), из-за которого степень аргумента равна 2, а график превращается из прямой в параболу. У линейной функции нет ни вершины, ни осей симметрии, ни минимума или максимума.

Как найти вершину параболы по формуле?

Абсцисса вершины: \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \). Ординату находят подстановкой: \( y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \). Если парабола записана в вершинной форме \( y = a(x - h)^2 + k \), вершина \( (h;\; k) \) видна немедленно без вычислений.

Что означает знак коэффициента \( a \) в квадратичной функции?

Знак \( a \) определяет направление ветвей: \( a > 0 \) — ветви вверх, функция имеет минимум; \( a < 0 \) — ветви вниз, функция имеет максимум. Модуль \( |a| \) влияет на ширину: чем он больше, тем уже парабола.

Как по графику параболы определить знаки коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \)?

Знак \( a \): по направлению ветвей. Знак \( c \): по точке пересечения с осью Oy (выше нуля → \( c > 0 \), ниже → \( c < 0 \)). Знак \( b \): через ось симметрии — если при \( a > 0 \) ось симметрии правее оси Oy, то \( x_0 > 0 \), откуда из \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \) следует \( b < 0 \).

Как сдвинуть параболу по горизонтали и вертикали?

Вертикальный сдвиг на \( n \) единиц вверх: прибавить \( n \) к формуле, то есть перейти к \( y = ax^2 + bx + c + n \). Горизонтальный сдвиг на \( m \) единиц вправо: заменить \( x \) на \( x - m \). В вершинной форме оба сдвига видны сразу: \( y = a(x - m)^2 + n \) — вершина в точке \( (m;\; n) \).

По этой теме есть отдельный разбор: решить квадратное уравнение через дискриминант.

По этой теме есть отдельный разбор: разложить квадратный трёхчлен на множители.

По этой теме есть отдельный разбор: метод интервалов для квадратных неравенств.