Натуральный логарифм ln: определение, формулы и отличие от lg

Все три блока исправлены. Вот полный файл:

---

`markdown --- title: Натуральный логарифм ln: определение, формулы и отличие от lg description: Натуральный логарифм ln с основанием e и десятичный lg с основанием 10 — формулы записи, отличия от log, производная и применение в задачах ЕГЭ и ОГЭ. slug: naturalnyj-logarifm keywords: [натуральный логарифм, десятичный логарифм, производная натурального логарифма, основание натурального логарифма, функция натурального логарифма, десятичные и натуральные логарифмы, натуральный логарифм числа] author: Алмаз date: 2026-08-04 cluster: logarifmy ---

Среди всех логарифмов два встречаются чаще остальных: натуральный логарифм \(\ln\) с основанием \(e \approx 2{,}718\) и десятичный логарифм \(\lg\) с основанием 10. Это не отдельные понятия, а частные случаи обычного логарифма: \(\ln x = \log_e x\), \(\lg x = \log_{10} x\). Натуральный применяется в математическом анализе и физике, десятичный удобен при работе со степенями числа 10. Оба регулярно встречаются в задачах ЕГЭ — в заданиях 6, 9 и 13 профильного уровня.

Что такое логарифм: определение и суть простыми словами

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число?

Определение логарифма:

\[ \log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \]

Суть логарифма легко уловить на примерах:

• - \(\log_2 8 = 3\), потому что \(2^3 = 8\)
• - \(\log_3 9 = 2\), потому что \(3^2 = 9\)
• - \(\log_{10} 1000 = 3\), потому что \(10^3 = 1000\)

Прямое следствие определения — основное логарифмическое тождество:

\[ a^{\log_a b} = b, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \]

Оно означает: если возвести основание в степень «сколько нужно», получится исходное число.

Натуральный логарифм ln: основание e, формула и обозначение

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию \(e\), где \(e \approx 2{,}718\) — математическая константа, число Эйлера. Основание натурального логарифма обозначается буквой \(e\) и является фиксированной константой, как число \(\pi\).

Вместо громоздкого \(\log_e x\) принято писать \(\ln x\). Это стандартное обозначение во всех учебниках. Натуральный логарифм формула:

\[ \ln x = \log_e x \iff e^{\ln x} = x, \quad x > 0 \]

Два значения, которые нужно знать наизусть — они следуют прямо из определения:

Почему \(e\) называют «натуральным» основанием? Число \(e\) возникает самопроизвольно во многих математических задачах — при описании непрерывного роста, вычислении производных, интегрировании. Именно поэтому логарифм по этому основанию оказался наиболее удобным в математическом анализе.

Десятичный логарифм lg: определение и отличие от натурального

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, обозначается \(\lg\):

\[ \lg x = \log_{10} x \]

Его главное удобство — прямая связь с десятичными степенями числа 10:

\[ \lg 10 = 1, \quad \lg 100 = 2, \quad \lg 1000 = 3, \quad \lg 0{,}001 = -3, \quad \lg 1 = 0 \]

В общем виде: \(\lg 10^n = n\). Логарифм числа и его запись в десятичных натуральных степенях оказываются напрямую связаны — это делает \(\lg\) удобным в инженерных расчётах.

Сравнение натуральных и десятичных логарифмов:

| Характеристика | \(\ln x\) | \(\lg x\) | |---|---|---| | Основание | \(e \approx 2{,}718\) | \(10\) | | Обозначение | \(\ln\) | \(\lg\) | | Значение при \(x = 1\) | \(0\) | \(0\) | | Значение при \(x = e\) | \(1\) | \(\approx 0{,}434\) | | Значение при \(x = 10\) | \(\approx 2{,}303\) | \(1\) | | Область применения | Анализ, физика | Инженерные расчёты, таблицы |

Десятичные и натуральные логарифмы связаны формулой перехода:

\[ \ln x = \ln 10 \cdot \lg x \approx 2{,}303 \cdot \lg x \]

Свойства натурального логарифма: произведение, степень и формула перехода

Все свойства логарифмов работают для любого основания — в том числе для \(\ln\) и \(\lg\). Вот ключевые свойства натурального логарифма:

Формула перехода позволяет выразить логарифм по основанию 2 через натуральный:

\[ \log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2} \approx \frac{\ln x}{0{,}693} \]

Это особенно полезно при вычислениях без калькулятора или при приведении разных логарифмов к единому основанию.

Логарифм натуральной степени \(\ln x^n = n\ln x\) — показатель степени просто выносится вперёд как множитель. Важно помнить: если \(x\) может быть отрицательным, а степень чётная, то правильная запись \(\ln x^2 = 2\ln|x|\).

Натуральный логарифм натурального логарифма x — выражение \(\ln(\ln x)\) означает последовательное применение функции дважды. Область определения: нужно, чтобы \(\ln x > 0\), то есть \(x > 1\). При вычислении сначала находят \(\ln x\), затем берут логарифм от результата.

Чему равен натуральный логарифм: ln 1, ln 2, ln 3, ln 5 и таблица значений

Таблица значений натурального логарифма числа для часто встречающихся аргументов:

| \(x\) | \(\ln x\) | Примечание | |---|---|---| | \(1\) | \(0\) | точное значение, \(e^0=1\) | | \(e \approx 2{,}718\) | \(1\) | точное значение | | \(2\) | \(\approx 0{,}693\) | стоит запомнить | | \(3\) | \(\approx 1{,}099\) | | | \(4\) | \(\approx 1{,}386\) | \(= 2\ln 2\) | | \(5\) | \(\approx 1{,}609\) | \(= \ln 10 - \ln 2\) | | \(7\) | \(\approx 1{,}946\) | | | \(10\) | \(\approx 2{,}303\) | стоит запомнить | | \(e^2 \approx 7{,}389\) | \(2\) | точное значение |

Два значения натурального логарифма проще всего запомнить: \(\ln 2 \approx 0{,}693\) и \(\ln 10 \approx 2{,}303\). Остальные выводятся из них через свойства:

\[ \ln 4 = 2\ln 2 \approx 1{,}386, \qquad \ln 5 = \ln\frac{10}{2} = \ln 10 - \ln 2 \approx 1{,}610 \]

Как оценить значение натурального логарифма без калькулятора: нужно найти соседние степени \(e\), между которыми лежит аргумент.

Поскольку \(e^0 = 1 < 2 < e^1 \approx 2{,}718\), получаем \(0 < \ln 2 < 1\). Поскольку \(e^1 \approx 2{,}718 < 3 < e^2 \approx 7{,}4\), получаем \(1 < \ln 3 < 2\).

Чему равен натуральный логарифм 1 и e — это два опорных значения, от которых отсчитываются все оценки.

Функция натурального логарифма и её график

Функция натурального логарифма: \(y = \ln x\).

Основные характеристики:

• - Область определения: \(x > 0\) — логарифм определён только для положительных чисел
• - Область значений: \((-\infty;\, +\infty)\) — все вещественные числа
• - Монотонность: строго возрастает на всей области определения (основание \(e > 1\))
• - Пересечение с осью \(Ox\): точка \((1;\, 0)\), так как \(\ln 1 = 0\)
• - Ось \(Oy\) — вертикальная асимптота: при \(x \to 0^+\) функция стремится к \(-\infty\)
• - При \(x \to +\infty\): \(\ln x \to +\infty\), но растёт значительно медленнее любой степенной функции

На одной координатной плоскости график натурального логарифма и \(y = \lg x\) ведут себя похоже: оба проходят через точку \((1;\, 0)\) и возрастают при \(x > 0\). Отличие — крутизна подъёма. При \(x > 1\): \(\ln x > \lg x\), натуральный растёт быстрее. При \(0 < x < 1\): оба отрицательны, и \(\ln x < \lg x\).

Причина: чем меньше основание (при основании больше 1), тем круче растёт логарифмическая функция. Поскольку \(e \approx 2{,}718 < 10\), функция \(y = \ln x\) имеет более крутой подъём по сравнению с \(y = \lg x\).

Производная натурального логарифма: формула и примеры

Производная натурального логарифма — одна из базовых формул дифференцирования:

\[ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0 \]

По правилу дифференцирования сложной функции производная логарифма от \(f(x)\):

\[ (\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \]

Производная десятичного логарифма:

\[ (\lg x)' = \frac{1}{x \cdot \ln 10} \approx \frac{1}{2{,}303\, x} \]

Пример 1. Найти производную \(y = \ln(x^2 + 1)\):

\[ y' = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1} \]

Пример 2. Найти производную \(y = \ln(\sin x)\):

\[ y' = \frac{(\sin x)'}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} \]

Пример 3. Найти производную \(y = \ln(3x - 5)\) при \(x > \tfrac{5}{3}\):

\[ y' = \frac{3}{3x-5} \]

По этой теме есть отдельный разбор: производная функции.

Как найти натуральный логарифм: примеры вычисления

Пример 1. Вычислить \(e^{2\ln 3}\).

По свойству степени: \(2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9\). Затем по основному тождеству: \(e^{\ln 9} = 9\).

Пример 2 (тип задания 6 ЕГЭ). Упростить \(\ln e^3 + \ln\dfrac{1}{e}\):

\[ \ln e^3 + \ln e^{-1} = 3\ln e + (-1)\cdot\ln e = 3\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 2 \]

Пример 3. Найти натуральный логарифм для перевода \(\log_2 5\) в числовое значение.

По формуле перехода к новому основанию:

\[ \log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx \frac{1{,}609}{0{,}693} \approx 2{,}32 \]

Типичные ошибки при работе с ln и lg

Частые вопросы

Чем \(\ln\) отличается от \(\log\) без указания основания?

В российских учебниках \(\log\) без основания обычно означает \(\lg\) (десятичный логарифм, основание 10). В зарубежной литературе и в курсах математического анализа \(\log\) нередко обозначает натуральный. Чтобы не было путаницы, надёжнее всегда писать основание явно или использовать устоявшиеся сокращения: \(\ln\) для натурального, \(\lg\) для десятичного.

Можно ли вычислить \(\ln\) от отрицательного числа?

В вещественных числах — нет. Область допустимых значений логарифма требует строго положительного аргумента. Выражение \(\ln(-5)\) в школьной математике не определено, поэтому проверка ОДЗ — первый шаг при любой задаче с логарифмами.

Как перевести логарифм по основанию 2 в натуральный?

По формуле перехода к новому основанию: \(\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}\). Значение \(\ln 2 \approx 0{,}693\) удобно помнить наизусть — тогда любой логарифм по основанию 2 пересчитывается в два действия.

Почему в производной \(\ln x\) нет логарифма?

Производная натурального логарифма равна \(\dfrac{1}{x}\) — это факт из математического анализа, следствие определения числа \(e\). Именно потому, что \(e\) выбрано особым образом, производная \(\ln x\) получается настолько простой, без дополнительных множителей в виде \(\ln e\) или подобных.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое логарифм.

По этой теме есть отдельный разбор: логарифмическая функция и её свойства.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи с логарифмами на ЕГЭ. `

---

Исправлено: во всех трёх блоках :::formulas убраны \( и \) вокруг формул. Остальное тело статьи не тронуто.