Статья рассказывает, что такое логарифмическая функция, каковы её основные свойства и как выглядит её график. Вы узнаете о области определения, монотонности, асимптотах и типичных ошибках при работе с логарифмами. Также этот материал можно использовать как реферат логарифмическая функция ее свойство и графики.
Определение логарифмической функции
Логарифмическая функция это выражение вида \(y=\log_a x\), где основание \(a\) удовлетворяет условиям \(a>0,\ a\neq1\), а аргумент \(x\) строго положительно. По определению \(\log_a x=c\) тогда и только тогда, когда \(a^c=x\). Следовательно, функция является обратной к показательной \(y=a^x\) и существует только для положительных \(x\).
Опорные значения, которые сразу запоминаются: \[ \log_a 1=0,\qquad \log_a a=1,\qquad \log_a a^{k}=k\;(k\in\mathbb R). \]
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма состоит из трёх требований: основание положительно и не равно единице, подлогарифмическое выражение больше нуля. Первым делом в любой задаче проверяют именно эти условия.
По этой теме есть отдельный разбор: что такое логарифм простыми словами.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Свойства логарифмической функции
Область определения функции \(y=\log_a x\) — все положительные числа \((0;+\infty)\). Область значений — вся числовая прямая \((-\infty;+\infty)\). График пересекает ось \(Ox\) в точке \((1,0)\) и проходит через \((a,1)\).
В зависимости от основания функция меняет свою монотонность:
- - при \(a>1\) она строго возрастает;
- - при \(0<a<1\) строго убывает.
Вертикальная асимптота — прямая \(x=0\) (ось \(Оy\)), к которой график приближается, но никогда не касается.
Свойства логарифмов позволяют преобразовывать выражения: \[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a x^{p}=p\log_a x. \]
Эти тождества справедливы только при положительных аргументах; иначе запись теряет смысл.
График логарифмической функции
Для построения графика \(y=\log_a x\) достаточно отметить несколько опорных точек и учесть форму кривой.
Ключевые точки:
- - \((1,0)\) — всегда лежит на графике, потому что \(\log_a 1=0\);
- - \((a,1)\) — следует из \(\log_a a=1\);
- - \((a^{k},k)\) — произвольная степень основания.
Если \(a>1\), график поднимается слева направо, проходя через указанные точки и стремясь к \(-\infty\) при \(x\to0^{+}\). При \(0<a<1\) функция убывает: при росте \(x\) значение \(y\) становится всё более отрицательным, а при \(x\to0^{+}\) график уходит в \(+\infty\). В обоих случаях вертикальная асимптота — прямая \(x=0\).
Коротко
- \(\log_a 1 = 0\) и \(\log_a a = 1\) при любом допустимом основании.
- Основание \(>1\) — функция растёт, знак неравенства сохраняется; основание из \((0;1)\) — функция убывает, знак меняется.
- \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), но \(\log_a(x+y)\) не раскрывается.
- \(\log_a x^{2}=2\log_a|x|\) — не забывай модуль при чётной степени.
Монотонность логарифмической функция
Монотонность логарифмической функции напрямую связана со значением основания. Для удобства запишем условие существования: \(x>0\).
Если \(a>1\), то при \(x_1<x_2\) выполняется \(\log_a x_1<\log_a x_2\); функция возрастает. При этом знак неравенства между аргументами сохраняется после применения логарифма: \[ \log_a f > \log_a g \iff f>g>0. \]
Если \(0<a<1\), функция убывает: больший аргумент даёт меньший логарифм. Знак неравенства меняется на противоположный: \[ \log_a f > \log_a g \iff 0<f<g. \]
Эти правила позволяют решать логарифмические неравенства, не прибегая к экспонированию каждый раз.
Частые ошибки при работе с логарифмической функцией
При решении уравнений и неравенств со логарифмами студенты часто допускают одни и те же недочёты. Ниже перечислены типичные ошибки, правильный способ действий и объяснение, почему так делать нельзя.
Эти замечания помогут избежать потери корней и получить верный ответ уже на первом attempt.
Частые вопросы
Как быстро проверить, существует ли логарифм в данном выражении? Нужно убедиться, что основание больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение строго положительно. Если хотя бы одно условие нарушено — логарифм не существует.
Почему при основании меньше 1 знак неравенства меняется? Функция \(y=\log_a x\) при \(0<a<1\) строго убывает: при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Поэтому большее логарифмическое значение соответствует меньшему аргументу, и знак неравенства между аргументами меняется на противоположный.
Можно ли применять формулу \(\log_a x^{p}=p\log_a x\) к отрицательному \(x\)? Нет, эта формула справедлива только для \(x>0\). При чётной степени \(p\) нужно писать \(\log_a x^{p}=p\log_a|x|\), чтобы учесть возможность отрицательного основания степени.
Что делать, если в уравнении встречаются логарифмы с разными основаниями? Привести все логарифмы к одному основанию по формуле перехода \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\), затем решить полученное уравнение, не забыв проверить ОДЗ.
Как запомнить опорные значения логарифма? Запомнить три соотношения: \(\log_a 1=0\), \(\log_a a=1\), \(\log_a a^{k}=k\). Они следуют непосредственно из определения и позволяют быстро упрощать выражения.
--- Материал подготовлен для сайта репетитора almazmat.ru, ориентирован на подготовку к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
По этой теме есть отдельный разбор: логарифмы в ЕГЭ: свойства и задачи.
По этой теме есть отдельный разбор: задание 7 ЕГЭ по логарифмам, степени и тригонометрии.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.