Объёмы фигур: все формулы — цилиндр, конус, шар, пирамида, призма
Все формулы объёмов в одном справочнике: куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар. Плюс площади поверхностей и приёмы, как ничего не перепутать.
3 мин чтения
#Стереометрия#объёмы фигур все формулы#формулы объёмов#объём цилиндра формула#объём конуса формула
Полный справочник объёмов и площадей поверхностей: шесть тел, которые встречаются в школе и на ЕГЭ. Формулы сгруппированы так, чтобы их было легко запомнить парами.
Призма и цилиндр: основание × высота
У «прямых» тел одна логика: объём равен площади основания, умноженной на высоту.
Объём призмы
\[V = S_{\text{осн}}\cdot h\]
h — высота: расстояние между плоскостями оснований.
Куб
\[V = a^{3},\qquad S_{\text{полн}}=6a^{2}\]
Частный случай призмы: основание — квадрат, все рёбра равны a.
Прямоугольный параллелепипед
\[V = abc,\qquad S_{\text{полн}}=2(ab+bc+ca)\]
a, b, c — три измерения.
Объём цилиндра
\[V = \pi R^{2}h\]
«Призма с круглым основанием»: площадь круга πR² умножаем на высоту.
Поверхность цилиндра
\[S_{\text{бок}}=2\pi R h,\qquad S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)\]
Боковая поверхность — развёртка-прямоугольник со сторонами 2πR и h.
PDF бесплатно
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
P — периметр основания, a — апофема (высота боковой грани).
Шар и сфера
Объём шара
\[V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\]
Только радиус — больше ничего не нужно.
Площадь сферы
\[S = 4\pi R^{2}\]
Ровно четыре «больших круга».
Как всё это запомнить
Коротко
Два коэффициента решают всё: у призмы и цилиндра — 1, у пирамиды и конуса — 1/3.
Цилиндр и конус — это призма и пирамида с круглым основанием: подставь S = πR² в общие формулы.
В объёме шара куб радиуса (R³), в площади сферы — квадрат (R²): размерность подсказывает степень.
В справочных материалах профильного ЕГЭ формул объёмов НЕТ — там лишь несколько тригонометрических формул. Всё из этого справочника нужно знать наизусть.
Типовые ловушки в задачах
❌ ошибкаДан диаметр, подставили как радиус
✅ верноСначала R = d/2, потом в формулу
у шара ошибка в диаметре меняет объём в 8 раз
❌ ошибка«Увеличили ребро в 2 раза — объём в 2 раза»
✅ верноОбъём растёт как куб подобия: в 2³ = 8 раз
объём — трёхмерная величина
❌ ошибкаПерепутали высоту конуса и образующую
✅ верноh — перпендикуляр к основанию, l — наклонная
связаны теоремой Пифагора l² = R² + h²
❌ ошибкаВзяли полную поверхность вместо боковой
✅ верноВнимательно читать: «боковая» или «полная»
разница — площадь оснований
На ЕГЭ объёмы нужны в задании 3 (стереометрия в первой части) и в задаче 14. Площади плоских фигур собраны в отдельном справочнике — все формулы площадей.
Частые вопросы
Чему равен объём цилиндра? V = πR²h: площадь круглого основания, умноженная на высоту.
Как найти объём конуса? V = ⅓πR²h — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.
Какая формула у объёма шара? V = 4/3·πR³. Если в условии дан диаметр, сначала раздели его на два.
Дают ли формулы объёмов на ЕГЭ? Нет. В справочных материалах профильного уровня только несколько тригонометрических формул — ни объёмов, ни площадей там нет. На базовом уровне справка шире, но рассчитывать на неё тоже не стоит.
PDF бесплатно
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.