ЕГЭ математика

Площади фигур: все формулы — треугольник, трапеция, круг, ромб

Все формулы площадей в одном месте: треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, круг и сектор. С пояснениями, когда какую формулу применять.

3 мин чтения
#ЕГЭ математика#площади фигур все формулы#формулы площадей#площадь треугольника формула#площадь трапеции формула

Полный справочник формул площадей: от квадрата до кругового сектора. Каждая формула — с пояснением, что означают буквы и в какой ситуации она удобнее остальных. Пригодится с 8 класса до ЕГЭ.

Площадь треугольника: пять формул

Треугольник — единственная фигура, для которой надо знать сразу несколько формул: в задачах даны разные наборы элементов.

Через основание и высоту
\[S = \dfrac{1}{2}\,a\,h_a\]
a — сторона, \(h_a\) — высота, опущенная на неё. Базовая формула.
Через две стороны и угол
\[S = \dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\gamma\]
γ — угол между сторонами a и b.
Формула Герона
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\dfrac{a+b+c}{2}\]
Когда известны все три стороны; p — полупериметр.
Через вписанную окружность
\[S = p\,r\]
p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Через описанную окружность
\[S = \dfrac{abc}{4R}\]
R — радиус описанной окружности.

Частные случаи, которые экономят время:

Прямоугольный треугольник
\[S = \dfrac{1}{2}\,a\,b\]
Половина произведения катетов.
Правильный (равносторонний) треугольник
\[S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
a — сторона. Стоит выучить наизусть: встречается постоянно.

Как выбрать формулу: смотри, что дано. Стороны и угол между ними — синус; три стороны — Герон; радиус вписанной окружности — S = pr. Если в задаче есть высота — почти всегда быстрее всего база «полпроизведения основания на высоту».

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Площади четырёхугольников

Квадрат
\[S = a^{2}\]
a — сторона. Через диагональ: S = d²/2.
Прямоугольник
\[S = ab\]
Произведение соседних сторон.
Параллелограмм
\[S = a\,h_a = a\,b\,\sin\alpha\]
Через сторону и высоту к ней — или через две стороны и угол.
Ромб через диагонали
\[S = \dfrac{1}{2}\,d_1\,d_2\]
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому формула даёт точный результат.
Трапеция
\[S = \dfrac{a+b}{2}\,h\]
a и b — основания, h — высота. Полусумма оснований — это средняя линия, так что S = m·h.
Любой четырёхугольник через диагонали
\[S=\dfrac{1}{2}\,d_1 d_2\sin\varphi\]
φ — угол между диагоналями. Для ромба и квадрата φ = 90° — получаются формулы выше.

Площадь круга и его частей

Круг
\[S = \pi R^2\]
R — радиус. Не путай с длиной окружности C = 2πR.
Круговой сектор
\[S = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\,\pi R^2\]
α — центральный угол в градусах: сектор — это «доля» круга.

Как запомнить все формулы площадей

Коротко

  • Почти все формулы — это «основание × высота» с поправочным коэффициентом: у параллелограмма 1, у треугольника 1/2, у трапеции берётся средняя линия.
  • Формулы с синусом получаются из базовых: высота выражается как b·sin γ.
  • Ромб и квадрат — частные случаи: подставь перпендикулярные диагонали в общую формулу четырёхугольника.
  • На ЕГЭ в справочных материалах формул площадей НЕТ — их нужно знать наизусть.

На ЕГЭ площади встречаются в задании 1 (планиметрия) и в задаче 17. Разбор свойств треугольников с теоремами синусов и косинусов — в статье про треугольники.

Частые вопросы

Какие формулы площадей нужны на ЕГЭ? Все из этого справочника: треугольник (пять способов), параллелограмм, ромб, трапеция, круг и сектор. В справочных материалах на экзамене их не выдают.

Как найти площадь треугольника, если известны три стороны? По формуле Герона: посчитай полупериметр p, затем S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)).

Чем отличается площадь круга от длины окружности? Площадь S = πR² измеряется в квадратных единицах, длина C = 2πR — в линейных. В задачах их часто путают: проверяй по размерности.

Почему у ромба площадь — половина произведения диагоналей? Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а для любого четырёхугольника S = ½·d₁·d₂·sin φ. При φ = 90° синус равен единице.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности2026-07-13Как решать задачи на производную в ЕГЭ: шаг за шагом с примерами2026-07-07Логарифмические задачи ЕГЭ: как не запутаться в сложных примерах2026-07-07Логарифмы в ЕГЭ: свойства, уравнения и как решать2026-07-07