Первообразная сложной функции: таблица и замена переменной

Что такое первообразная: определение и формула

Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на некотором промежутке, если в каждой его точке выполняется равенство:

\[F'(x) = f(x)\]

Иными словами, первообразная — это функция, производная которой совпадает с исходной. Формула первообразной записывается через неопределённый интеграл:

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]

Константа \(C\) — произвольное действительное число. Она появляется потому, что производная любой константы равна нулю: добавление числа к первообразной не меняет её производную. Значит, у одной функции бесконечно много первообразных, и все они отличаются лишь на постоянное слагаемое.

Геометрический смысл. Каждое значение \(C\) задаёт отдельный график — семейство кривых, сдвинутых вертикально. Конкретную кривую из семейства выбирают по дополнительному условию: например, если известно, что \(F(x_0) = y_0\).

Неопределённый интеграл — не число, а множество функций. Определённый интеграл, напротив, — это число, равное приращению первообразной на отрезке:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]

При \(f(x) \ge 0\) это число численно равно площади криволинейной трапеции под графиком.

Таблица первообразных основных функций

Большинство задач решается прямым применением табличных формул вместе со свойством линейности. Вот сводная таблица первообразных:

Показатель степени при интегрировании увеличивается на 1 — в точности обратно дифференцированию. Знак минус у синуса — отдельная точка ошибок: первообразные таблица содержит уже с нужным знаком, чтобы при дифференцировании минусы сократились правильно.

Пример. \(\displaystyle\int (3x^2 - 5\cos x)\,dx\)

\[ 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5\sin x + C = x^3 - 5\sin x + C \]

Проверка дифференцированием: \((x^3 - 5\sin x)' = 3x^2 - 5\cos x\) — совпадает с подынтегральной функцией.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица первообразных функций.

Первообразная сложной функции: метод замены переменной

Когда аргумент функции — не просто \(x\), а выражение вида \(kx + b\), прямое использование таблицы первообразных даёт неверный результат. Здесь применяют метод замены переменной.

Ключевое правило для линейного аргумента. Если \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\), то:

\[ \int f(kx + b)\,dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C \]

Результат делится на коэффициент \(k\) — это следствие цепного правила дифференцирования.

Пример 1. \(\displaystyle\int \sin(3x + 1)\,dx\)

Внутренняя функция \(t = 3x + 1\), коэффициент \(k = 3\). По таблице \(\int \sin t\,dt = -\cos t + C\), делим на 3:

\[ \int \sin(3x + 1)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x + 1) + C \]

Проверка: \(\left(-\tfrac{1}{3}\cos(3x+1)\right)' = \tfrac{1}{3}\sin(3x+1)\cdot 3 = \sin(3x+1)\) ✓

Пример 2. \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx\)

\(t = 2x\), \(k = 2\). По таблице \(\int e^t\,dt = e^t + C\):

\[ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \]

Пример 3. \(\displaystyle\int (5x - 2)^4\,dx\)

\(t = 5x - 2\), \(k = 5\). Степенная формула даёт \(\dfrac{t^5}{5}\), делим на \(k = 5\):

\[ \int (5x - 2)^4\,dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^5}{5} + C = \frac{(5x-2)^5}{25} + C \]

Проверка: \(\left(\dfrac{(5x-2)^5}{25}\right)' = \dfrac{5(5x-2)^4 \cdot 5}{25} = (5x-2)^4\) ✓

Метод работает именно для линейного аргумента \(kx + b\). Для нелинейного (например, \(\sin(x^2)\)) нужна полная замена переменной с последующим вычислением дифференциала.

Как решать первообразную и интеграл: задачи ЕГЭ

В ЕГЭ по этой теме встречаются два основных типа задач.

Тип 1. Найти конкретную первообразную по начальному условию

Задача. Найти первообразную функции \(f(x) = 6x^2 - 4x + 3\), график которой проходит через точку \((1;\,5)\).

Тип 2. Вычислить определённый интеграл

Задача. Вычислить \(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx\).

\[ \int_1^3 (2x + 1)\,dx = \Big.(x^2 + x)\Big|_1^3 = 12 - 2 = 10 \]

Формула Ньютона–Лейбница — главный инструмент, когда нужно вычислить определённый интеграл. Ответ — всегда число, а не функция.

Площадь фигуры и физический смысл интеграла

Площадь криволинейной трапеции. Если \(f(x) \ge 0\) на \([a;\,b]\), площадь фигуры, ограниченной графиком \(y = f(x)\), осью \(Ox\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\):

\[ S = \int_a^b f(x)\,dx \]

Когда функция уходит ниже оси \(Ox\), интеграл становится отрицательным, а площадь равна его модулю.

Площадь между двумя кривыми. Если фигура ограничена графиками \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\), где \(f(x) \ge g(x)\) на \([a;\,b]\):

\[ S = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx \]

Пределы \(a\) и \(b\) — абсциссы точек пересечения кривых; их находят из уравнения \(f(x) = g(x)\). Порядок вычитания принципиален: верхняя функция минус нижняя, иначе площадь выйдет отрицательной.

Физический смысл. В задачах части 2 ЕГЭ встречается такой сюжет: дана функция скорости \(v(t)\), нужно найти путь за промежуток \([t_1;\,t_2]\). Путь — первообразная скорости:

\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt \]

По той же логике: работа — интеграл мощности, электрический заряд — интеграл силы тока. В каждом случае применяется формула Ньютона–Лейбница.

Типичные ошибки при нахождении первообразной

Частые вопросы

Как решать первообразную и интеграл?

Для неопределённого интеграла — раскладывают подынтегральную функцию на слагаемые, применяют таблицу первообразных и свойство линейности, добавляют константу \(C\). Для определённого интеграла — находят первообразную и вычисляют \(F(b) - F(a)\) по формуле Ньютона–Лейбница. В первом случае ответ — семейство функций, во втором — конкретное число.

Чем первообразная отличается от определённого интеграла?

Первообразная (неопределённый интеграл) — это семейство функций вида \(F(x) + C\). Определённый интеграл \(\int_a^b f(x)\,dx\) — число, равное приращению первообразной на отрезке. Одно понятие — функция, другое — число.

Как применять метод замены переменной к сложным функциям?

Когда аргумент линейный — вида \(kx + b\) — результат из таблицы делится на коэффициент \(k\). Например, \(\int e^{5x}\,dx = \tfrac{1}{5}e^{5x} + C\). Правильность проверяют дифференцированием: производная ответа должна совпасть с исходной подынтегральной функцией.

Как найти константу C, если задано начальное условие?

Нужно записать общий вид первообразной \(F(x) + C\), подставить координаты заданной точки \((x_0;\,y_0)\) и решить уравнение \(F(x_0) + C = y_0\) относительно \(C\). Получившееся число подставляют вместо \(C\) в общую формулу.

Почему нельзя просто взять первообразную sin(2x) как −cos(2x)?

Потому что \((-\cos 2x)' = 2\sin 2x \ne \sin 2x\). При аргументе \(2x\) цепное правило даёт лишний множитель \(2\), который нужно скомпенсировать делением. Правильная первообразная: \(-\tfrac{1}{2}\cos 2x + C\). Именно поэтому для сложной функции с линейным аргументом формула первообразной всегда содержит \(\tfrac{1}{k}\).

По этой теме есть отдельный разбор: чем первообразная отличается от интеграла.

По этой теме есть отдельный разбор: производной сложной функции.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.