Вот исправленная статья целиком:
--- title: Как найти производную сложной функции: правило цепочки description: Как найти производную сложной функции: правило цепочки, формула и таблица. Разбираем дроби, логарифмы и составные выражения — с примерами уровня ЕГЭ. slug: kak-najti-proizvodnuyu-slozhnoj-funkcii keywords: [как найти производную сложной функции, таблица производных сложных функций, как найти производную дроби, как найти производную от логарифма, как найти производную сложной функции формула, как найти производную функции f x] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: proizvodnaya ---
Стандартная таблица производных работает только для «чистых» функций вроде \(\sin x\) или \(x^n\). Как только аргумент усложняется — например, \(\sin(2x+1)\) или \((3x^2-1)^5\) — прямое применение таблицы даёт неверный ответ. Причина: перед нами сложная (составная) функция, и для неё нужен отдельный инструмент — правило цепочки. В этой статье разобраны определение, формула, таблица готовых результатов и типичные ошибки — всё на примерах уровня ЕГЭ.
Что такое производная сложной функции и как её найти
Функция \(h(x) = f(g(x))\) называется сложной (составной): одна функция стоит «внутри» другой. Здесь \(g(x)\) — внутренняя функция, \(f\) — внешняя.
Пример. \(h(x) = \sin(2x+1)\):
- - внешняя функция: \(f(t) = \sin t\)
- - внутренняя функция: \(g(x) = 2x+1\)
Простая функция \(\sin x\) дифференцируется напрямую: \((\sin x)' = \cos x\). Как только аргумент меняется с \(x\) на \(2x+1\), прямое применение той же формулы даёт ошибку — не учитывается «скорость изменения» внутренней функции.
По определению производная — это предел: \[ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \] Геометрически \(f'(x_0)\) равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке \(x_0\). Если \(s(t)\) — координата движущейся точки, то \(s'(t) = v(t)\) — мгновенная скорость. Но для составной конструкции \(f(g(x))\) одного определения мало — нужно знать, как найти производную сложной функции, не раскрывая скобок вручную: для этого и существует правило цепочки.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формула производной сложной функции: правило цепочки
Формула производной сложной функции — правило цепочки: \[ \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Читается так: взять производную внешней функции (оставив внутреннюю без изменений), затем умножить на производную внутренней функции.
- Правило цепочки: алгоритм
- Шаг 1. Выделить внешнюю функцию \(f\) и внутреннюю \(g(x)\).
- Шаг 2. Найти производную внешней: \(f'(t)\), не изменяя \(g(x)\).
- Шаг 3. Подставить \(g(x)\) вместо \(t\) — получить \(f'(g(x))\).
- Шаг 4. Умножить на \(g'(x)\) — производную внутренней.
- Шаг 5. Упростить выражение, если возможно.
Пример 1. \((\sin(2x+1))'\)
Внешняя: \(\sin t\), производная \(\cos t\). Внутренняя: \(g = 2x+1\), \(g' = 2\). \[ (\sin(2x+1))' = \cos(2x+1) \cdot 2 = 2\cos(2x+1) \]
Пример 2. \(\bigl((3x^2-1)^5\bigr)'\)
Внешняя: \(t^5\), производная \(5t^4\). Внутренняя: \(g = 3x^2-1\), \(g' = 6x\). \[ \bigl((3x^2-1)^5\bigr)' = 5(3x^2-1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2-1)^4 \]
Пример 3. \((e^{-x})'\)
Внешняя: \(e^t\), производная \(e^t\). Внутренняя: \(g = -x\), \(g' = -1\). \[ (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} \]
Частный случай: если внутренняя функция линейная \(kx+b\), то \(g' = k\), и получается \(\bigl(f(kx+b)\bigr)' = k \cdot f'(kx+b)\). Именно отсюда берётся коэффициент 2 в примере 1 и \(-1\) в примере 3.
Таблица производных сложных функций
Для каждой базовой формулы — её «сложная» версия: вместо \(x\) стоит произвольная функция \(u = u(x)\), а множитель \(u'\) появляется автоматически по правилу цепочки. Это и есть таблица производных сложных функций, которую удобно держать перед глазами при решении задач ЕГЭ.
Схема использования: определить внешнюю функцию, взять нужную строку из таблицы, подставить \(u\) и \(u'\).
По этой теме есть отдельный разбор: уравнение касательной к графику функции.
Как найти производную дроби: разбор примеров
Чтобы найти производную дроби, используется один из двух подходов.
Способ 1. Переписать \(\dfrac{1}{u}\) как \(u^{-1}\) и применить степенную формулу с правилом цепочки. Удобно, если числитель — константа.
Способ 2. Формула частного: \[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \] Удобна, когда числитель и знаменатель — оба нетривиальные функции от \(x\).
Пример 1. \(\left(\dfrac{1}{3x+2}\right)'\)
Перепишем: \((3x+2)^{-1}\). Степенная формула с правилом цепочки: \[ \bigl((3x+2)^{-1}\bigr)' = (-1)(3x+2)^{-2} \cdot 3 = -\dfrac{3}{(3x+2)^2} \]
Пример 2. \(\left(\dfrac{x^2+1}{2x-1}\right)'\)
\(u = x^2+1\), \(u' = 2x\); \(v = 2x-1\), \(v' = 2\): \[ \left(\dfrac{x^2+1}{2x-1}\right)' = \dfrac{2x(2x-1)-(x^2+1)\cdot 2}{(2x-1)^2} = \dfrac{4x^2-2x-2x^2-2}{(2x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-2}{(2x-1)^2} \]
Когда числитель — константа, первый способ быстрее. Когда оба части дроби содержат переменную — удобнее формула частного.
Как найти производную от логарифма: ln и \(log_a\)
Из таблицы сложных функций: \[ (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}, \qquad (\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \cdot \ln a} \] При \(a = e\) вторая формула совпадает с первой.
Пример 1. \(\bigl(\ln(x^2+1)\bigr)'\)
\(u = x^2+1\), \(u' = 2x\): \[ \bigl(\ln(x^2+1)\bigr)' = \dfrac{2x}{x^2+1} \]
Пример 2. \(\bigl(\log_2(\sin x)\bigr)'\)
\(u = \sin x\), \(u' = \cos x\): \[ \bigl(\log_2(\sin x)\bigr)' = \dfrac{\cos x}{\sin x \cdot \ln 2} \]
Самая частая ошибка при нахождении производной от логарифма — остановиться на \(\dfrac{1}{u}\) и забыть умножить на \(u'\). Корректная формула всегда содержит производную внутренней функции в числителе.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства логарифма.
Типичные ошибки при нахождении производной сложной функции
Коротко
- Видна вложенная конструкция \(f(g(x))\) — применяй правило цепочки.
- Каждый «слой» вложения добавляет один множитель в производную.
- Косинус: \((\cos u)' = -\sin u \cdot u'\) — минус обязателен.
- \((uv)' = u'v + uv'\) — это правило произведения, а не правило цепочки.
- При дифференцировании логарифма \((\ln u)'\): \(u'\) в числителе обязательна.
- Проверка: если внутренняя функция — просто \(x\), то \(u' = 1\) и формула совпадает с базовой таблицей.
Частые вопросы
Как найти производную сложной функции?
Применить правило цепочки: \(\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Сначала определить, что стоит «снаружи», а что «внутри». Взять производную внешней функции, оставив внутреннюю без изменений, — затем умножить на производную внутренней. Алгоритм работает для любой строки из таблицы: степенной, тригонометрической, показательной, логарифмической.
Как найти производную дроби?
Два способа: переписать \(\frac{1}{u}\) как \(u^{-1}\) и использовать степенную формулу с правилом цепочки — или применить формулу частного \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Первый способ удобен, если числитель — константа; второй — если числитель и знаменатель оба содержат переменную.
Как найти производную от логарифма?
По формуле \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) для натурального логарифма и \((\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}\) для произвольного основания \(a\). Производная внутренней функции \(u'\) всегда стоит в числителе — пропускать её нельзя.
Как найти производную функции f(x)?
Определить тип функции: простая (формула из таблицы напрямую), сумма или разность (дифференцировать по слагаемым), произведение (правило Лейбница \((uv)' = u'v + uv'\)), частное (формула \((u/v)'\)), сложная (правило цепочки). В большинстве задач ЕГЭ встречается комбинация: сначала разбивка по сумме, затем к каждому слагаемому — нужное правило.
Какова формула производной сложной функции?
\[ \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Словами: производная внешней функции, вычисленная в точке \(g(x)\), умноженная на производную внутренней функции. Это и есть как найти производную сложной функции — формула применяется ровно в этом порядке: сначала внешняя, потом внутренняя, результаты перемножаются.
По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.
По этой теме есть отдельный разбор: задачи на производную в ЕГЭ.
---
Что исправлено: в блоке :::formulas убраны обёртки \( и \) из всех 11 строк — TeX-код теперь без инлайн-делимитеров, как требует формат компонента. Остальное не тронуто.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.