Признаки делимости натуральных чисел: таблица и примеры

Что такое признаки делимости

Признаки делимости — правила, позволяющие определить, делится ли натуральное число на данный делитель, без выполнения самого деления. Тема входит в программу признаки делимости 5 класс и изучается как основа для работы с НОД, НОК и разложением на множители. Признаки делимости класс за классом расширяются: в 5 классе осваивают правила для 2, 3, 5, 9, 10; в 6–7 классах добавляют делители 4, 6, 8, 11; на олимпиадном уровне — делители 7 и составные делители.

Таблица признаков делимости

Доказательства основных признаков

Делимость на 2 и 5. Любое натуральное число записывается как \(N = 10k + d\), где \(d\) — последняя цифра. Поскольку \(10k\) делится и на 2, и на 5, делимость \(N\) определяется только цифрой \(d\): для 2 нужна чётная цифра, для 5 — цифра 0 или 5.

Делимость на 3 и 9. Пусть \(N = a_n \cdot 10^n + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0\). Так как \(10 \equiv 1 \pmod{9}\), то \(10^k \equiv 1 \pmod{9}\) при любом \(k \geq 0\), и \(N \equiv a_n + \ldots + a_1 + a_0 = S(N) \pmod{9}\). Делимость \(N\) на 9 (или 3) равносильна делимости суммы цифр \(S(N)\) на 9 (или 3).

Пример: число \(789\,012\) — сумма \(7+8+9+0+1+2=27\), кратна 9, поэтому делится и на 3, и на 9.

Делимость на 4. Так как \(100 = 4 \cdot 25\), все разряды, начиная с сотен, кратны 4. Достаточно проверить только последние две цифры.

FAQ

В чём разница между признаком делимости на 3 и на 9?

Оба признака работают через сумму цифр, но условия разные: для 3 сумма должна делиться на 3, для 9 — на 9. Из кратности суммы 9 следует кратность 3, но не наоборот. Число 24 имеет сумму цифр 6: делится на 3, но не на 9. Число 63 имеет сумму цифр 9: делится на 9 (и автоматически на 3).

Если число делится на 2 и на 3, обязательно ли оно делится на 6?

Да. Числа 2 и 3 взаимно просты (\(\gcd(2,3)=1\)), поэтому если \(2 \mid N\) и \(3 \mid N\) — то \(6 \mid N\). Это работает именно потому, что делители взаимно просты: для пары 2 и 4 аналогичный вывод уже неверен (\(12\) делится на 2 и на 4, но «делится на 8» из этого не следует).

Как работает признак делимости на 7 и зачем он нужен?

Алгоритм: отделить последнюю цифру \(d\), вычесть \(2d\) из оставшейся части, повторять до малого числа. Обоснование: \(N = 10k+d\) и \(10(k-2d) = N - 21d\); так как \(7 \mid 21d\), делимость \(N\) на 7 равносильна делимости \(k-2d\) на 7. В задачах ЕГЭ и ОГЭ этот признак встречается редко — он нужен на олимпиадах и при факторизации, когда стандартные признаки (на 2, 3, 5, 9) уже исчерпаны.

Как применять признаки делимости при решении задач ЕГЭ?

Основной инструмент — метод остатков: большое число заменяют его остатком по нужному модулю. Признаки делимости ускоряют факторизацию и анализ сумм цифр. В задачах на сумму или перестановку цифр используют инвариант \(N \equiv S(N) \pmod{9}\): можно переходить к сумме цифр без вычисления самого числа. Составные делители раскладывают на взаимно простые множители и проверяют каждый отдельно.

Почему число 1 не является простым?

По определению простое число \(p > 1\) имеет ровно два натуральных делителя: 1 и \(p\). У единицы только один делитель — она сама. Кроме формального определения, есть содержательная причина: если бы 1 считалось простым, основная теорема арифметики потеряла бы смысл — можно было бы записывать \(6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1^{100} \cdot 2 \cdot 3\), и единственность разложения пропала бы.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица простых чисел до 10 000.

По этой теме есть отдельный разбор: взаимно простые числа.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 19 ЕГЭ математика база.

По этой теме есть отдельный разбор: теория чисел в профильном ЕГЭ.