Задание 19 ЕГЭ математика база 2026: теория чисел и разбор

Ключевые свойства остатков и степеней:

---

Все типы задания 19 ЕГЭ математика база: классификация

Все типы задания 19 ЕГЭ математика база делятся на четыре группы по ведущему методу. Таблица помогает определить подход ещё при чтении условия.

| Тип | Сигнальные слова в условии | Ведущий метод | |-----|---------------------------|---------------| | 1. Остатки и делимость | «делится на», «остаток», «чётное», «нечётное» | Разбор по модулю, инвариант чётности | | 2. НОД и НОК | «НОД», «взаимно простые», «НОК», «общий делитель» | Алгоритм Евклида, каноническое разложение | | 3. Цифры числа | «сумма цифр», «двузначное», «приписать цифру», «переставить цифры» | Разрядная запись, признаки делимости | | 4. Среднее и суммы | «среднее арифметическое», «наибольшее/наименьшее значение» | Переход от среднего к сумме, оценка + пример |

В реальных вариантах типы нередко сочетаются — например, задача на цифры с проверкой делимости или задача на НОД с оценочным пунктом «в». Но ведущий метод всегда определяется по главному условию.

---

Тип 1. Задачи на остатки и делимость

Наиболее распространённый тип в задании 19 базового ЕГЭ. Условие содержит «доказать делимость», «найти остаток», «показать, что выражение делится на \( m \)».

Разбор по модулю — основной инструмент.

Таблицы остатков степеней (стоит знать наизусть):

| \( n \bmod 4 \) | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | \( n^2 \bmod 4 \) | 0 | 1 | 0 | 1 |

| \( n \bmod 3 \) | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | \( n^2 \bmod 3 \) | 0 | 1 | 1 |

Пример 1. Докажите, что \( n(n+1) \) делится на 2 для любого натурального \( n \).

Решение. \( n \) и \( n+1 \) — два последовательных целых. Одно из них чётное, поэтому произведение делится на 2. Доказано.

Через разбор по модулю 2:

• - \( n \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow n(n+1) \equiv 0 \cdot 1 = 0 \pmod{2} \).
• - \( n \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow n+1 \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow n(n+1) \equiv 1 \cdot 0 = 0 \pmod{2} \).

Пример 2. Докажите, что \( n^3 - n \) делится на 6 для любого натурального \( n \).

Решение. \( n^3 - n = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \) — произведение трёх последовательных целых чисел.

• - Среди трёх подряд идущих чисел одно кратно 3, значит \( 3 \mid (n-1)n(n+1) \).
• - Среди трёх подряд идущих чисел хотя бы одно чётное, значит \( 2 \mid (n-1)n(n+1) \).
• - Так как \( \gcd(2,3)=1 \), имеем \( 6 \mid (n-1)n(n+1) \). Доказано.

Малая теорема Ферма (\( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \) при простом \( p \nmid a \)) полезна для нахождения остатков больших степеней, но для базового ЕГЭ не обязательна: те же задачи решаются циклическим перебором остатков.

---

Тип 2. Задачи на НОД и НОК

Задачи на НОД встречаются в пунктах «а» и «б». Типичные формулировки: найти НОД двух чисел, установить взаимную простоту, применить связь \( \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b) = ab \).

Алгоритм Евклида — самый быстрый способ найти НОД без разложения на множители:

Пример 1. Найти \( \gcd(180, 48) \).

\[ \gcd(180, 48) = \gcd(48, 36) = \gcd(36, 12) = \gcd(12, 0) = 12 \]

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 360 и 252 через каноническое разложение.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5, \quad 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \]

\[ \gcd(360, 252) = 2^2 \cdot 3^2 = 36, \quad \operatorname{lcm}(360, 252) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520 \]

Проверка: \( 36 \cdot 2520 = 90720 = 360 \cdot 252 \). ✓

Пример 3. При каких натуральных \( n \) числа \( n+6 \) и \( n+10 \) взаимно просты?

Решение. Пусть \( d = \gcd(n+6,\, n+10) \). Тогда \( d \mid (n+10)-(n+6)=4 \), значит \( d \in \{1,2,4\} \).

Если \( n \) нечётное: \( n+6 \) нечётное (нечётное + чётное), 2 не делит \( n+6 \), поэтому \( d=1 \). Числа взаимно просты.

Если \( n \) чётное: \( n+6 \) и \( n+10 \) оба чётные, \( d \ge 2 \). Числа не взаимно просты.

Ответ: числа взаимно просты тогда и только тогда, когда \( n \) нечётное.

Шаблон для задачи «найти НОД выражения при всех натуральных \( n \)»: пусть \( d = \gcd(f(n), g(n)) \). Тогда \( d \) делит любую целочисленную линейную комбинацию \( f(n) \) и \( g(n) \). Подбором такой комбинации получают ограничение на \( d \), затем проверяют конкретным \( n \).

---

Тип 3. Задачи на цифры числа и разрядную запись

Условие содержит описание числа через цифры: «двузначное, у которого сумма цифр равна...», «приписать цифру справа», «переставить цифры местами». Главный приём — перейти от словесного описания к алгебраическому выражению через разрядную запись.

Двузначное число: \( N = \overline{ab} = 10a + b \), где \( 1 \le a \le 9 \), \( 0 \le b \le 9 \).

Трёхзначное: \( N = \overline{abc} = 100a + 10b + c \).

Приписывание цифры \( c \) справа к числу \( N \): результат равен \( 10N + c \).

Это следует из того, что \( 10 \equiv 1 \pmod{9} \), поэтому \( a_i \cdot 10^i \equiv a_i \pmod{9} \) для каждого разряда, и сумма разрядов совпадает с суммой цифр по модулю 9.

Пример 1. Докажите, что сумма двузначного числа и числа, полученного перестановкой его цифр, делится на 11.

Решение. Пусть \( N_1 = 10a + b \), переставленное \( N_2 = 10b + a \).

\[ N_1 + N_2 = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) \]

Сумма делится на 11 при любых цифрах. Доказано.

Пример 2. Найдите все двузначные числа с суммой цифр, равной 15.

Решение. \( N = 10a + b \), \( a + b = 15 \). При \( a \le 9 \) и \( b \le 9 \): \( a = 6, b = 9 \); \( a = 7, b = 8 \); \( a = 8, b = 7 \); \( a = 9, b = 6 \). Числа: 69, 78, 87, 96. Все делятся на 3 (сумма цифр 15 кратна 3), но не на 9 (15 не кратно 9).

---

Тип 4. Задачи на среднее арифметическое и суммы

Задачи этого типа часто встречаются в пункте «в». Условие: «среднее набора из \( n \) чисел равно \( m \)», «найдите наибольшее/наименьшее возможное значение». Ключевой переход: условие на среднее эквивалентно условию на сумму, с которой работать удобнее.

Пример 1. Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 5. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего элемента.

Решение. Сумма = \( 5 \cdot 5 = 25 \). Пусть наибольший элемент равен \( M \). Остальные четыре — различные натуральные, все меньше \( M \). Их минимально возможная сумма (числа 1, 2, 3, 4) равна 10. Тогда:

\[ M + 10 \le 25 \implies M \le 15 \]

Пример: \(\{1, 2, 3, 4, 15\}\), сумма = 25, среднее = 5. ✓ Наибольшее значение равно 15.

Пример 2. Найдите наибольшее количество различных натуральных чисел с суммой 20.

Оценка. Наименьшая сумма \( k \) различных натуральных: \( \frac{k(k+1)}{2} \). Нужно \( \frac{k(k+1)}{2} \le 20 \):

• - \( k = 5 \): \( 15 \le 20 \). ✓
• - \( k = 6 \): \( 21 > 20 \). ✗

Шести и более различных натуральных чисел с суммой 20 не существует.

Пример. \(\{1, 2, 3, 4, 10\}\): сумма = 20, 5 чисел. ✓ Ответ: 5.

---

Как решать задание 19 ЕГЭ база: пошаговый алгоритм

Универсальный чек-лист для любого типа задания 19 базового ЕГЭ по математике.

Как оформить пункт «в» — схема «оценка + пример»:

Ключевое правило, которое следует из любого разбора задания 19 ЕГЭ математика база 2026: один пример без доказательства оценки — неполный ответ. Доказательство без примера — тоже. Нужны оба шага.

---

Разбор задания 19 ЕГЭ база 2026: пункт «в» и оценочные задачи

Три задачи, характерные для вариантов 2025–2026, с акцентом на пункт «в».

Задача 1. Среднее пяти чисел.

Условие. Пять различных натуральных чисел имеют среднее, равное 6. Найдите наибольшее значение, которое может принимать наибольший элемент набора.

Пункт «а». Сумма = \( 6 \cdot 5 = 30 \). Пример: \{1, 2, 3, 4, 20\}, среднее = 6. ✓

Пункт «б». Наибольший элемент = 18; сумма остальных четырёх: \( 30 - 18 = 12 \). Различные натуральные < 18 с суммой 12: \{1, 2, 3, 6\}. Набор: \{1, 2, 3, 6, 18\}. ✓

Пункт «в». Полное решение.

Сумма пяти чисел = 30. Пусть наибольший элемент — \( M \). Остальные четыре — различные натуральные, все меньше \( M \). Минимально возможная их сумма — при выборе 1, 2, 3, 4 — равна 10. Тогда:

\[ M + 10 \le 30 \implies M \le 20 \]

Пример: \(\{1, 2, 3, 4, 20\}\), сумма = 30, среднее = 6, наибольший элемент = 20. ✓

Оценка и пример совпали. Наибольшее значение равно 20.

---

Задача 2. Делимость на 4.

Условие (пункт «в»). При каких натуральных \( n \) выражение \( n^2 + 3n + 2 \) делится на 4?

Решение. \( n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2) \) — произведение двух последовательных натуральных. Разбор по остаткам \( n \pmod{4} \):

| \( n \bmod 4 \) | \( (n+1) \bmod 4 \) | \( (n+2) \bmod 4 \) | Произведение \(\bmod 4\) | |---|---|---|---| | 0 | 1 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 3 | 6 ≡ 2 | | 2 | 3 | 0 | 0 ✓ | | 3 | 0 | 1 | 0 ✓ |

Делится на 4 тогда и только тогда, когда \( n \equiv 2 \pmod{4} \) или \( n \equiv 3 \pmod{4} \) — то есть при нечётном \( n \) или при \( n \) вида \( 4k+2 \).

---

Задача 3. Оценка количества элементов.

Условие (пункт «в»). Докажите, что не существует набора из шести различных натуральных чисел с суммой 15.

Решение. Наименьшая сумма шести различных натуральных чисел:

\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 > 15 \]

Любые шесть различных натуральных дают сумму не менее 21. Набор с суммой 15 не существует. Доказано.

---

Типичные ошибки в задании 19 ЕГЭ математика база

Семь ошибок, которые встречаются при решении задания 19 базового ЕГЭ по математике, с объяснением и контрпримером.

---

Частые вопросы

Задание 19 ЕГЭ математика база — как решать?

Сначала определить тип задачи по сигнальным словам — остатки, НОД, цифры или среднее. Затем выбрать метод: разбор по модулю, алгоритм Евклида, разрядная запись или переход от среднего к сумме. Пункты «а» и «б» решать вычислением или подбором. Для «в» — обязательно доказать оценку и привести конкретный пример достижения границы.

Сколько первичных баллов даёт задание 19 на базовом ЕГЭ по математике?

Максимум 3 первичных балла — по 1 за каждый из пунктов «а», «б» и «в». Баллы за пункты начисляются независимо: верно решённые «а» и «б» дают 2 балла, даже если «в» не решено.

Чем пункт «в» в задании 19 отличается от пунктов «а» и «б»?

Пункты «а» и «б» — вычислительные: достаточно числового ответа или краткого расчёта. Пункт «в» требует полного математического обоснования: доказательство оценки плюс конкретный пример. Только пример без оценки или только оценка без примера — оба варианта неполные.

Нужно ли знать теорему Ферма для задания 19 базового ЕГЭ?

Нет. Малая теорема Ферма ускоряет нахождение остатков больших степеней, но те же задачи решаются циклическим перебором остатков. Для базового ЕГЭ знание теоремы даёт скорость, а не доступ к принципиально новым методам.

Как найти НОД двух чисел быстро без разложения на множители?

Алгоритмом Евклида: \( \gcd(a,b) = \gcd(b,\, a \bmod b) \), повторять пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток — искомый НОД. Для чисел до 1000 обычно достаточно 3–5 шагов.

Можно ли получить ноль баллов за задание 19, если решить только «а» и «б»?

Нет. Баллы за пункты начисляются независимо друг от друга. Верно решённые «а» и «б» дают 2 первичных балла независимо от результата по «в».

По этой теме есть отдельный разбор: теорию чисел в профильном ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: критерии оценивания ЕГЭ математика база 2026.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 18 ЕГЭ математика база.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 20 ЕГЭ математика база.