Объясняем, чем простые числа отличаются от составных и что значит «взаимно простые». Приводим готовые таблицы для ЕГЭ/ОГЭ и разбираем типичные ошибки — включая самую частую: считать 1 простым числом.
Простое и составное число: определения и «первичные числа»
Натуральное число \( p > 1 \) называется простым, если у него ровно два натуральных делителя: единица и само \( p \). Натуральное число больше единицы, у которого делителей больше двух, называется составным.
Термин первичные числа встречается в старых учебниках как синоним слова «простые» — по содержанию понятия идентичны.
Число 1 не является ни простым, ни составным. Это не условность, а следствие основной теоремы арифметики: если включить 1 в список простых, каноническое разложение теряет единственность (\( 6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1^{100} \cdot 2 \cdot 3 \) и так далее). Подробный разбор этой ошибки — в последнем разделе.
Наименьшее простое число — \( 2 \), единственное чётное простое. Все остальные простые нечётны.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Таблица простых и составных чисел до 100
Классический способ найти все простые до \( N \) — решето Эратосфена: выписать числа от 2 до \( N \) и последовательно вычёркивать кратные каждого простого, начиная с двойки.
Ниже простые и составные числа сведены в таблицу: простые выделены жирным, единица обозначена курсивом как число, не входящее ни в одну категорию.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
Простых чисел от 1 до 100 ровно 25.
Несколько составных чисел с каноническим разложением — чтобы был понятен контраст:
| Число | Разложение | Число делителей \( \tau(n) \) | |:---:|:---:|:---:| | \( 12 \) | \( 2^2 \cdot 3 \) | \( (2+1)(1+1) = 6 \) | | \( 36 \) | \( 2^2 \cdot 3^2 \) | \( (2+1)(2+1) = 9 \) | | \( 60 \) | \( 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \) | \( (2+1)(1+1)(1+1) = 12 \) | | \( 100 \) | \( 2^2 \cdot 5^2 \) | \( (2+1)(2+1) = 9 \) |
Практическое правило: чтобы проверить простоту числа \( n \), достаточно перебрать делители до \( \sqrt{n} \). Для \( n = 97 \): \( \sqrt{97} < 10 \), проверяем делимость на 2, 3, 5, 7 — ни одно не делит, значит 97 простое.
По этой теме есть отдельный разбор: расширенная таблица простых чисел до 10 000.
Простые числа-близнецы: определение и таблица пар
Простые числа-близнецы — пара простых чисел, отличающихся ровно на 2. Например: \( (11, 13) \), \( (29, 31) \).
Таблица первых 15 пар простых чисел-близнецов:
| № | Пара | № | Пара | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 1 | (3, 5) | 9 | (101, 103) | | 2 | (5, 7) | 10 | (107, 109) | | 3 | (11, 13) | 11 | (137, 139) | | 4 | (17, 19) | 12 | (149, 151) | | 5 | (29, 31) | 13 | (179, 181) | | 6 | (41, 43) | 14 | (191, 193) | | 7 | (59, 61) | 15 | (197, 199) | | 8 | (71, 73) | | |
Единственная «тройка» простых, идущих с шагом 2 — это \( (3, 5, 7) \). Среди трёх нечётных чисел вида \( n,\, n+2,\, n+4 \) одно всегда кратно трём, поэтому при \( n > 3 \) одно из них составное.
Вопрос о том, конечно ли множество пар близнецов или бесконечно, остаётся открытым — это одна из самых известных нерешённых гипотез теории чисел. Для задач ЕГЭ/ОГЭ достаточно знать определение и уметь выписать несколько пар из таблицы.
Взаимно простые числа: определение и таблица примеров
Два натуральных числа \( a \) и \( b \) называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице: \( \gcd(a,\, b) = 1 \).
Главное, что сбивает с толку: взаимно простые числа не обязаны быть простыми сами по себе. Числа 8 и 9 — оба составные, но общих делителей кроме 1 у них нет: \( \gcd(8, 9) = 1 \).
Таблица взаимно простых чисел, включающая составные:
| \( a \) | \( b \) | \( \gcd(a,b) \) | Оба простые? | Взаимно просты? | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 3 | 7 | 1 | Да | Да | | 4 | 9 | 1 | Нет | Да | | 8 | 9 | 1 | Нет | Да | | 14 | 15 | 1 | Нет | Да | | 25 | 36 | 1 | Нет | Да | | 10 | 21 | 1 | Нет | Да | | 6 | 10 | 2 | Нет | Нет | | 12 | 18 | 6 | Нет | Нет |
Полезное следствие: дробь \( \dfrac{a}{b} \) несократима тогда и только тогда, когда \( a \) и \( b \) взаимно просты.
Коротко
- Взаимно простые ↔ НОД = 1 ↔ дробь a/b несократима
- Любые два соседних натуральных числа взаимно просты: НОД(n, n+1) = 1
- Если НОД(a, b) = d, то числа a/d и b/d взаимно просты
- Для положительных a, b: НОД(a,b) · НОК(a,b) = a · b
Как проверить взаимную простоту: алгоритм Евклида
Самый надёжный способ вычислить НОД — алгоритм Евклида: последовательно заменять пару \( (a, b) \) на \( (b,\ a \bmod b) \), пока остаток не обратится в ноль. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
- Алгоритм Евклида: НОД(56, 21)
- Шаг 1: 56 = 21 · 2 + 14, остаток 14
- Шаг 2: 21 = 14 · 1 + 7, остаток 7
- Шаг 3: 14 = 7 · 2 + 0, остаток 0
- Результат: НОД(56, 21) = 7 — числа не взаимно просты
- Алгоритм Евклида: НОД(35, 24)
- Шаг 1: 35 = 24 · 1 + 11, остаток 11
- Шаг 2: 24 = 11 · 2 + 2, остаток 2
- Шаг 3: 11 = 2 · 5 + 1, остаток 1
- Шаг 4: 2 = 1 · 2 + 0, остаток 0
- Результат: НОД(35, 24) = 1 — числа взаимно просты
Альтернатива — каноническое разложение обоих чисел. Если у них нет общих простых множителей, числа взаимно просты:
\[ 56 = 2^3 \cdot 7, \quad 21 = 3 \cdot 7 \implies \gcd(56, 21) = 7. \]
\[ 35 = 5 \cdot 7, \quad 24 = 2^3 \cdot 3 \implies \text{общих простых нет} \implies \gcd(35,24)=1. \]
Для больших чисел алгоритм Евклида быстрее, чем разложение на множители.
Важный момент, возникающий при вычислениях: остаток при делении с остатком всегда неотрицателен и строго меньше делителя. Если в процессе работы с алгоритмом Евклида попадается отрицательное число, остаток вычисляется так:
\[ -7 = 3 \cdot (-3) + 2, \quad r = 2. \]
Запись \( -7 = 3 \cdot (-2) + (-1) \) с остатком \(-1\) противоречит определению и ломает весь дальнейший разбор. Подробно об этой ошибке — в следующем разделе.
Типичные ошибки: число 1, признаки делимости, делители произведения
Коротко
- 1 — не простое и не составное; наименьшее простое — 2, единственное чётное простое
- Остаток при делении с остатком всегда неотрицателен: 0 ≤ r < b
- Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток по модулю 3 и по модулю 9
- Квадрат целого числа по модулю 4 даёт только остаток 0 или 1
- Если простое p делит bc, то p делит b или p делит c (лемма Евклида)
Частые вопросы
Является ли число 1 простым числом?
Нет. У числа 1 только один натуральный делитель — оно само, тогда как простое число по определению имеет ровно два делителя. Кроме того, если считать 1 простым, нарушается единственность разложения на простые множители: число 6 можно было бы записать как \( 2 \cdot 3 \), \( 1 \cdot 2 \cdot 3 \), \( 1^{100} \cdot 2 \cdot 3 \) и так далее.
Чем взаимно простые числа отличаются от простых?
Простота — свойство одного числа: у него ровно два натуральных делителя. Взаимная простота — свойство пары: их наибольший общий делитель равен 1. Числа 8 и 9 оба составные, но взаимно просты, потому что \( \gcd(8,9)=1 \).
Первичные числа — это то же самое, что простые?
Да, полные синонимы. «Первичные числа» — устаревший термин из части старых учебников и неформальных текстов. В современной математике принято название «простые числа».
Сколько простых чисел от 1 до 100?
Ровно 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Как быстро проверить, взаимно просты ли два числа?
Применить алгоритм Евклида: делить большее число на меньшее, брать остаток, затем повторять с меньшим числом и остатком. Когда остаток обратится в ноль, последний ненулевой остаток и есть НОД. Если он равен 1 — числа взаимно просты. Для небольших чисел альтернатива — разложить оба на простые множители и убедиться, что общих нет.
По этой теме есть отдельный разбор: разложении составного числа на простые множители.
По этой теме есть отдельный разбор: задания по теории чисел на ЕГЭ профиль.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.