Таблица значений тригонометрических функций: sin, cos, tan, cot

В статье представлена полная таблица значений основных тригонометрических функций для углов от 0° до 360° (или от 0 до 2π радиан). Вы узнаете, как пользоваться таблицей, какие закономерности действуют в разных четвертях и как переводить между градусами и радианами.

Что такое таблица тригонометрических функций

Таблица синусов и косинусов тангенсов и котангенсов собирает в одном месте часто используемые значения sin, cos, tg и ctg для углов от 0° до 360°. Такая таблица синусов и косинусов тангенсов удобна при решении задач ЕГЭ/ОГЭ, потому что позволяет быстро подставить точное значение без вычислений на калькуляторе. В ней также присутствуют значения для углов, кратных 30° и 45°, которые встречаются в большинстве примеров. Таблица синусов косинусов тангенсов и котангенсов тригонометрия помогает увидеть закономерности знаков и периодов функций.

Значения sin, cos, tan, cot в градусах от 0° до 360°

Ниже приведена таблица синусов и косинусов в градусах для характерных углов. Значения тангенса и котангенса указаны там, где они определены.

| α (°) | sin α | cos α | tg α | ctg α | |------|-------|-------|------|-------| | 0 | 0 | 1 | 0 | — | | 30 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | | 45 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | | 60 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | | 90 | 1 | 0 | — | 0 | | 120 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -1/√3 | | 135 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | | 150 | 1/2 | -√3/2 | -1/√3| -√3 | | 180 | 0 | -1 | 0 | — | | 210 | -1/2 | -√3/2 | 1/√3 | √3 | | 225 | -√2/2 | -√2/2 | 1 | 1 | | 240 | -√3/2 | -1/2 | √3 | 1/√3 | | 270 | -1 | 0 | — | 0 | | 300 | -√3/2 | 1/2 | -√3 | -1/√3 | | 315 | -√2/2 | √2/2 | -1 | -1 | | 330 | -1/2 | √3/2 | -1/√3| -√3 | | 360 | 0 | 1 | 0 | — |

Здесь видно, как меняются знаки функций в зависимости от четверти, а также period функции для sin и cos равен 360°, для tg и ctg — 180°.

Значения в радианах от 0 до 2π

Аналогичная таблица, но с аргументом, выраженным в радианах. Углы кратны π/6 и π/4.

| α (рад) | sin α | cos α | tg α | ctg α | |---------|-------|-------|------|-------| | 0 | 0 | 1 | 0 | — | | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | | π/2 | 1 | 0 | — | 0 | | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -1/√3 | | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -1/√3| -√3 | | π | 0 | -1 | 0 | — | | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | 1/√3 | √3 | | 5π/4 | -√2/2 | -√2/2 | 1 | 1 | | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | 1/√3 | | 3π/2 | -1 | 0 | — | 0 | | 5π/3 | -√3/2 | 1/2 | -√3 | -1/√3 | | 7π/4 | -√2/2 | √2/2 | -1 | -1 | | 11π/6 | -1/2 | √3/2 | -1/√3| -√3 | | 2π | 0 | 1 | 0 | — |

Таблица синусов и косинусов в радианах удобна при работе с формулами, где аргумент уже выражен в радианах.

Таблица по четвертям и свойства знаков

Знаки функций меняются в зависимости от четверти единичной окружности. Таблица четвертей синусов и косинусов тангенсов котангенсов показывает, где каждая функция положительна, а где отрицательна.

| Четверть | sin | cos | tg | ctg | |----------|-----|-----|----|-----| | I (0–π/2) | + | + | + | + | | II (π/2–π) | + | – | – | – | | III (π–3π/2)| – | – | + | + | | IV (3π/2–2π)| – | + | – | – |

Таблица брадиса синусы и косинусы тангенсы котангенсы часто используется для быстрого определения знака: достаточно вспомнить, что в I все функции положительны, во II только sin, в III только tg и ctg, в IV только cos.

Перевод между градусами и радианами, использование таблицы Брадиса

Для перевода градусов в радианы умножают на π/180, а для обратного перехода делят на π/180 (или умножают на 180/π). Пример: 45° = 45·π/180 = π/4 rad; 2π/3 rad = 2π/3·180/π = 120°.

Таблица перевода синусов и косинусов тангенсов котангенсов полезна, когда нужно быстро проверить, соответствует ли значение из таблицы в градусах тому же значению в радианах.

Связь функций и основные тригонометрические тождества

Определения тангенса и котангенса через синус и косинус позволяют выражать одну функцию через другую:

Из основного тригонометрического тождества sin² α + cos² α = 1 следует, что зная одно значение, можно найти другое, а знак выбирать по таблице четвертей. Также полезны формулы:

Эти соотношения позволяют проверить правильность значений из таблицы синусов и косинусов тангенсов и таблицы синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Частые вопросы

Как запомнить, где sin положителен, а где отрицателен? Синус положителен в верхней половине окружности (I и II четверти), отрицателен — в нижней (III и IV).

Почему tg и ctg не определены при некоторых углах? Тангенс не определен, когда cos α = 0 (α = π/2 + πn), а котангенс — когда sin α = 0 (α = πn). В этих точках возникает деление на ноль.

По этой теме есть отдельный разбор: Тригонометрия в ЕГЭ: формулы и как решать уравнения.

По этой теме есть отдельный разбор: Лайфхаки быстрых решений тригонометрических уравнений на ЕГЭ.