Тригонометрические формулы 10 класс алгебра: шпаргалка-таблица

Все правки сделаны. Вот полный исправленный файл:

--- title: Тригонометрические формулы 10 класс алгебра: шпаргалка-таблица description: Все тригонометрические формулы 10 класс алгебра — шпаргалка-таблица на один лист: от базовых определений до формул преобразований и разбора ошибок ЕГЭ. slug: trigonometricheskie-formuly-10-klass-algebra-shpargalka keywords: [тригонометрические формулы 10 класс алгебра шпаргалка, формулы по алгебре 10 класс тригонометрические, все тригонометрические формулы 10 класс по алгебре, тригонометрические формулы шпаргалка таблица, тригонометрические формулы все на одном листе] author: Алмаз date: 2026-07-31 cluster: trigonometriya ---

Статья собирает весь материал по тригонометрии алгебры 10 класса — от базовых определений до общих решений уравнений и методов работы с ними. Шпаргалка-таблица в середине составлена так, что тригонометрические формулы все на одном листе А4 помещаются при стандартном масштабе печати. В конце — разбор восьми ошибок, которые чаще всего стоят баллов на ЕГЭ.

Базовые определения: синус, косинус, тангенс и котангенс

На единичной окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) каждому действительному числу \( t \) соответствует точка \( M \): от точки \( (1;\,0) \) откладывают дугу длиной \( |t| \) против часовой стрелки при \( t > 0 \) и по часовой при \( t < 0 \). По определению:

\[ \cos t = x_M, \quad \sin t = y_M, \quad M \in \{x^2 + y^2 = 1\} \]

Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — обратное:

\[ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} \]

Тангенс не определён при \( \cos t = 0 \), котангенс — при \( \sin t = 0 \). Для острого угла прямоугольного треугольника определения согласуются с окружностью:

\[ \sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}, \quad \tg\alpha = \frac{a}{b} \]

где \( a \) — противолежащий катет, \( b \) — прилежащий, \( c \) — гипотенуза.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус при любом значении аргумента:

\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]

Период — наименьшее положительное число \( T \), при котором значение функции повторяется. У синуса и косинуса \( T = 2\pi \), у тангенса и котангенса \( T = \pi \).

Арккосинус числа \( a \in [-1;\,1] \) — это число из отрезка \( [0;\,\pi] \), косинус которого равен \( a \):

\[ \arccos a = \alpha \iff \cos\alpha = a, \quad \alpha \in [0;\,\pi] \]

Арксинус лежит в \( \bigl[-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\bigr] \), арктангенс — в \( \bigl(-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\bigr) \).

Шпаргалка-таблица: все тригонометрические формулы 10 класса на одном листе

Ниже — компактная тригонометрические формулы шпаргалка таблица: все ключевые тождества, знаки функций и табличные значения в одном месте.

Основные тождества

Чётность, нечётность и формулы приведения

Правило формул приведения: при сдвигах на \( \pi \pm \alpha \) и \( 2\pi \pm \alpha \) функция не меняется; при сдвигах на \( \tfrac{\pi}{2} \pm \alpha \) и \( \tfrac{3\pi}{2} \pm \alpha \) синус меняется на косинус и наоборот. Знак определяют по четверти исходного угла.

Арксинус и арккосинус от противоположного числа

Арксинус и арктангенс нечётны, арккосинус — нет: он даёт \( \pi - \arccos a \), а не \( -\arccos a \).

Табличные значения

| | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | \(\sin\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | | \(\cos\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | | \(\tg\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | н/о |

Мнемоника: синус углов \( 0,\,\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{2} \) равен \( \tfrac{\sqrt{0}}{2},\,\tfrac{\sqrt{1}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,\tfrac{\sqrt{4}}{2} \) — косинус читается в обратном порядке.

Формулы суммы, разности и двойного угла

Формулы сложения — основа всех остальных тождеств раздела. Знать их нужно наизусть, остальное выводится.

Синус и косинус суммы и разности

Ориентир для запоминания знаков: у синуса знак в правой части совпадает со знаком в аргументе, у косинуса — противоположен.

Тангенс суммы и разности

Формулы двойного угла

Для \( \cos 2\alpha \) существуют три эквивалентные формы — они получаются подстановкой основного тождества:

Какую форму \( \cos 2\alpha \) выбирать: если в уравнении только \( \cos x \) — форму 2 (\( 2\cos^2\alpha - 1 \)), только \( \sin x \) — форму 3 (\( 1 - 2\sin^2\alpha \)), обе функции — форму 1.

Формулы понижения степени, тройного и половинного угла

Формулы понижения степени выводятся напрямую из форм 2 и 3 для \( \cos 2\alpha \):

После замены \( \sin^2 x \) и \( \cos^2 x \) по этим формулам уравнение становится линейным по \( \cos 2x \) — дальше решается стандартно.

Тройной угол

Обе формулы выводятся через \( 3\alpha = 2\alpha + \alpha \) из формул сложения; встречаются в задании 13 при громоздких преобразованиях.

Половинный угол и универсальная подстановка

Подстановка \( t = \tg\tfrac{x}{2} \) сводит уравнение к рациональному относительно \( t \). При этом серия \( x = \pi + 2\pi n \), где \( \cos\tfrac{x}{2} = 0 \), теряется — её нужно проверить отдельно подстановкой в исходное уравнение.

Преобразование суммы и произведения тригонометрических выражений

Блок формул превращения суммы в произведение и обратно — его удобно держать перед глазами при решении уравнений разложением на множители.

Сумма и разность — в произведение

В разности косинусов перед двойкой стоит минус — его часто теряют при переписывании.

Произведение — в сумму

Формулы «сумма в произведение» применяют, чтобы получить общий множитель и разложить уравнение; «произведение в сумму» — при упрощении выражений или интегрировании.

Корни тригонометрических уравнений и методы решения

Все тригонометрические формулы 10 класс по алгебре в части уравнений сводятся к трём основным:

Знак «±» у косинуса обязателен — пропуск одной серии означает потерю половины корней.

Частные случаи (записываются короче общей формулы)

Методы решения уравнений

Типичные ошибки в тригонометрии 10 класса: что проверить перед ЕГЭ

Тригонометрические формулы 10 класс алгебра шпаргалка работает только в связке с умением их правильно применять. Восемь ошибок ниже встречаются особенно часто.

Частые вопросы

Какие тригонометрические формулы обязательно знать в 10 классе?

Минимальный обязательный набор: основное тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), формулы сложения для синуса и косинуса, три формы \( \cos 2\alpha \) и формула \( \sin 2\alpha \), общие решения уравнений \( \sin x = a \), \( \cos x = a \), \( \tg x = a \), а также тождество \( 1 + \tg^2\alpha = \tfrac{1}{\cos^2\alpha} \). Формулы суммы-в-произведение, тройного угла и универсальной подстановки нужны для части задания 13 — их можно вывести из базовых, но на экзамене удобнее помнить сразу.

Чем отличаются три формы формулы двойного угла косинуса?

Все три формы равноценны: \( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \). Переход между ними — это подстановка \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \) или \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \). Выбор зависит от уравнения: при наличии только \( \cos x \) берут форму \( 2\cos^2\alpha - 1 \), только \( \sin x \) — форму \( 1 - 2\sin^2\alpha \), смешанного состава — форму \( \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \).

Как правильно записать все корни уравнения cos x = a?

\[ x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Знак «±» обязателен — без него теряется целая серия корней. Для частных случаев: \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n \); \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n \); \( \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n \). При \( |a| > 1 \) решений нет.

Когда применять универсальную тригонометрическую подстановку?

Подстановку \( t = \tg\tfrac{x}{2} \) применяют, когда уравнение содержит \( \sin x \) и \( \cos x \) в первой степени и другие методы (однородное уравнение, разложение на множители) не работают. После замены уравнение становится рациональным по \( t \). Обязательная проверка: серия \( x = \pi + 2\pi n \), где \( \cos\tfrac{x}{2} = 0 \), при замене теряется — её подставляют в исходное уравнение отдельно.

Как не потерять корни при делении однородного уравнения на cos x?

До деления нужно подставить \( x = \tfrac{\pi}{2} \) в исходное уравнение и проверить, обращает ли оно его в тождество. Если да — серия \( x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n \) включается в ответ отдельно. Только после этой проверки делят обе части на \( \cos^2 x \) и переходят к уравнению относительно \( \tg x \).

Как быстро запомнить формулы суммы и разности синуса и косинуса?

Для синуса знак в правой части совпадает со знаком в аргументе: \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \). Для косинуса — противоположен: \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \). Структура помогает: у синуса «своя пара ± чужая пара», у косинуса «своя пара ∓ чужая пара» — знак в правой части всегда flip относительно знака слева.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица значений тригонометрических функций.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы двойного угла в тригонометрии.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения: таблица и правило.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица перевода радиан в градусы.

---

Файл обновлён. Исправлено 13 блоков :::formulas — из каждой строки убраны обёртки \( и \). Остальное тело статьи (frontmatter, :::keyfacts, :::compare, :::steps, таблицы, текст в абзацах, формулы \[...\]) не тронуто.