Таблица степеней двойки и тройки: 2^n и 3^n до 20

Исправляю только указанную проблему: убираю \( \) вокруг формул внутри :::formulas.

--- title: Таблица степеней двойки и тройки: \(2^n\) и \(3^n\) до 20 description: Таблица степеней двойки и тройки: значения \(2^n\) и \(3^n\) от 0 до 20. Готовая шпаргалка для задания 6 ЕГЭ и ОГЭ. Формулы степеней и разбор типичных ошибок. slug: tablica-stepenej-dvojki-i-trojki keywords: [таблица степеней двойки и тройки, таблица степеней двойки до 20, таблица степеней 2 и 3, таблица степеней 2 и 3 по алгебре, таблица степеней, степени двойки, степени тройки] author: Алмаз date: 2026-07-31 cluster: \(stepeni_korni ---\)

Знание степеней двойки и тройки наизусть — это реальная экономия времени на экзамене. Задание 6 ЕГЭ и соответствующие задания ОГЭ регулярно содержат выражения со степенями, которые решаются в уме за секунды, если значения из таблицы степеней двойки и тройки уже отложились в памяти. Ниже — полные таблицы \(2^n\) и \(3^n\) от 0 до 20, разбор пяти ключевых формул и четыре ошибки, которые чаще всего встречаются на экзамене.

Что такое степень числа: определение и обозначение

Степень числа \(a\) с натуральным показателем \(n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей:

\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\ \text{раз}}, \quad n \in \mathbb{N}\]

Число \(a\) называют основанием, \(n\) — показателем. Из определения сразу следует: \(a^1 = a\), то есть один множитель даёт само число.

Нулевая степень определяется отдельно. Для любого \(a \neq 0\):

\[a^0 = 1\]

Логика простая: \(\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0\), а левая часть очевидно равна 1. Именно поэтому таблица степеней начинается с \(n = 0\): это значение встречается в задачах не реже, чем \(n = 1\).

Таблица степеней двойки до 20: значения \(2^n\)

Полная таблица степеней двойки от \(2^0\) до \(2^{20}\). Значения \(2^7\)–\(2^{10}\) выделены отдельно — они чаще всего фигурируют в заданиях ЕГЭ и ОГЭ.

| n | 2ⁿ | |--:|---:| | 0 | 1 | | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 8 | | 4 | 16 | | 5 | 32 | | 6 | 64 | | 7 | 128 | | 8 | 256 | | 9 | 512 | | 10 | 1 024 | | 11 | 2 048 | | 12 | 4 096 | | 13 | 8 192 | | 14 | 16 384 | | 15 | 32 768 | | 16 | 65 536 | | 17 | 131 072 | | 18 | 262 144 | | 19 | 524 288 | | 20 | 1 048 576 |

Таблицу степеней двойки до 20 целиком помнить не обязательно: достаточно уверенно знать значения до \(2^{12}\) и уметь восстановить остальные, умножая каждое предыдущее на 2.

Таблица степеней тройки до 20: значения \(3^n\)

Полная таблица \(3^n\) от 0 до 20. «Экзаменационный минимум» — значения \(3^1\)–\(3^8}\): их знание перекрывает подавляющее большинство задач.

| n | 3ⁿ | |--:|---:| | 0 | 1 | | 1 | 3 | | 2 | 9 | | 3 | 27 | | 4 | 81 | | 5 | 243 | | 6 | 729 | | 7 | 2 187 | | 8 | 6 561 | | 9 | 19 683 | | 10 | 59 049 | | 11 | 177 147 | | 12 | 531 441 | | 13 | 1 594 323 | | 14 | 4 782 969 | | 15 | 14 348 907 | | 16 | 43 046 721 | | 17 | 129 140 163 | | 18 | 387 420 489 | | 19 | 1 162 261 467 | | 20 | 3 486 784 401 |

Числа \(3^5 = 243\) и \(3^6 = 729\) нередко встречаются в задачах без явного указания, что это степени тройки. Именно для таких случаев нужна таблица степеней двойки и тройки, заученная заранее: узнать \(729\) как \(3^6\) в условии задачи занимает долю секунды.

Таблица степеней 2 и 3 по алгебре: сравнительная

Совмещённая таблица, где \(2^n\) и \(3^n\) стоят рядом, удобна при разложении выражений на множители. Для экзаменационных задач достаточно диапазона до \(n = 10\).

| n | 2ⁿ | 3ⁿ | |--:|---:|---:| | 0 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 3 | | 2 | 4 | 9 | | 3 | 8 | 27 | | 4 | 16 | 81 | | 5 | 32 | 243 | | 6 | 64 | 729 | | 7 | 128 | 2 187 | | 8 | 256 | 6 561 | | 9 | 512 | 19 683 | | 10 | 1 024 | 59 049 |

Таблица степеней 2 и 3 по алгебре помогает замечать одно из типичных применений — распознавание разности квадратов и разности кубов. Например, \(64 = 2^6 = 4^3\) одновременно, поэтому выражение \(a^6 - 64\) допускает два разных разложения:

\[a^6 - 64 = (a^2)^3 - 4^3 = (a^3)^2 - 8^2\]

Связь \(2^{2n} = 4^n\) и \(3^{2n} = 9^n\) часто используется при сокращении дробей и решении показательных уравнений. Из свойства степени произведения также следует: \(2^n \cdot 3^n = (2 \cdot 3)^n = 6^n\) — комбинированные таблицы степеней 2 и 3 дают прямой ключ к таким упрощениям.

Основные формулы степеней для вычислений

Пять формул покрывают большинство задач с таблицей степеней на экзамене.

Как это работает на числах из таблицы:

Пример 1. \(2^7 \cdot 2^3 = 2^{7+3} = 2^{10} = 1024\). Показатели складываются, результат берётся из таблицы.

Пример 2. \(\dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27\). Показатели вычитаются.

Пример 3. \((2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} = 4096\). При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Пример 4. \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\). Показатель распределяется по множителям.

Пример 5. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}\). Отрицательный показатель переворачивает дробь — это быстрее, чем делить 1 на дробь.

Типичные ошибки при работе со степенями

Четыре ошибки, которые повторяются из варианта в вариант.

По этой теме есть отдельный разбор: решении показательных уравнений и неравенств.

Как применять таблицу степеней в задачах ЕГЭ и ОГЭ

Знание значений из таблицы степеней двойки и тройки напрямую сокращает время решения задания 6. Универсальный алгоритм:

Пример 1. \(\dfrac{2^{15} \cdot 8^2}{16^4}\)

Записать всё через степени двойки: \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\).

\[\frac{2^{15} \cdot (2^3)^2}{(2^4)^4} = \frac{2^{15} \cdot 2^6}{2^{16}} = 2^{15+6-16} = 2^5 = 32\]

Пример 2. \(\dfrac{9^5 \cdot 27}{3^{12}}\)

Записать через степени тройки: \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\).

\[\frac{(3^2)^5 \cdot 3^3}{3^{12}} = \frac{3^{10} \cdot 3^3}{3^{12}} = 3^{10+3-12} = 3^1 = 3\]

Пример 3. \(\sqrt{2^{10} \cdot 9}\)

\[\sqrt{2^{10} \cdot 3^2} = 2^{10/2} \cdot 3^{2/2} = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96\]

Мнемоника для запоминания: достаточно выучить «якоря» — \(2^{10} = 1024\) и \(3^5 = 243\). От каждого якоря нужные значения восстанавливаются за несколько умножений или делений.

Частые вопросы

Чему равно 2 в степени 10?

\(2^{10} = 1024\). Это самое важное значение из таблицы степеней двойки: его знают программисты (1 килобайт = 1024 байта) и математики. На экзамене оно встречается особенно часто — как само по себе, так и в виде \(1024 = 4^5 = 8^{10/3}\).

Чему равно 3 в степени 5?

\(3^5 = 243\). Получается последовательным умножением: \(3^1=3\), \(3^2=9\), \(3^3=27\), \(3^4=81\), \(3^5=243\).

Почему \(2^0 = 1\), а не 0?

Нулевая степень определяется через свойство частного: \(\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0\), а левая часть всегда равна 1 при \(a \neq 0\). Значение \(a^0 = 0\) нарушило бы это свойство. Нулевая степень нуля (\(0^0\)) отдельно не определена.

Нужно ли знать степени двойки наизусть для ЕГЭ?

Значения \(2^0\)–\(2^{12}\) стоит знать твёрдо. Это сокращает время решения задания 6 с нескольких минут до 30–60 секунд и практически исключает арифметические ошибки при подстановке.

Как быстро запомнить таблицу степеней двойки до 20?

Метод «якорей»: выучить \(2^5 = 32\), \(2^{10} = 1024\), \(2^{20} = 1\,048\,576\). От каждого якоря остальные значения восстанавливаются умножением или делением на 2 за несколько секунд.

В чём разница между \(2^n\) и 2·n?

\(2^n\) — степень: двойка перемножается сама на себя \(n\) раз (\(2^5 = 32\)). \(2 \cdot n\) — произведение: двойка умножается на \(n\) один раз (\(2 \cdot 5 = 10\)). При \(n \geq 3\) степень всегда больше произведения, и разрыв нарастает стремительно.

По этой теме есть отдельный разбор: таблицу квадратов чисел.

По этой теме есть отдельный разбор: таблицу кубов чисел.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и формулы степеней.