Исправляю: в блоке :::formulas убираю \( \) со всех формул (компонент сам оборачивает TeX, внешние разделители ломают рендер).
--- title: Степени и корни ЕГЭ профиль: все формулы и задания 3, 7 description: Степени и корни ЕГЭ профиль: задание 3, задание 7 — все формулы и методы в одном месте. Разбор иррациональности и ошибок, из-за которых теряются баллы. slug: stepeni-i-korni-ege-profil keywords: [степени и корни ЕГЭ профиль, степени и корни ЕГЭ база, задание 3 ЕГЭ математика профиль все формулы, задание 7 ЕГЭ математика профиль 2026 фипи, как избавиться от иррациональности в знаменателе, свойства степеней 10 класс, иррациональные уравнения как решать] author: Алмаз date: 2026-08-16 cluster: \(stepeni_korni ---\)
В каких заданиях ЕГЭ профиль встречаются степени и корни
Степени и корни в ЕГЭ профиль — тема, которая не ограничивается одним разделом. Она пронизывает экзамен сверху донизу.
Задание 3 — числовые выражения. Нужно вычислить значение выражения с дробными показателями, корнями разных степеней и отрицательными показателями. Стоит один первичный балл, но взять его легко, если знать формулы.
Задание 7 — уравнения и неравенства среднего уровня. В демоверсии ФИПИ 2026 это часто иррациональные уравнения или уравнения, удобно решаемые заменой переменной через корень.
Задания 11–16 второй части — показательные и иррациональные уравнения, неравенства, задачи с параметрами. Корни здесь возникают как при преобразовании уравнения, так и при определении ОДЗ.
Содержательная задача профиля почти наверняка потребует навыков работы со степенями и корнями — это базовый язык алгебры на данном уровне.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Все формулы степеней и корней — шпаргалка для задания 3
Для задания 3 ЕГЭ математика профиль все формулы нужно знать наизусть: времени мало, и любая заминка выбивает из темпа. Ниже — весь арсенал одним списком.
Рабочий алгоритм для задания 3. Разложить все основания на простые множители (обычно 2, 3, 5), корни перевести в дробные степени, сложить или вычесть показатели при каждом основании.
Пример: вычислить \( \sqrt[3]{27}\cdot 9^{-\frac{1}{2}} \).
\[ \sqrt[3]{27}\cdot 9^{-\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{3}}\cdot\left(3^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 3^{1}\cdot 3^{-1} = 3^{1+(-1)} = 3^{0} = 1. \]
Задание 7 ЕГЭ профиль 2026 (ФИПИ): степени и корни в уравнениях
Задание 7 ЕГЭ математика профиль 2026 ФИПИ — уравнение или неравенство среднего уровня. В типичном варианте встречается иррациональное уравнение вида \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) или выражение, которое удобно решить заменой \(t=\sqrt{x}\).
- Решение иррационального уравнения (задание 7)
- Шаг 1. Найти ОДЗ: подкоренное выражение чётного корня должно быть \(\ge 0\). Записать условие отдельно — к нему вернутся при проверке.
- Шаг 2. Сделать замену переменной, например \(t=\sqrt{x}\), \(t\ge 0\), или перевести корни в дробные степени.
- Шаг 3. Решить полученное уравнение относительно \(t\).
- Шаг 4. Отобрать корни, удовлетворяющие условию \(t\ge 0\).
- Шаг 5. Вернуться к исходной переменной \(x\) и проверить принадлежность ОДЗ.
Шаблонный пример. Уравнение \(\sqrt{x}-2=\dfrac{3}{\sqrt{x}}\), ОДЗ: \(x>0\).
Замена \(t=\sqrt{x}\), \(t>0\):
\[ t-2=\frac{3}{t} \implies t^{2}-2t-3=0 \implies (t-3)(t+1)=0. \]
Корни: \(t=3\) и \(t=-1\). По условию \(t>0\), поэтому \(t=-1\) отбрасывается. Из \(\sqrt{x}=3\) следует \(x=9\).
Проверка: \(\sqrt{9}-2=1=\dfrac{3}{\sqrt{9}}\). Ответ: \(x=9\).
Типичная ловушка — не проверить условие \(t\ge 0\) и записать оба корня квадратного уравнения. Лишний ответ стоит балла.
Как избавиться от иррациональности в знаменателе
Стандартная форма ответа предполагает рациональный знаменатель. Вопрос, как избавиться от иррациональности в знаменателе, решается двумя приёмами.
Случай 1: знаменатель — одиночный корень \(\sqrt{a}\).
Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{a}\):
\[ \frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}. \]
Пример: \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\).
Случай 2: знаменатель — бином \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) или \(a\pm\sqrt{b}\).
- Рационализация знаменателя-бинома
- Шаг 1. Определить сопряжённое: для \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) это \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\); для \(a+\sqrt{b}\) это \(a-\sqrt{b}\).
- Шаг 2. Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое.
- Шаг 3. В знаменателе применить формулу разности квадратов: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b\) — иррациональность исчезает.
- Шаг 4. Раскрыть числитель и при возможности сократить дробь.
Пример 1:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}. \]
Пример 2:
\[ \frac{6}{2+\sqrt{2}} = \frac{6(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{6(2-\sqrt{2})}{4-2} = 3(2-\sqrt{2}) = 6-3\sqrt{2}. \]
Определения: что такое степень и корень (и как не путать)
Степень с натуральным показателем: \[ a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{раз}},\quad n\in\mathbb{N}. \]
Степень с нулевым и целым отрицательным показателем: \[ a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad a\neq 0. \] При \(a=0\) такие степени не определены: знаменатель обращается в ноль.
Арифметический корень \(n\)-й степени: \[ \sqrt[n]{a}=b \iff b\ge 0\ \text{ и }\ b^{n}=a,\quad a\ge 0. \] Арифметический корень всегда неотрицателен. Для нечётного \(n\) корень определён и для отрицательных \(a\), знак сохраняется: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
Степень с рациональным показателем (только при \(a>0\)): \[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}. \] Требование \(a>0\) принципиально: для отрицательных оснований дробные степени работают лишь в отдельных частных случаях, а не в общем виде.
ОДЗ при работе с корнями. Чётный корень \(\sqrt[2n]{f(x)}\) определён тогда и только тогда, когда \(f(x)\ge 0\). Условие на ОДЗ записывается первым, до решения уравнения.
Чётный корень из чётной степени — всегда модуль: \[ \sqrt{a^{2}}=|a|,\qquad \sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|. \] Если из условия известно, что \(a\ge 0\), модуль снимается. Если знак неизвестен — только \(|a|\).
Нечётный корень из нечётной степени — без модуля: \[ \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a. \]
Профиль vs база ЕГЭ: чем отличается тема «степени и корни»
На базовом ЕГЭ тема степени и корни ЕГЭ база предполагает числовые вычисления с квадратными и кубическими корнями и простые преобразования с целыми показателями. Иррациональных уравнений, рациональных показателей и обязательной работы с ОДЗ на базе нет.
На профиле картина принципиально другая:
| Что требуется | База | Профиль | |---|:---:|:---:| | Числовые вычисления с корнями | да | да | | Дробные показатели степени | нет | да | | Корни разных порядков, приведение к общему | нет | да | | Иррациональные уравнения | нет | да | | Неравенства с корнями | нет | да | | Задачи с параметрами | нет | да | | ОДЗ и модуль при преобразованиях | редко | постоянно |
Базового «умею считать корни» для профиля недостаточно: нужно уверенно переводить корни в дробные степени, работать с ОДЗ и понимать, в каком месте обязательно появляется модуль.
Типичные ошибки при работе со степенями и корнями
Шесть ошибок, которые встречаются на экзамене чаще остальных. Каждая выглядит «логично» — и именно поэтому опасна.
Коротко
- Корень — это степень: \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\). Переведи и работай по свойствам степеней.
- Чётный корень: подкоренное \(\ge 0\); результат \(\ge 0\); из чётной степени — модуль.
- Нечётный корень определён для любых чисел, знак сохраняется: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
- Корень распределяется по умножению и делению, но НЕ по сложению.
- При умножении степеней показатели складываются; при возведении степени в степень — умножаются.
- \(a^{-n}=1/a^{n}\) — отрицательный показатель означает обратное число.
- От иррациональности в знаменателе избавляются домножением на сопряжённое выражение.
- \((-a)^{n}=a^{n}\) при чётном \(n\); \((-a)^{n}=-a^{n}\) при нечётном — чётная степень убирает минус.
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\) — отрицательный показатель переворачивает дробь.
Частые вопросы
Как избавиться от иррациональности в знаменателе?
Если знаменатель — одиночный корень \(\sqrt{a}\), умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{a}\): получится \(\dfrac{c\sqrt{a}}{a}\). Если знаменатель — бином вида \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) или \(a\pm\sqrt{b}\), умножить на сопряжённое (тот же бином с противоположным знаком между слагаемыми). В знаменателе срабатывает формула разности квадратов, и корень исчезает.
Чем \(\sqrt{a^2}\) отличается от \(a\) и почему это важно на ЕГЭ?
По определению арифметического корня \(\sqrt{a^2}=|a|\), а не просто \(a\). При неизвестном знаке \(a\) модуль обязателен: если \(a=-5\), то \(\sqrt{a^2}=\sqrt{25}=5=|-5|\neq -5\). Пропуск модуля при преобразовании выражений — прямая потеря балла.
Как перевести корень в степень с дробным показателем?
По формуле \(\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}\) при \(a>0\). Знаменатель дроби в показателе — степень корня, числитель — показатель степени подкоренного числа. Пример: \(\sqrt[4]{a^{3}}=a^{3/4}\). Обратный переход: \(a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}}\).
Какие формулы степеней нужно знать для задания 3 профильного ЕГЭ?
Необходимый минимум: умножение и деление степеней с одинаковым основанием (\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)), степень степени (\((a^m)^n=a^{mn}\)), степень произведения и частного, корень как дробная степень (\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\)), отрицательный показатель (\(a^{-n}=1/a^n\)). Без этого набора числовое выражение не упростится до ответа.
В чём разница между профилем и базой ЕГЭ по теме степени и корни?
На базе достаточно числовых вычислений и простых преобразований с целыми показателями. На профиле нужны рациональные (дробные) показатели, иррациональные уравнения и неравенства, постоянная работа с ОДЗ и модулем. Это качественно разные уровни: базовой подготовки для профиля не хватает.
Что такое ОДЗ при работе с корнями и как её найти?
ОДЗ (область допустимых значений) — множество значений переменной, при которых выражение определено. При работе с корнями: подкоренное выражение чётного корня должно быть \(\ge 0\), знаменатель — ненулевым. Чтобы найти ОДЗ, нужно выписать все такие условия в виде системы неравенств и решить её. ОДЗ определяется до начала решения уравнения — иначе в ответе окажутся посторонние корни.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства степеней и корней с примерами.
По этой теме есть отдельный разбор: степени и тригонометрия в задании 7 ЕГЭ профиль.
По этой теме есть отдельный разбор: три способа избавиться от иррациональности в знаменателе.
По этой теме есть отдельный разбор: методы решения иррациональных уравнений с примерами.
---
Что исправлено: в блоке :::formulas убраны \( \) со всех 15 строк — формулы и \(a\) в тексте «если знак a неизвестен». Всё остальное не тронуто.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.