Теперь верну полный исправленный файл:
--- title: Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках: доказательство description: Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках: чем отличается от теоремы Фалеса, доказательство простыми словами и решение задач ЕГЭ и ОГЭ. slug: teorema-falesa-o-proporcionalnyh-otrezkah keywords: [теорема фалеса о пропорциональных отрезках, теорема фалеса доказательство, теорема фалеса простыми словами, теорема фалеса в трапеции, теорема фалеса о пропорциональных отрезках доказательство, теорема фалеса о пропорциональных отрезках простыми словами, теорема о пропорциональных отрезках и теорема фалеса разница] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: ege ---
Теорема Фалеса простыми словами: суть за 2 минуты
Три параллельные прямые пересекают одновременно две другие прямые (секущие). На каждой секущей выделяются два отрезка. Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках простыми словами: эти отрезки всегда стоят в одинаковом отношении — на какой бы угол ни падали секущие.
Наглядная аналогия: три горизонтальных рельса, через которые брошены наискосок два стержня. Какой бы угол ни был у каждого стержня, отрезок между первым и вторым рельсом относится к отрезку между вторым и третьим — одинаково на обоих стержнях. Углы разные, пропорция одна.
Коротко
- Число параллельных прямых может быть любым — не только три
- Секущие могут быть наклонены под разными углами и даже параллельны друг другу
- Если отрезок на одной секущей вдвое длиннее другого, то и на второй секущей — тоже вдвое
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формулировка теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках
Теорема. Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие, то они делят эти секущие на пропорциональные отрезки.
Пусть \( a_1 \parallel a_2 \parallel a_3 \). Первая секущая \( l_1 \) пересекает их в точках \( A \), \( B \), \( C \); вторая секущая \( l_2 \) — в точках \( D \), \( E \), \( F \) соответственно.
Обратная теорема. Если точки на двух секущих делят их в одном и том же отношении, то прямые, проходящие через соответствующие точки, параллельны.
Условие: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}\) — тогда \( a_1 \parallel a_2 \parallel a_3 \).
---
Доказательство теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках
Используется метод вспомогательной прямой и подобие треугольников.
Дано: \( a_1 \parallel a_2 \parallel a_3 \); секущие \( l_1 \) и \( l_2 \); точки \( A, B, C \) на \( l_1 \) и \( D, E, F \) на \( l_2 \) — соответственно на \( a_1, a_2, a_3 \).
Доказать: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}\).
- Доказательство теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках через вспомогательный треугольник
- Шаг 1. Построение. Через точку D проводим прямую m, параллельную секущей \( l_1 \). Она пересекает \( a_2 \) в точке \( B_1 \), а \( a_3 \) — в точке \( C_1 \).
- Шаг 2. Параллелограмм \( ADB_1B \). Стороны \( AB \parallel DB_1 \) (по построению) и \( AD \parallel BB_1 \) (оба лежат на параллельных прямых \( a_1 \) и \( a_2 \)). Значит, \( ADB_1B \) — параллелограмм, и \( DB_1 = AB \).
- Шаг 3. Параллелограмм \( B_1C_1CB \). Аналогично: \( BC \parallel B_1C_1 \) и \( BB_1 \parallel CC_1 \), поэтому \( B_1C_1CB \) — параллелограмм и \( B_1C_1 = BC \).
- Шаг 4. Треугольник \( DC_1F \). Точки \( B_1 \) и \( E \) лежат на прямой \( a_2 \parallel a_3 \). Прямая \( a_2 \) пересекает стороны \( DC_1 \) (в точке \( B_1 \)) и \( DF \) (в точке \( E \)) и параллельна основанию \( C_1F \) (лежащему на \( a_3 \)).
- Шаг 5. По свойству подобных треугольников: прямая, параллельная основанию треугольника и пересекающая его боковые стороны, делит их пропорционально. Поэтому \(\dfrac{DB_1}{B_1C_1} = \dfrac{DE}{EF}\).
- Шаг 6. Подстановка из шагов 2–3: \( DB_1 = AB \), \( B_1C_1 = BC \). Получаем \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}\). Что и требовалось доказать. ∎
---
По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.
Теорема Фалеса в трапеции: применение и следствия
В трапеции \( ABCD \) с основаниями \( BC \parallel AD \) проведём прямую, параллельную основаниям. Она пересечёт боковые стороны \( AB \) и \( CD \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно.
По теореме Фалеса в трапеции прямая, параллельная основаниям, делит обе боковые стороны в одном отношении:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{DN}{NC} \]
Средняя линия — частный случай, когда \( AM = MB \) (то есть коэффициент деления равен 1):
Коротко
- Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна обоим основаниям
- Если одна боковая сторона делится в отношении 2:3, то другая тоже делится 2:3
- Два основания трапеции — это уже две из параллельных прямых; промежуточная — третья
---
По этой теме есть отдельный разбор: средняя линия треугольника.
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках: в чём разница
В школьных учебниках встречаются два варианта формулировки, и между ними легко запутаться.
На ЕГЭ и ОГЭ задачи почти всегда требуют пропорциональной версии: нужно найти длину отрезка через отношение, а не констатировать равенство. Разница между теоремой о пропорциональных отрезках и теоремой Фалеса на практике — терминологическая: расширенная содержит базовую как частный случай.
---
Примеры задач на теорему Фалеса (ЕГЭ/ОГЭ)
Задача 1. Найти длину отрезка
Условие. Три параллельные прямые пересекают секущую \( l_1 \) в точках \( A, B, C \): \( AB = 4 \) см, \( BC = 6 \) см. На второй секущей \( l_2 \) — точки \( D, E, F \), причём \( DE = 6 \) см. Найти \( EF \).
- Решение
- Шаг 1. По теореме Фалеса: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}\).
- Шаг 2. Подставляем числа: \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{EF}\).
- Шаг 3. Выражаем \( EF \): \( EF = \dfrac{6 \cdot 6}{4} = 9 \) см.
Ответ: \( EF = 9 \) см.
---
Задача 2. Трапеция
Условие. В трапеции \( ABCD \) (\( BC \parallel AD \)) боковая сторона \( AB = 15 \) см. Прямая, параллельная основаниям, пересекает \( AB \) в точке \( M \): \( AM = 9 \) см. Боковая сторона \( CD = 20 \) см. Найти, в каком отношении прямая делит \( CD \), и вычислить оба отрезка.
- Решение
- Шаг 1. Находим MB: \( MB = 15 - 9 = 6 \) см.
- Шаг 2. Отношение деления AB: \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\).
- Шаг 3. По теореме Фалеса в трапеции: \(\dfrac{DN}{NC} = \dfrac{3}{2}\).
- Шаг 4. Длины отрезков: \( DN = \dfrac{3}{5} \cdot 20 = 12 \) см; \( NC = \dfrac{2}{5} \cdot 20 = 8 \) см.
Ответ: прямая делит \( CD \) в отношении \( 3:2 \); отрезки равны 12 см и 8 см.
---
Задача 3. Доказать параллельность
Условие. Из вершины угла \( O \) проведены два луча. На первом луче — точки \( A \) и \( B \): \( OA = 4 \), \( AB = 8 \). На втором — точки \( C \) и \( D \): \( OC = 3 \), \( CD = 6 \). Доказать, что \( AC \parallel BD \).
- Решение
- Шаг 1. Отношение на первом луче: \(\dfrac{OA}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).
- Шаг 2. Отношение на втором луче: \(\dfrac{OC}{CD} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
- Шаг 3. Оба отношения равны. По обратной теореме Фалеса: если два луча из одной точки делятся в одном и том же отношении, то прямые через соответствующие точки деления параллельны.
- Шаг 4. Следовательно, \( AC \parallel BD \). ∎
По этой теме есть отдельный разбор: задания по планиметрии на ЕГЭ.
---
FAQ
Что утверждает теорема Фалеса о пропорциональных отрезках? Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие, то соответствующие отрезки на секущих пропорциональны: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}\).
В чём разница между теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках? «Базовая» теорема Фалеса — частный случай при равных отрезках (\( AB = BC \Rightarrow DE = EF \)). Теорема о пропорциональных отрезках — общая версия: отрезки могут быть любыми, главное — совпадение отношения. На ЕГЭ и ОГЭ используется расширенная версия.
Как применять теорему Фалеса в трапеции? Любая прямая, параллельная основаниям трапеции, делит обе боковые стороны в одном и том же отношении. Если одна сторона делится в отношении \( m:n \), то и вторая — тоже \( m:n \).
Что такое обратная теорема Фалеса? Если точки на двух секущих делят их в одном и том же отношении, то прямые, проходящие через соответствующие точки, параллельны. Применяется в задачах на доказательство параллельности прямых.
Сколько параллельных прямых нужно для теоремы Фалеса? Минимум три. Но теорема работает для любого числа параллельных прямых: все отношения соседних отрезков на каждой секущей будут одинаковы.
---
Исправлено два нарушения:
- 1.
:::formulas— убраны все\( \)вокруг TeX в обоих блоках (формулировка + трапеция). - 2. FAQ — добавлен раздел в конце статьи с пятью вопросами по ключевым темам материала.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.