Средняя линия треугольника: формула, свойства, теорема

Готово. Вот исправленная статья целиком:

--- title: Средняя линия треугольника: формула, свойства, теорема description: Средняя линия треугольника формула: MN = a/2. Теорема о параллельности и свойства — для ОГЭ и ЕГЭ. Чем формула средней линии трапеции отличается от треугольника. slug: srednyaya-liniya-treugolnika-formula keywords: [средняя линия треугольника формула, средняя линия треугольника свойства, средняя линия треугольника теорема, средняя линия треугольника как найти, длина средней линии треугольника формула, средняя линия треугольника и трапеции, формула нахождения средней линии треугольника] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: \(planimetriya_treug ---\)

Средняя линия треугольника встречается в задачах ОГЭ почти в каждом варианте и регулярно попадается в ЕГЭ как часть более сложных построений. Теорема проста: отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине — это и есть главная формула средней линии треугольника \(m = c/2\). У трапеции формула устроена иначе: \(m = (a+b)/2\), и путать их на экзамене опасно.

Что такое средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В треугольнике \(ABC\), где \(M\) — середина \(AB\), а \(N\) — середина \(AC\), отрезок \(MN\) называется средней линией, проведённой к стороне \(BC\).

Чтобы не путать её с другими отрезками:

• - Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны — одну точку на стороне, не две середины.
• - Высота опускается из вершины перпендикулярно на сторону.
• - Биссектриса делит угол при вершине пополам.

Средняя линия не проходит через вершины. Она лежит внутри треугольника и отсекает меньший треугольник, подобный исходному.

По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Если \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) соответственно, то:

\[ MN \parallel BC, \quad MN = \frac{BC}{2} \]

Доказательство через подобие. Треугольники \(AMN\) и \(ABC\) имеют общий угол при вершине \(A\). Поскольку \(M\) и \(N\) — середины сторон:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \]

По признаку подобия (две стороны пропорциональны, угол между ними общий) треугольник \(AMN\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \tfrac{1}{2}\). Из подобия вытекает \(MN = \tfrac{1}{2}BC\), а равенство соответствующих углов \(\angle AMN = \angle ABC\) гарантирует параллельность \(MN \parallel BC\).

Именно эта теорема о средней линии треугольника лежит в основе всех задач, где нужно найти длину отрезка по известной стороне.

По этой теме есть отдельный разбор: подобие треугольников.

Формула средней линии треугольника: длина и как найти

Основная формула нахождения средней линии треугольника — прямое следствие теоремы. Для каждой из трёх сторон:

Чтобы найти среднюю линию, достаточно знать длину стороны, которой она параллельна. Если эта сторона в задаче не дана, сначала находят её — через теорему Пифагора, теорему косинусов или другие соотношения, — а затем делят на два.

Пример (стиль ОГЭ). В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC = 14\) см. Точки \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(AC\). Найти \(MN\).

\[ MN = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см} \]

Формула средней линии треугольника для ОГЭ именно такова: видите середины двух сторон — третья сторона делится на два.

Свойства средней линии треугольника

Из теоремы вытекают три ключевых свойства средней линии треугольника.

Параллельность. Средняя линия параллельна стороне, которую не пересекает. Углы \(\angle AMN = \angle ABC\) и \(\angle ANM = \angle ACB\) — соответственные при параллельных прямых.

Равенство половине стороны. Длина средней линии ровно вдвое меньше параллельной стороны — не приближённо, а точно. Формулы сложнее деления на два здесь нет.

Деление на четыре равных треугольника. Если провести все три средние линии одновременно, они разобьют исходный треугольник на четыре треугольника, равных между собой по площади и подобных исходному с коэффициентом \(\tfrac{1}{2}\).

Почему площади совпадают. Каждый из четырёх малых треугольников подобен исходному с коэффициентом \(k = \tfrac{1}{2}\). У подобных фигур площади относятся как \(k^2\), то есть \(\tfrac{1}{4}\). Значит, каждый малый треугольник занимает четверть площади исходного — и все четыре вместе дают её целиком. Отсюда они равновелики.

По этой теме есть отдельный разбор: высота треугольника.

Площадь треугольника через среднюю линию: формула

Пусть средняя линия \(MN\) треугольника \(ABC\) параллельна стороне \(BC\) и соединяет середины \(AB\) и \(AC\). Она отсекает малый треугольник \(AMN\).

Здесь \(h'\) — высота из \(A\) на \(MN\), \(h\) — высота из \(A\) на \(BC\). Так как \(MN \parallel BC\) и \(M\), \(N\) — середины сторон, высота \(h'\) равна половине \(h\). Поэтому:

\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{MN}{BC} \cdot \frac{h'}{h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Площадь треугольника через среднюю линию позволяет сразу найти и площадь оставшейся трапеции \(BMNC\):

\[ S_{BMNC} = S_{ABC} - S_{AMN} = S_{ABC} - \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC} \]

Трапеция, отсекаемая средней линией, занимает три четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике средняя линия, параллельная гипотенузе, обладает замечательным свойством: она равна половине гипотенузы и совпадает с радиусом описанной окружности.

\[ m = \frac{c}{2} = R \]

Это следует из того, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Расстояние от этой точки до каждой вершины одинаково и равно \(\tfrac{c}{2}\) — это и есть радиус. Средняя линия, параллельная гипотенузе и соединяющая середины катетов, тоже равна \(\tfrac{c}{2}\).

Формула средней линии прямоугольного треугольника остаётся той же: половина параллельной стороны.

Пример. Прямоугольный треугольник с катетами \(a = 6\) и \(b = 8\). Найти гипотенузу, среднюю линию, параллельную гипотенузе, и радиус описанной окружности.

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

\[ m = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad R = \frac{c}{2} = 5 \]

Все три значения совпадают — это не случайность, а следствие общей теоремы.

Средняя линия трапеции: формула и отличие от треугольника

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Её формула принципиально отличается от формулы для треугольника:

В случае трапеции \(a\) и \(b\) — два основания. Формула трапеции — среднее арифметическое оснований, формула треугольника — просто половина одной стороны.

| | Треугольник | Трапеция | |---|---|---| | Что соединяет | Середины двух боковых сторон | Середины боковых сторон | | Параллельна | Третьей стороне | Обоим основаниям | | Формула | \(m = c/2\) | \(m = (a+b)/2\) | | Вырожденный случай | — | При \(b = 0\) трапеция вырождается в треугольник: \(m = a/2\) |

Связь очевидна: треугольник — это трапеция с нулевым основанием, поэтому формула трапеции при \(b = 0\) превращается в формулу треугольника. Именно это помогает запомнить оба выражения.

На экзамене сначала нужно определить фигуру — треугольник или трапеция — и только потом выбирать нужную формулу.

Как найти стороны и площади, если треугольник разделён средней линией

Когда средняя линия делит треугольник \(ABC\) на две части, возникают два стандартных вопроса: чему равны стороны и чему равны площади.

Стороны. Малый треугольник \(AMN\) подобен исходному \(ABC\) с коэффициентом \(k = \tfrac{1}{2}\):

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2} \]

Если известна средняя линия, а не сторона, используют обратное соотношение:

\[ BC = 2 \cdot MN, \quad AB = 2 \cdot AM, \quad AC = 2 \cdot AN \]

Площади. При коэффициенте подобия \(k = \tfrac{1}{2}\) площади относятся как \(k^2 = \tfrac{1}{4}\). Это стандартная ошибка — путать линейный коэффициент с коэффициентом площадей:

\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}, \quad S_{BMNC} = \frac{3}{4} S_{ABC} \]

Пример. Дано: средняя линия треугольника \(MN = 5\), площадь исходного треугольника \(S_{ABC} = 40\).

Частые вопросы

Как найти среднюю линию треугольника?

Нужно знать сторону, которой средняя линия параллельна — она соединяет середины двух других сторон. Применяют формулу \(m = c/2\), где \(c\) — эта сторона. Если сторона в условии не дана, её сначала находят по теореме Пифагора, теореме косинусов или другим данным, а затем делят результат пополам.

Как найти среднюю линию треугольника, если известны стороны малого треугольника?

Средняя линия равна половине параллельной стороны исходного треугольника. Если известны стороны малого треугольника, то стороны исходного вдвое больше, а значит параллельная сторона = \(2 \cdot\) соответствующая сторона малого треугольника. Формула: \(m = c/2\), где \(c\) — сторона исходного треугольника.

Как найти стороны и площади треугольника, разделённого средней линией?

Сторона, параллельная средней линии, вдвое длиннее неё: \(BC = 2 \cdot MN\). Остальные стороны исходного треугольника тоже вдвое длиннее соответствующих сторон малого. Площадь малого треугольника составляет \(\tfrac{1}{4}\) от площади исходного (отношение квадратов коэффициента подобия \(\tfrac{1}{2}\)), площадь трапеции — \(\tfrac{3}{4}\).

По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур.

---

Исправлено: во всех трёх блоках :::formulas убраны обёртки \( \) после ::. Остальное не тронуто.