Что нового в планиметрии ЕГЭ профиль 2026: структура экзамена и ключевые изменения
Спецификация 2026 года сохраняет стабильную структуру: планиметрия представлена в двух заданиях — базовом №1 (часть 1) и профильном №17 (часть 2). В КИМ зафиксированы темы: площади фигур, свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей, взаимное расположение прямых и окружностей, векторы и координатный метод. Балльная стоимость — 1 первичный балл за задание 1 и до 3 баллов за задание 17 по критериям К1–К3. Акцент смещён на задачи с вычислением площадей (треугольники, трапеции, вписанные четырёхугольники) и анализ конфигураций с окружностями. Вся планиметрия для егэ математика профиль 2026 строится на уверенном владении базовыми формулами и умении выбирать рациональный метод решения.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Базовая теория: определения, свойства фигур и критерии
Для обоснования решений в части 2 нужны чёткие определения. Площадь фигуры — числовая характеристика, неотрицательная, аддитивная и инвариантная при равнообразии. Высота — перпендикуляр от вершины к противоположной стороне (или её продолжению) в треугольнике, либо расстояние между параллельными основаниями в трапеции и параллелограмме. Радиус вписанной окружности существует для любого описанного многоугольника и связывает площадь с полупериметром. Радиус описанной окружности определяется для треугольника через произведение сторон и площадь.
Коротко
- Площадь фигуры неотрицательна, аддитивна и сохраняется при равнообразии
- Высота перпендикулярна основанию и «привязывает» большинство формул площади
- Для любого описанного многоугольника S = p·r
- Для треугольника R = abc / (4S)
Ключевые свойства: медиана делит треугольник на равновеликие части; биссектриса делит сторону пропорционально смежным сторонам; в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам; в ромбе они перпендикулярны; в прямоугольнике равны. Окружность: центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги; угол между хордой и касательной равен половине заключённой дуги.
Все формулы планиметрии для ЕГЭ профиль: шпаргалка по площадям
Ниже собрана полная шпаргалка по площадям — основной инструмент для планиметрия егэ профиль формулы. Таблица охватывает все фигуры из кодекса.
Дополнительные соотношения периметров и диагоналей приведены в базе знаний и полезны для вспомогательных вычислений.
Треугольники в ЕГЭ: виды, метрические соотношения и окружности
Разбор планиметрия треугольники егэ профиль требует знания частных случаев. Прямоугольный: теорема Пифагора, катет против 30° равен половине гипотенузы, медиана к гипотенузе равна её половине. Равнобедренный: основание a, боковые b, высота h = \(\sqrt{b^2 - a^2/4}\). Равносторонний: h = \(a\sqrt{3}/2, r = a\sqrt{3}/6, R = a\sqrt{3}/3, S = a^2\sqrt{3}/4\). Произвольный: теорема синусов \(a/\sin\alpha = 2R\), теорема косинусов \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\), формула Эйлера \(d^2 = R(R-2r\)) для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей. Связь элементов: высота \(h_a = 2S/a\), медиана \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\), биссектриса \(l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bc p(p-a)}\).
- Метод введения угла (тригонометрический)
- Шаг 1: Обозначь искомый угол переменной.
- Шаг 2: Найди угол через теорему косинусов или дополнительные данные (cosγ, затем sinγ).
- Шаг 3: Используй sin²γ + cos²γ = 1 для перехода к синусу (угол треугольника даёт sinγ ≥ 0).
- Шаг 4: Подставь в S = ½ab·sinγ.
Четырёхугольники и окружности: свойства, площади и взаимное расположение
Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали делятся пополам. Прямоугольник: все углы прямые, диагонали равны. Квадрат: соединяет свойства ромба и прямоугольника. Ромб: все стороны равны, диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Трапеция: только одна пара сторон параллельна. Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, диагонали равны, углы при основаниях равны. Прямоугольная трапеция: один угол прямой.
Окружности: длина окружности C = \(2\pi R\), площадь круга S = \(\pi R^2\). Сектор: S = \(\frac{1}{2}R^2\varphi\). Сегмент: разность сектора и треугольника. Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов 180°, площадь по Брахмагупте. Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны, S = p r. Для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями S = \(\frac{1}{2}d_1 d_2\).
Задание №1 (часть 1): базовые задачи на вычисление площадей и длин
Задание 1 планиметрия егэ математика профиль проверяет прямое применение формул. Типовые ситуации: прямоугольный треугольник с катетами (S = ½ab), треугольник со сторонами и углом (S = \(½ab\sin\gamma\)), трапеция с основаниями и высотой, ромб с диагоналями, круг/сектор. Часто встречаются фигуры на сетке — удобны метод разбиения или формула Пика.
- Выбор формулы по известным данным
- Шаг 1: Определи тип фигуры (треугольник, параллелограмм, трапеция, круг).
- Шаг 2: Выпиши, что известно: стороны, высоты, углы, диагонали, радиусы.
- Шаг 3: Сопоставь набор данных с формулой: две стороны и угол — S=½ab·sinγ; три стороны — Герон; сторона и высота — S=½a·h.
- Шаг 4: Подставь значения и вычисли, следя за единицами и градусной мерой углов.
Лайфхаки: в прямоугольном треугольнике ищи катеты; в равнобедренном — основание и высоту; на сетке считай координаты вершин. Типичные ошибки разобраны ниже.
Задание №17 (часть 2): стратегии решения сложных геометрических задач
Планиметрия егэ профиль 17 требует построения модели. Алгоритм: 1) прочтение и черновик; 2) введение переменных (стороны, углы, координаты); 3) выбор метода; 4) получение уравнений/систем; 5) вычисление искомой площади; 6) проверка реалистичности ответа.
Основные методы для 2 части:
- - Координатный: вершины в системе координат, площадь через определитель или разбиение.
- - Векторный: площадь = |векторное произведение| / 2.
- - Тригонометрический: введение угла, теоремы синусов/косинусов, S = \(½ab\sin\gamma\).
- - Разбиение площадей: медианы, диагонали, высоты делят фигуру на части с известными отношениями.
- - Метод вписанной окружности: S = p r, если есть r и можно найти p.
Типовые конфигурации: трапеция с вписанной окружностью (a+c=b+d), треугольник с медианами/биссектрисами (отношение площадей 2:1 или свойство биссектрисы), фигуры на сетке (формула Пика, дополнение до прямоугольника).
- Метод отношения площадей
- Шаг 1: Найди пару фигур с общей высотой или общим углом.
- Шаг 2: Запиши отношение площадей: по основаниям (общая высота) или по произведению сторон (общий угол).
- Шаг 3: Вырази искомую площадь через известную и найденное отношение.
- Шаг 4: При подобии используй квадрат коэффициента подобия.
Методы решения и типичные ошибки: как не потерять первичные баллы
Ключевые методы: разбиение фигуры, дополнение до прямоугольника, формула Пика, отношение площадей, введение угла, вписанная/описанная окружность. Топ-7 фатальных ошибок:
Для отработки используй тренажёры на сайте и сборники «ЕГЭ. Профиль. Планиметрия» (скачать книги егэ планиметрия математика профиль можно в разделе материалов). Регулярный разбор ошибок на пробниках даёт прирост 5–8 первичных баллов.
Частые вопросы
Какие формулы планиметрии обязательны к запоминанию для ЕГЭ профиль 2026? Обязательны: площади треугольника (через основание и высоту, две стороны и угол, Герон, через r и R), параллелограмма, ромба (через диагонали и через сторону с углом), трапеции, круга и сектора, правильного треугольника, вписанного четырёхугольника (Брахмагупта), произвольного четырёхугольника через диагонали и угол между ними. Также нужны теоремы синусов и косинусов, свойства медиан, биссектрис, высот.
В чем принципиальная разница между заданием №1 и заданием №17 по планиметрии? Задание №1 — базовое, на прямое подстановление в формулу или простое вычисление длины/площади по готовым числам. Задание №17 — профильное, требует построения математической модели, введения переменных, выбора метода (координатного, векторного, тригонометрического, отношения площадей) и обоснования всех шагов. Оценка №17 по критериям К1–К3, за логику и полноту решения.
Как решать задачи на площади фигур во 2-й части ЕГЭ, если не вижу подхода? Начни с черновика: перенеси все данные на рисунок, обознай неизвестные буквами. Попробуй разные методы по очереди: 1) проведи дополнительные отрезки (высоты, диагонали, средние линии); 2) введи угол и используй S = \(½ab\sin\gamma; 3\)) поставь фигуру в систему координат; 4) ищи подобные треугольники или равновеликие части; 5) проверь, есть ли вписанная/описанная окружность (S = p r или S = abc/4R). Часто помогает метод «разбиения» или «дополнения до прямоугольника».
Где найти полную шпаргалку по всей планиметрии для профильного уровня? В этой статье собрана таблица всех формул (раздел «Все формулы планиметрии для ЕГЭ профиль: шпаргалка по площадям»). Удобную печатную версию можно скачать в разделе «Материалы» на сайте almazmat.ru — там же лежат тренажёры по каждому типу задач.
Какие типичные ошибки в планиметрии стоят выпускникам первичные баллы? Чаще всего: забывают ½ в формуле треугольника, путают синус и косинус, пишут S = d₁d₂ для ромба без половины, опускают деление на 2 в формуле трапеции, используют k вместо k² при подобии площадей, смешивают площадь круга и длину окружности, применяют S = ½d₁d₂ к произвольному четырёхугольнику без проверки перпендикулярности диагоналей. Разбор этих ошибок дан в разделе «Методы решения и типичные ошибки».
По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур.
По этой теме есть отдельный разбор: разбор задания 1 по планиметрии.
По этой теме есть отдельный разбор: как решать задание 17 с параметром.
По этой теме есть отдельный разбор: теоремы о треугольниках.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.