Тригонометрические уравнения ЕГЭ профиль 6 задание: теория

Что входит в задание 6 ЕГЭ профиль: структура и оценивание

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение решать уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и их комбинации. Формат ответа — краткий (число, набор чисел, запись интервала или корней через запятую). За правильное решение начисляется 1 первичный балл. В демоверсии 2026 года структура задания сохранена: типовые уравнения на базовые свойства функций и равносильные преобразования.

Главное требование — каждое преобразование должно быть равносильным. Потеря или приобретение корней обнуляет балл. Обязательным этапом является нахождение области допустимых значений (ОДЗ) до начала преобразований и проверка найденных корней по ней. Игнорирование ОДЗ — частая причина потери балла.

❌ ошибкаОтвет системы \(\begin{cases} x\ge 12 \\ x>8 \end{cases}\) записать как объединение \((8;+\infty\))

✅ верноОтвет системы \(\begin{cases} x\ge 12 \\ x>8 \end{cases}\) записать как пересечение \([12;+\infty\))

Фигурная скобка означает систему — логическое «И», нужно пересечение множеств решений. Объединение даёт ответ для совокупности (квадратная скобка).

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Теория по заданию 6: основные тождества и свойства

Решение любого уравнения задания 6 опирается на определения функций и базовые тождества. Ниже — минимальный справочник, который нужно держать в голове.

Синус и косинус как проекции точки единичной окружности на оси координат

Основное показательное равносильное

\[a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x),\quad a>0,\ a\ne 1\]

Основное логарифмическое тождество

\[a^{\log_a b}=b,\qquad \log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\]

Свойства логарифма

\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a x^{p}=p\log_a x\]

Основное тригонометрическое тождество

\[\sin^2 x+\cos^2 x=1,\qquad 1+\operatorname{tg}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\]

Формула двойного угла

\[\cos 2x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x\]

Простейшее тригонометрическое (cos)

\[\cos x=a \Leftrightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z},\quad |a|\le 1\]

Простейшее тригонометрическое (sin)

\[\sin x=a \Leftrightarrow x=(-1)^{k}\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\quad |a|\le 1\]

Простейшее тригонометрическое (tg)

\[\operatorname{tg} x=a \Leftrightarrow x=\operatorname{arctg} a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z},\quad x\ne\tfrac{\pi}{2}+\pi n\]

Коротко

ОДЗ ищем ПЕРВЫМ делом и держим до конца — половина ошибок в задании 15 от забытого ОДЗ.
Основание логарифма/степени 0<a<1 переворачивает знак неравенства между аргументами.
Дробь никогда не умножаем на знаменатель с переменной — работаем методом интервалов.
\(\cos x=a\) даёт две серии \((\pm), \sin x=a\) — одну с \((-1)^k\), не путать.
Замена \(t=a^x\) требует t>0; \(t=\log_a x\) — любое; \(t=\sin x/\cos x\) — \(|t|\le1\).

ОДЗ (область допустимых значений) — множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении определены: знаменатели не нуль, подкоренные выражения чётной степени неотрицательны, аргументы логарифмов положительны, основания логарифмов положительны и не равны единице. Корни, не входящие в ОДЗ, — посторонние, их отбрасывают.

Показательные уравнения: метод замены и разложения

Стандартный алгоритм решения показательных уравнений в задании 6:

1. Привести все слагаемые к одному основанию.
2. Ввести замену переменной \(t=a^x\) (или \(t=a^{f(x)}\)). Обязательно зафиксировать ограничение: \(t>0\).
3. Получить алгебраическое уравнение (чаще всего квадратное) относительно \(t\).
4. Решить его, отбросить корни, не удовлетворяющие \(t>0\).
5. Сделать обратную замену и решить простейшие показательные уравнения.
6. Проверить корни по ОДЗ исходного уравнения.

Метод замены переменной
Шаг 1: Найти ОДЗ исходного выражения.
Шаг 2: Ввести новую переменную \(t=\varphi(x\)) (например \(t=2^x, t=\log_3 x, t=\sin x\)) и указать её ограничения (t>0 для показательной, \(|t|\le 1\) для синуса).
Шаг 3: Переписать задачу как уравнение/неравенство относительно t и решить его.
Шаг 4: Отбросить корни t, не удовлетворяющие ограничениям.
Шаг 5: Сделать обратную замену и решить простейшие уравнения относительно x.
Шаг 6: Сверить корни с ОДЗ.

Метод разложения на множители
Шаг 1: Перенести всё в левую часть, приравняв правую к нулю.
Шаг 2: Разложить левую часть на множители (вынесение общего, группировка, формулы сокращённого умножения, разложение трёхчлена).
Шаг 3: Применить правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные определены.
Шаг 4: Решить каждое уравнение-множитель отдельно.
Шаг 5: Объединить корни и проверить по ОДЗ.

Разложение квадратного трёхчлена

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\quad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

❌ ошибкаПосле замены \(t=2^x\) искать все t, включая \(t\le 0\)

✅ верноНаложить t>0 и отбросить неположительные корни до обратной замены

Показательная функция принимает только положительные значения; отрицательные t не дают действительных x и порождают ложные ответы.

Логарифмические уравнения: переход к равносильной системе

Ключевой приём — сведение уравнения к виду \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\). Поскольку логарифм инъективен на своей области определения, это равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \quad (\text{или } g(x)>0) \end{cases} \] Достаточно одного условия положительности, так как при \(f=g\) второе автоматически выполняется. Основание \(a>0, a\ne 1\).

Частая ловушка — свойство \(\log_a x^p = p\log_a x\). При чётном \(p\) оно сужает ОДЗ: левая часть допускает отрицательные \(x\), правая — нет. Правильно: \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\). Без модуля теряются отрицательные корни.

Логарифмическое уравнение

\[\log_a f(x)=\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0\ (\text{или } g(x)>0)\end{cases}\]

Переход к равносильной системе (иррациональные и логарифмические)
Шаг 1: Записать условия существования (подкоренное \(\ge 0\), аргумент \(\log >0\), основание >0 и \(\ne 1\)).
Шаг 2: Заменить исходное уравнение/неравенство равносильной системой (например \(\sqrt{f}=g \Leftrightarrow \{g\ge 0,\ f=g^2\}\)).
Шаг 3: Решить каждое условие системы.
Шаг 4: Пересечь все решения (логическое И).
Шаг 5: Записать пересечение как ответ, проверка ОДЗ уже учтена.

❌ ошибка\(\log_a x^2=2\log_a x\) при решении уравнения без оговорок

✅ верно\(\log_a x^2=2\log_a |x|\), ОДЗ левой части \(x\ne 0\) шире правой (x>0)

Формула вынесения показателя сужает ОДЗ и теряет отрицательные корни; нужно писать модуль или разбирать знак.

❌ ошибкаВ логарифмическом неравенстве \(\log_{0{,}5} x>1\) записать \(x>0{,}5\)

✅ верноОснование 0,5<1 — знак переворачивается: \(0<x<0{,}5\)

При основании между 0 и 1 логарифм убывает, поэтому неравенство между аргументами меняет знак; забыли учесть тип монотонности.

Тригонометрические уравнения: простейшие типы и отбор корней

В задании 6 встречаются уравнения, сводимые к простейшим: \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\operatorname{tg} x=a\), \(\operatorname{ctg} x=a\). Общие ряды решений записываются через параметр \(n\in\mathbb{Z}\) (или \(k\)).

На окружности отмечены решения sin x = 1/2: π/6 и 5π/6

Для отбора корней на заданном отрезке \([ \alpha; \beta ]\) используют двойное неравенство: подставляют целые значения параметра в общую формулу корня и проверяем попадание в интервал. Надёжнее перебирать \(n\) для каждой серии отдельно.

Решение тригонометрического уравнения с отбором корней (задание 13)
Шаг 1: Найти ОДЗ (если есть тангенс, котангенс, дроби или логарифмы).
Шаг 2: Свести к одной функции с помощью тождеств/формул двойного угла или разложить на множители.
Шаг 3: Решить простейшие уравнения, выписать общие серии корней с параметром \(n\in\mathbb{Z}\).
Шаг 4: Исключить корни, нарушающие ОДЗ.
Шаг 5: Отобрать корни на отрезке: подставить целые n в двойное неравенство \(a\le x\le b\) и найти подходящие, либо изобразить на окружности.
Шаг 6: Записать оба ответа: общее решение (п. а) и отобранные корни (п. б).

❌ ошибкаРешить \(\cos x=\tfrac12\) и в ответ отбора взять \(x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\), забыв вторую серию

✅ верноУчесть обе серии \(x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\) и перебрать n для обеих

Косинус даёт два семейства корней; отбрасывание одной серии теряет половину корней на отрезке.

Смешанные и нестандартные уравнения задания 6

Сюда попадают уравнения, где стандартные приёмы не срабатывают сразу: разные основания, сумма показательных и логарифмических функций, уравнения с модулями, задачи на монотонность.

Метод замены работает, если уравнение сводится к квадратному относительно \(t=a^x\) или \(t=\log_a x\). Важно не забыть ограничения на \(t\).

Функционально-графический метод (оценка/монотонность) применяется, когда левую и правую части можно оценить или доказать их строгую монотонность на области определения. Если \(f(x)\) возрастает, а \(g(x)\) убывает, уравнение \(f(x)=g(x)\) имеет не более одного корня. Часто корень угадывают подбором (целые числа, простые дроби), а затем доказывают единственность.

Рационализация позволяет убрать логарифмы/показательные в неравенствах, заменяя \(\log_a f\) на \((a-1)(f-1)\) и \(a^f-a^g\) на \((a-1)(f-g)\). Полученное рациональное неравенство решается методом интервалов.

Функционально-графический метод (оценка/монотонность)
Шаг 1: Оценить области значений левой и правой частей (например левая \(\le 1\), правая \(\ge 1\)).
Шаг 2: Если \(f(x)\le C\le g(x\)), равенство возможно лишь при f=g=C — свести к системе.
Шаг 3: Либо использовать строгую монотонность: если f возрастает, а g убывает, корень не более одного — угадать и обосновать единственность.
Шаг 4: Проверить найденный корень подстановкой.

Метод рационализации для показательных и логарифмических неравенств
Шаг 1: Найти ОДЗ и зафиксировать его как систему условий.
Шаг 2: Перенести всё в одну часть, привести к сравнению с нулём.
Шаг 3: Заменить каждый множитель-разность на равнознаковый рациональный: \(\log_a f\) заменить на (a-1)(f-1); \(a^f-a^g\) на (a-1)(f-g).
Шаг 4: Получить рациональное неравенство и решить методом интервалов.
Шаг 5: Пересечь решение с ОДЗ — это финальный ответ.

Дробь равна нулю (рациональное уравнение)

\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} P(x)=0 \\ Q(x)\ne 0 \end{cases}\]

❌ ошибкаУмножить неравенство \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) на (x+2) и решить x-1>0

✅ верноОставить дробь и применить метод интервалов, выколов x=-2

Знак (x+2) неизвестен, при отрицательном множителе знак неравенства меняется — теряется целый промежуток решений.

❌ ошибкаВ неравенстве \((x-1)^2(x+2)\le 0\) отбросить x=1, раз через корень чётной кратности знак не меняется

✅ верноx=1 обращает левую часть в нуль, а неравенство нестрогое — точку включаем: \(x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\)

У нестрогого неравенства нули левой части входят в решение; корень чётной кратности даёт отдельную (изолированную) точку, терять её нельзя.

Топ ошибок в задании 6 и чек-лист самопроверки

Сборник частых ловушек, которые стоят балла на экзамене.

❌ ошибкаИз \(\sqrt{f(x)}=x\) найти \(f=x^2\) и взять все корни

✅ верноРешать систему \(\{x\ge 0,\ f(x)=x^2\}\)

Возведение в квадрат неравносильно: появляются посторонние корни, где правая часть была отрицательна.

❌ ошибкаПосле замены \(t=2^x\) искать все t, включая \(t\le 0\)

✅ верноНаложить t>0 и отбросить неположительные корни до обратной замены

❌ ошибка\(\log_a x^2=2\log_a x\) при решении уравнения без оговорок

✅ верно\(\log_a x^2=2\log_a |x|\), ОДЗ левой части \(x\ne 0\) шире правой (x>0)

❌ ошибкаОтвет системы \(\begin{cases} x\ge 12 \\ x>8 \end{cases}\) записать как объединение \((8;+\infty\))

✅ верноОтвет системы \(\begin{cases} x\ge 12 \\ x>8 \end{cases}\) записать как пересечение \([12;+\infty\))

Фигурная скобка (система) требует выполнения всех неравенств сразу — берём пересечение; квадратная (совокупность) — хотя бы одного, тогда объединение. Перепутанные скобки дают разный ответ.

❌ ошибкаВ неравенстве \((x-1)^2(x+2)\le 0\) отбросить x=1, раз через корень чётной кратности знак не меняется

✅ верноx=1 обращает левую часть в нуль, а неравенство нестрогое — точку включаем: \(x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\)

Чек-лист перед сдачей работы:

1. ОДЗ найдено для каждого уравнения и записано в начале решения.
2. Все преобразования равносильны (стрелочки \(\Leftrightarrow\) или системы со скобкой \(\{\)).
3. После замены \(t=\varphi(x)\) ограничения на \(t\) указаны и проверены до обратной замены.
4. В логарифмических уравнениях при вынесении показателя написан модуль: \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\).
5. В тригонометрических уравнениях для \(\cos x=a\) записаны обе серии \(\pm\arccos a + 2\pi n\).
6. Отбор корней на интервале выполнен двойным неравенством для каждой серии отдельно.
7. Ответ системы — пересечение, ответ совокупности — объединение.
8. В неравенствах нули знаменателя выколоты, нули числителя включены/не включены в соответствии со знаком (\(\ge/\le\) или \(>/<\)).
9. Конечный ответ записан в требуемом формате (число, корни через запятую, интервал).

Частые вопросы

Какие уравнения попадаются в задании 6 профильного ЕГЭ? Показательные, логарифмические, тригонометрические и их смешанные варианты. Часто требуется свести уравнение к квадратному через замену переменной или разложить на множители. Встречаются уравнения с модулями и задачи на монотонность функций.

Как правильно отбирать корни тригонометрического уравнения на интервале? Запишите общие серии решений с параметром \(n\in\mathbb{Z}\). Для каждой серии составьте двойное неравенство \( \alpha \le x(n) \le \beta \) и найдите все целые \(n\), удовлетворяющие ему. Перечислите соответствующие значения \(x\). Можно использовать единичную окружность для наглядности.

Что такое ОДЗ и зачем его проверять в логарифмических уравнениях? ОДЗ — множество значений переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл (аргументы логарифмов > 0, основания > 0 и ≠ 1, знаменатели ≠ 0 и т.д.). При потенцировании или снятии логарифмов могут появиться посторонние корни, не принадлежащие ОДЗ. Их нужно отсеять, иначе ответ неверен.

Можно ли умножать неравенство на переменную в задании 6? Нет, знак выражения с переменной неизвестен. Умножение на отрицательное меняет знак неравенства, что приведёт к потере решений. Всегда переносите всё в одну часть, приводите к общему знаменателю и решайте методом интервалов.

Какие изменения в задании 6 ожидаются в ЕГЭ 2026? Структура и сложность задания 6 остаются стабильными. Основной акцент — на равносильных преобразованиях, работе с ОДЗ и отборе корней. Спекулятивные изменения не анонсировались, ориентируйтесь на открытый банк заданий ФИПИ и демоверсию текущего года.

Как записать ответ в задании 6, если корней нет? Записывается число 0 (ноль). Если ответ — пустое множество, в бланк вписывается 0. Не пишите «нет корней», «пусто» или значок \(\varnothing\) — проверяющая система ожидает числовой ответ.

По этой теме есть отдельный разбор: как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрическая окружность и определения синуса, косинуса и тангенса.

По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрия в ЕГЭ: формулы и методы решения.

PDF бесплатно