Тригонометрическая окружность: тангенс, синус, косинус

Что такое тригонометрическая окружность и как она устроена

Для изучения тригонометрии в 10 классе базовым инструментом является единичная тригонометрическая окружность. Это окружность с радиусом, равным 1, центр которой совпадает с началом координат в системе декартовых координат.

Определение функций через окружность позволяет уйти от простого запоминания значений в прямоугольных треугольниках к пониманию сути процессов. Для любого действительного числа \( t \) на окружности откладывается дуга длиной \( |t| \) от точки \( (1;0) \). Если \( t > 0 \), движение идет против часовой стрелки, если \( t < 0 \) — по часовой. Косинусом числа \( t \) называют абсциссу (координату \( x \)) полученной точки, а синусом — её ординату (координату \( y \)).

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Синус и косинус на тригонометрической окружности

Чтобы понять, как работают синус косинус тангенс котангенс в тригонометрической окружности, нужно рассмотреть её оси координат.

Косинус угла — проекция точки M на ось x, синус — проекция на ось y

Ось абсцисс (горизонтальная ось \( OX \)) отвечает за значения косинуса. Координата \( x \) точки на окружности всегда лежит в пределах от \(-1\) до \( 1\). Ось ординат (вертикальная ось \( OY \)) — это ось синуса.

Здесь важно помнить про основное тригонометрическое тождество:

Основное тригонометрическое тождество

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

Это равенство — прямое следствие теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, осями и касательной.

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Для построения функций тангенса и котангенса используются вспомогательные линии. Тангенс на тригонометрической окружности определяется через касательную, проведенную к окружности в точке \( (1;0) \). Эта прямая называется осью тангенса на тригонометрической окружности.

Если провести луч через центр и точку на окружности, то точка его пересечения с осью тангенса и будет соответствовать значению тангенса. Аналогично строится тригонометрическая окружность с тангенсом и котангенсом: котангенс — это точка пересечения луча с осью, параллельной оси \( OX \) и проходящей через точку \( (0;1) \).

Луч через точку M отсекает tg α на оси тангенсов и ctg α на оси котангенсов

Таким образом, тригонометрическая окружность тангенс и котангенс позволяет визуализировать значения функций:

* Тангенс — это отношение синуса к косинусу: \(\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}\) (при \(\cos t \neq 0\)).
* Котангенс — это отношение косинуса к синусу: \(\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}\) (при \(\sin t \neq 0\)).

Использование такой тригонометрической окружности с тангенсом помогает понять, почему значения тангенса могут уходить в бесконечность (когда луч параллелен оси тангенса).

Знаки тригонометрических функций и их периоды

При движении по окружности точка попадает в разные четверти, что определяет тригонометрическая окружность знаки всех функций.

1. I четверть (\(0\) до \(\pi/2\)): все функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) положительны.
2. II четверть (\(\pi/2\) до \(\pi\)): синус \(> 0\), косинус \(< 0\), тангенс \(< 0\), котангенс \(< 0\).
3. III четверть (\(\pi\) до \(3\pi/2\)): синус \(< 0\), косинус \(< 0\), тангенс \(> 0\), котангенс \(> 0\).
4. IV четверть (\(3\pi/2\) до \(2\pi\)): синус \(< 0\), косинус \(> 0\), тангенс \(< 0\), котангенс \(< 0\).

Важно учитывать период функции:

* У синуса и косинуса период \(T = 2\pi\) (полный круг).
* У тангенса и котангенса период \(T = \pi\) (полукруг).

Тригонометрическая таблица значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Чтобы не вычислять значения каждый раз, используется тригонометрическая таблица значений. Для углов первой четверти (острых углов) значения стандартны.

Тригонометрическая таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для основных углов:

| Угол \(\alpha\) | \(0^\circ\) (\(0\)) | \(30^\circ\) (\(\pi/6\)) | \(45^\circ\) (\(\pi/4\)) | \(60^\circ\) (\(\pi/3\)) | \(90^\circ\) (\(\pi/2\)) | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | \(\sin \alpha\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt{2}/2\) | \(\sqrt{3}/2\) | \(1\) | | \(\cos \alpha\) | \(1\) | \(\sqrt{3}/2\) | \(\sqrt{2}/2\) | \(1/2\) | \(0\) | | \(\tg \alpha\) | \(0\) | \(1/\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | — | | \(\ctg \alpha\) | — | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(1/\sqrt{3}\) | \(0\) |

Обратите внимание на закономерность: синусы углов \(0, 30, 45, 60, 90^\circ\) это \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\). Косинусы идут в обратном порядке. Если нужно найти значения тангенса на тригонометрической окружности для других углов, достаточно определить четверть и использовать формулы приведения.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности

Окружность — лучший способ избежать ошибок при отборе корней.

Отбор корней на окружности: точки π/6 и 5π/6, где sin x = 1/2

Метод отбора корней на отрезке
Шаг 1. Решить уравнение и записать все серии корней в общем виде (с \(+2\pi n\) или \(+\pi n\)).
Шаг 2. Нанести точки, соответствующие корням, на тригонометрическую окружность.
Шаг 3. Отметить на окружности заданный промежуток (отрезки).
Шаг 4. Выбрать только те точки, которые попали в нужный интервал.

При решении важно учитывать учёт ОДЗ при отборе: если в исходном уравнении был тангенс, исключите точки, где \(\cos x = 0\).

❌ ошибка\(\sin x = 1{,}2 \Rightarrow x = \arcsin 1{,}2\)

✅ верноРешений нет, так как \(|1{,}2| > 1\)

Синус и косинус ограничены значениями \([-1; 1]\)

❌ ошибка\(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n\)

✅ верно\(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)

У косинуса две симметричные серии корней

❌ ошибка\(\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha + \sin \beta\)

✅ верно\(\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

Функции нелинейны, нельзя раскрывать скобки почленно

Коротко

Период синуса и косинуса — \(2\pi\), тангенса — \(\pi\).
Если \(|a| > 1\), уравнения \(\sin x = a\) и \(\cos x = a\) не имеют решений.
Косинус — чётная функция, синус и тангенс — нечётные.
При отборе корней всегда проверяйте ОДЗ.

Частые вопросы

Как определить знак тангенса по тригонометрической окружности? Нужно посмотреть, в какой четверти находится угол. В I и III четвертях тангенс положителен, во II и IV — отрицателен.

Как найти значения синуса и косинуса без таблицы? Используйте единичную окружность. Косинус — это координата \(x\) точки, синус — координата \(y\). Если известен один, второй можно найти через основное тотогощество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), не забывая проверять знак по четверти.

Почему тангенс не определен в некоторых точках? Тангенс — это \(\sin x / \cos x\). Деление на ноль невозможно, поэтому в точках, где \(\cos x = 0\) (это \(90^\circ, 270^\circ\) и т.д.), тангенс не существует.

Как быстро найти значения тригонометрических функций для углов 30, 45, 60 градусов? Запомните «ряд» синусов: \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\). Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) это будут значения \(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\) соответственно. Косинусы будут идти в обратном порядке.

По этой теме есть отдельный разбор: решать тригонометрические уравнения с помощью окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: лайфхаки для быстрого решения тригонометрических уравнений на ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: теоремы синусов и косинусов для треугольников.

PDF бесплатно