Чевианы в треугольнике: AP:PA1 и BP:PB1 — задание 17 ЕГЭ

Чевианы — один из самых частых инструментов в задании 17 ЕГЭ по геометрии: нужно найти отношения отрезков AP:PA1, BP:PB1 или AC1:C1B, зная лишь два из трёх. В статье объясним теорему Чевы и метод площадей, разберём три типа прототипов из реальных вариантов и укажем ошибки, которые режут баллы.

---

Чевиана в треугольнике — что это такое в геометрии

Чевиана в треугольнике это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (или на её продолжении).

В треугольнике ABC стандартные обозначения выглядят так:

• - \(AA_1\) — чевиана из вершины A; точка \(A_1\) лежит на стороне BC
• - \(BB_1\) — чевиана из вершины B; точка \(B_1\) лежит на стороне AC
• - \(CC_1\) — чевиана из вершины C; точка \(C_1\) лежит на стороне AB

` A \(/|\\) / | \(\\) / | \(\\) / C1|B1 \(\\) / P \(\\) / / \(\\) \(\\) B-----------C A1 `

Чевиана это в геометрии более широкое понятие, чем кажется: три классических построения в треугольнике — лишь частные случаи.

• - Медиана: \(A_1\) делит BC пополам, то есть \(BA_1 : A_1C = 1:1\).
• - Биссектриса: \(A_1\) делит BC в отношении \(BA_1 : A_1C = AB : AC\) (теорема о биссектрисе).
• - Высота: \(A_1\) — основание перпендикуляра из A на BC.

Во всех трёх случаях отрезок соединяет вершину с точкой на противоположной стороне — значит, это чевианы. Именно поэтому все три разбираются единым аппаратом.

---

Известные чевианы треугольника: свойства медианы, биссектрисы, высоты

Свойства чевиан треугольника удобно держать в одной таблице:

| Чевиана | Где лежит \(A_1\) на BC | Отношение \(BA_1:A_1C\) | Точка пересечения всех трёх | |---|---|---|---| | Медиана | Середина стороны | \(1:1\) | Центроид (тяжёлый центр), делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины | | Биссектриса | Делит сторону пропорционально смежным сторонам | \(AB:AC\) | Инцентр (центр вписанной окружности) | | Высота | Основание перпендикуляра | Зависит от углов | Ортоцентр |

Свойства чевианы в равных треугольниках: если два треугольника равны, то соответствующие чевианы (например, медианы, проведённые из соответствующих вершин) тоже равны. Это следует из того, что равенство треугольников сохраняет все расстояния и углы.

Важное свойство медианы — она разбивает треугольник на два равновеликих треугольника:

\[S_{ABM} = S_{CBM}, \quad M \text{ — середина } AC\]

Это работает потому, что оба треугольника имеют общую высоту из B, а основания AM и MC равны. Такой аргумент — основа метода площадей, который применяют в задании 17.

---

Теорема Чевы: условие, когда чевианы пересекаются в одной точке

Теорема Чевы — главный инструмент для работы с конкурентными чевианами.

Формулировка. Чевианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) треугольника ABC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется:

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 \]

Произведение трёх отношений, взятых по обходу контура треугольника, равно единице.

Как пользоваться в задаче. Если даны два из трёх отношений, третье находится прямым делением:

\[ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A}} \]

Пример: если \(AC_1:C_1B = 2:1\) и \(CB_1:B_1A = 3:1\), то

\[ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1}} = \frac{1}{6} \]

то есть \(BA_1:A_1C = 1:6\). Это вводный шаг: сначала восстановить все три отношения на сторонах, затем переходить к отношению AP:PA1 на самой чевиане.

---

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Чевы.

Как найти отношение AP:PA1 — метод площадей

Теорема Чевы говорит, пересекаются ли чевианы в одной точке, но не даёт напрямую отношение AP:PA1. Для этого используют метод площадей.

Ключевая идея. Пусть чевианы пересекаются в точке P. Рассмотрим чевиану \(AA_1\). Она разбивает треугольник ABC на два треугольника: \(ABА_1\) и \(ACA_1\). Точка P лежит на \(AA_1\), и значит делит эту чевиану на отрезки AP и \(PA_1\).

Возьмём треугольники \(BАА_1\) и \(CАА_1\). У них общее основание \(AA_1\), а высоты опускаются из B и C на прямую \(AA_1\). Но удобнее смотреть иначе.

Рассмотрим площади треугольников ABP и \(A_1BP\): у них общая высота из B на прямую \(AA_1\), а основания AP и \(PA_1\) лежат на этой прямой:

\[ \frac{S_{ABP}}{S_{A_1BP}} = \frac{AP}{PA_1} \]

Аналогично для треугольников ACP и \(A_1CP\) с высотой из C:

\[ \frac{S_{ACP}}{S_{A_1CP}} = \frac{AP}{PA_1} \]

Складывая числители и знаменатели:

\[ \frac{AP}{PA_1} = \frac{S_{ABP} + S_{ACP}}{S_{A_1BP} + S_{A_1CP}} \]

Но \(S_{ABP} + S_{ACP} = S_{ABC} - S_{A_1BC}\)... Проще заметить, что \(S_{ABP} + S_{ACP} = S_{ABС} - S_{PBC}\), а \(S_{A_1BP} + S_{A_1CP} = S_{A_1BC}\). Поэтому:

\[ \boxed{\frac{AP}{PA_1} = \frac{S_{ABС} - S_{A_1BC}}{S_{A_1BC}}} \]

Но самый прямой путь — через отношения на сторонах, которые уже даёт теорема Чевы.

Рабочая формула через данные отношения. Если известны \(CB_1:B_1A = m\) и \(BA_1:A_1C = n\), то через площади (обозначив \(S = S_{ABC}\)) можно выразить \(AP:PA_1\) напрямую. В практике задания 17 делают так:

На практике в задании 17 идут более коротким путём — сразу через введение переменной площади и цепочку отношений. Конкретные шаги показаны в разборе прототипов ниже.

---

Теорема Менелая для точки X: находим B1X:XC1 и AX:XP

Когда в условии задачи появляется дополнительная точка X — пересечение чевианы AP с отрезком \(B_1C_1\) — теорема Чевы уже не поможет. Здесь нужна теорема Менелая.

Отличие от теоремы Чевы. Секущая (трансверсаль) пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей; три точки пересечения лежат на одной прямой (коллинеарны). У Чевы — три чевианы пересекаются в одной внутренней точке.

Внешне формула та же самая, что у Чевы — произведение трёх отношений равно единице — но конфигурация принципиально другая: одна из точек обязательно лежит на продолжении стороны, а не на самой стороне.

Связка «Менелай + площади» для точки X. Пусть чевианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке P, а прямая AP продолжена до пересечения с прямой \(B_1C_1\) в точке X.

Применяем теорему Менелая к треугольнику \(ABС\) и секущей прямой \(B_1C_1\) (продлённой до точки X):

Но удобнее брать вспомогательный треугольник. Рассмотрим треугольник \(AB_1C_1\) и секущую через P (или X). Выбор треугольника зависит от того, какие точки лежат на каких сторонах.

Подробный числовой разбор — в разделе с прототипами.

---

Длина чевианы: формула и когда она нужна

В большинстве задач ЕГЭ на чевианы ищут отношения, а не длину. Но иногда задача формулируется иначе: дан треугольник со сторонами, нужно найти длину медианы или биссектрисы.

Обобщённая формула (теорема Стюарта) для длины чевианы \(AA_1\), где \(BA_1 : A_1C = m : n\):

\[ AA_1^2 = \frac{m \cdot AC^2 + n \cdot AB^2}{m+n} - \frac{m \cdot n \cdot BC^2}{(m+n)^2} \]

Для медианы \(m = n = 1\):

\[ m_a^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4} \]

В задании 17 длина чевианы нужна, когда в условии явно заданы стороны треугольника и нет данных об отношениях. Если же даны только отношения — применяют теорему Чевы и метод площадей, а длины в явном виде не фигурируют.

---

Разбор прототипов ЕГЭ: AP:PA1, BP:PB1, AC1:C1B шаг за шагом

Прототип 1: найти AP:PA1 по двум данным отношениям

Условие. В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P. Известно, что AC1:C1B=2:1, AB1:B1C=1:3. Найдите отношение AP:PA1.

Решение.

Шаг 1. По теореме Чевы найдём \(BA_1:A_1C\).

Запишем теорему Чевы:

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 \]

Здесь \(AC_1:C_1B = 2:1\), то есть \(\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{2}{1}\).

Для \(BB_1\): \(AB_1:B_1C = 1:3\). Нам нужно \(\frac{CB_1}{B_1A}\). Заметим, что \(CB_1 = B_1C\) и \(B_1A = AB_1\), поэтому \(\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{3}{1}\).

Подставляем:

\[ \frac{2}{1} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{3}{1} = 1 \implies \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{6} \]

То есть \(BA_1:A_1C = 1:6\).

Шаг 2. Найдём \(AP:PA_1\) методом площадей.

Введём переменную: пусть \(S_{A_1BC} = S_0\). Тогда:

\[ S_{ABC} = S_{A_1BC} \cdot \frac{BA_1 + A_1C}{BA_1} \cdot \frac{BA_1}{BA_1+A_1C} \]

Нет, проще через отношение \(BA_1:A_1C = 1:6\): чевиана \(AA_1\) делит BC в отношении \(BA_1:A_1C = 1:6\), значит:

\[ \frac{S_{ABА_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{6} \]

Пусть \(S_{ABА_1} = t\), тогда \(S_{ACA_1} = 6t\) и \(S_{ABC} = 7t\).

Теперь заметим, что точка P лежит на \(AA_1\). Из треугольника \(ABА_1\) точка P делит его на \(ABP\) и \(PBА_1\). Также P лежит на \(BB_1\), и \(AB_1:B_1C = 1:3\), то есть \(B_1\) делит AC в отношении \(1:3\) от A.

Чевиана \(BB_1\) делит площадь: \(\frac{S_{ABB_1}}{S_{CBB_1}} = \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{1}{3}\).

Значит \(S_{ABB_1} = \frac{1}{3} S_{CBB_1}\), и \(S_{ABB_1} + S_{CBB_1} = 7t\), откуда \(S_{ABB_1} = \frac{7t}{4}\), \(S_{CBB_1} = \frac{21t}{4}\).

Но нам нужен более прямой путь. Используем:

\[ \frac{AP}{PA_1} = \frac{S_{ABP} + S_{ACP}}{S_{A_1BP} + S_{A_1CP}} \]

Назовём \(S_{ABP} = s_1\), \(S_{BCP} = s_2\), \(S_{ACP} = s_3\), тогда \(s_1 + s_2 + s_3 = 7t\).

Из чевианы \(BB_1\) (\(AB_1:B_1C = 1:3\)):

\[ \frac{S_{ABP}}{S_{CBP}} = \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{1}{3} \implies \frac{s_1}{s_2} = \frac{1}{3} \]

Из чевианы \(CC_1\) (\(AC_1:C_1B = 2:1\)):

\[ \frac{S_{ACP}}{S_{BCP}} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{2}{1} \implies \frac{s_3}{s_2} = \frac{2}{1} \]

Пусть \(s_2 = 3k\), тогда \(s_1 = k\), \(s_3 = 6k\). Сумма: \(10k = 7t\), откуда \(k = \frac{7t}{10}\).

Теперь:

\[ \frac{AP}{PA_1} = \frac{s_1 + s_3}{s_2} = \frac{k + 6k}{3k} = \frac{7k}{3k} = \frac{7}{3} \]

Ответ: \(AP:PA_1 = 7:3\).

Проверка через теорему Чевы: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{6}{6} = 1\). ✓

---

Прототип 2: найти все три отношения по двум данным

Условие. Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB1:B1C=2:1, BA1:A1C=8:1. Найдите следующие отношения: AC1:C1B=?, AP:PA1=?, BP:PB1=?

Решение.

Шаг 1. Найдём \(AC_1:C_1B\) из теоремы Чевы.

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 \]

\(\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{8}{1}\), \(\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{B_1C}{AB_1} = \frac{1}{2}\).

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4} \]

\(AC_1:C_1B = 1:4\).

Шаг 2. Найдём \(AP:PA_1\).

Пусть \(S_{ABP} = s_1\), \(S_{BCP} = s_2\), \(S_{ACP} = s_3\).

Из чевианы \(BB_1\) (\(AB_1:B_1C = 2:1\), значит \(CB_1:B_1A = 1:2\)):

\[ \frac{s_1}{s_2} = \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{1} \]

Из чевианы \(CC_1\) (\(AC_1:C_1B = 1:4\)):

\[ \frac{s_3}{s_2} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4} \]

Пусть \(s_2 = 4k\), тогда \(s_1 = 8k\), \(s_3 = k\).

\[ \frac{AP}{PA_1} = \frac{s_1 + s_3}{s_2} = \frac{8k + k}{4k} = \frac{9}{4} \]

\(AP:PA_1 = 9:4\).

Шаг 3. Найдём \(BP:PB_1\).

\[ \frac{BP}{PB_1} = \frac{s_1 + s_2}{s_3} = \frac{8k + 4k}{k} = \frac{12}{1} \]

\(BP:PB_1 = 12:1\).

Проверка: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{2} = 1\). ✓

---

Прототип 3: найти B1X:XC1 и AX:XP через теорему Менелая

Условие. Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P, отрезки AP и B1C1 пересекаются в точке X. Известно, что AC1:C1B=2:3, BP:PB1=3:1. Найдите следующие отношения: B1X:XC1=?, AX:XP=?

Решение.

Шаг 1. Найдём \(BA_1:A_1C\) и \(CB_1:B_1A\).

Из \(BP:PB_1 = 3:1\) и метода площадей:

\(\frac{BP}{PB_1} = \frac{s_1 + s_2}{s_3}\). Обозначим \(s_1 + s_2 = 3s_3\), то есть \(s_1 + s_2 = 3s_3\).

Из чевианы \(CC_1\) (\(AC_1:C_1B = 2:3\)):

\[ \frac{s_3}{s_2} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{2}{3} \implies s_3 = \frac{2}{3}s_2 \]

Из \(s_1 + s_2 = 3s_3 = 3 \cdot \frac{2}{3}s_2 = 2s_2\), получаем \(s_1 = s_2\).

Из чевианы \(BB_1\): \(\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{s_1}{s_2} = 1\), то есть \(AB_1:B_1C = 1:1\), значит \(B_1\) — середина AC, и \(CB_1:B_1A = 1:1\).

Из теоремы Чевы:

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 \implies \frac{2}{3} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{1}{1} = 1 \implies \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{2} \]

Шаг 2. Найдём \(B_1X:XC_1\) с помощью теоремы Менелая.

Прямая через точки B1, X, C1 является секущей. Рассмотрим треугольник ABP и секущую, проходящую через \(C_1\) (на AB), \(X\) (на AP) и \(B_1\) (на продолжении BP).

Применим теорему Менелая к треугольнику \(APB\) и секущей прямой \(C_1XB_1\):

• - Точка \(C_1\) на стороне AB: \(AC_1:C_1B = 2:3\)
• - Точка \(X\) на стороне AP
• - Точка \(B_1\) на стороне PB (или продолжении)

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{B\,B_1}{B_1P} \cdot \frac{PX}{XA} = 1 \]

Здесь \(BB_1:B_1P\). Так как \(BP:PB_1 = 3:1\), то \(B_1\) делит BP так: \(PB_1 = 1\), \(BP = 3\), значит \(BB_1 = BP + PB_1 = 3+1 = 4\) (если B1 за P). Нужно аккуратно определить порядок точек.

Поскольку \(B_1\) — внутренняя точка AC (середина), а P — внутренняя точка чевианы BB1, порядок на чевиане BB1: B, P, B1 (P между B и B1). Тогда \(BP:PB_1 = 3:1\) означает \(BB_1 = 4\) частей, P на 3/4 от B.

Для теоремы Менелая к треугольнику \(APB\) (вершины A, P, B) и секущей \(C_1XB_1\):

• - \(C_1\) на AB: \(\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{2}{3}\)
• - \(B_1\) на продолжении PB за B: нет, B1 на BP между B и P...

Переформулируем. Возьмём треугольник \(A B P\) с секущей прямой, проходящей через \(C_1 \in AB\), \(X \in AP\), и пересекающей продолжение PB в точке \(B_1\).

Если порядок на прямой BB1: B - P - B1, то B1 лежит на продолжении стороны PB треугольника APB за точку B1 (то есть B1 снаружи отрезка PB). Тогда теорема Менелая:

\[ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{B B_1^}{B_1^ P} \cdot \frac{PX}{XA} = 1 \]

где \(B B_1^*\) — отрезок от B до B1 по прямой BP. При порядке B-P-B1: \(BB_1 = BP + PB_1 = 3 + 1 = 4\), \(B_1P = PB_1 = 1\), значит \(\frac{BB_1}{B_1P} = \frac{4}{1}\).

\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{PX}{XA} = 1 \implies \frac{PX}{XA} = \frac{3}{8} \implies \frac{AX}{XP} = \frac{8}{3} \]

\(AX:XP = 8:3\).

Шаг 3. Найдём \(B_1X:XC_1\).

Применим теорему Менелая к треугольнику \(ABC_1\) и секущей \(A_1... \)

Или используем метод площадей. В треугольнике \(ABB_1\) точка X лежит на \(AB_1\) (то есть на прямой AP продлённой) и на \(B_1C_1\).

Лучше использовать другой треугольник. Возьмём треугольник \(AC_1B_1\) (где \(C_1 \in AB\), \(B_1 \in AC\)). Секущая прямая AP продолжается и пересекает \(C_1B_1\) в точке X.

В треугольнике \(AC_1B_1\): \(A\) — вершина, \(C_1B_1\) — основание. Прямая из A через P и X пересекает \(C_1B_1\) в точке X.

\[ \frac{C_1X}{XB_1} = \frac{S_{AC_1X}}{S_{AB_1X}} \]

Используем: \(AX:XP = 8:3\), то есть \(AP:AX = 11:8\) (если AX=8, XP=3, AP=11).

В треугольнике \(AC_1B_1\), медиана из A на \(C_1B_1\) делит в отношении \(AC_1:AB_1\)... нет, нам нужна другая связь.

Заметим, что \(C_1\) делит AB в отношении \(AC_1:C_1B = 2:3\), то есть \(AC_1 = \frac{2}{5}AB\). \(B_1\) — середина AC, то есть \(AB_1 = \frac{1}{2}AC\).

Прямая AP проходит через A и P (точку пересечения чевиан). В треугольнике \(AC_1B_1\) прямая AX — это та же прямая AP, проходящая из вершины A.

По свойству, прямая из вершины A треугольника \(AC_1B_1\) делит противоположную сторону \(C_1B_1\) в отношении:

\[ \frac{C_1X}{XB_1} = \frac{S_{AC_1X}}{S_{AB_1X}} = \frac{S_{AC_1...}}{S_{AB_1...}} \]

Воспользуемся координатным методом для проверки. Пусть \(A = (0, 6)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (6, 0)\).

\(C_1\) на AB: \(AC_1:C_1B = 2:3\), AB от A=(0,6) до B=(0,0), так что \(C_1 = (0, 6 - \frac{2}{5}\cdot 6) = (0, \frac{18}{5})\).

\(B_1\) — середина AC: \(B_1 = (3, 3)\).

\(A_1\) на BC: \(BA_1:A_1C = 3:2\), BC от B=(0,0) до C=(6,0), так что \(A_1 = (3\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{?})\)...

\(BA_1:A_1C = 3:2\), \(A_1 = B + \frac{3}{5}(C-B) = (0,0) + \frac{3}{5}(6,0) = (3.6, 0)\).

Точка P — пересечение чевиан. Найдём P как пересечение AA1 и BB1.

Прямая AA1: от A=(0,6) до A1=(3.6, 0). Параметрически: \((0 + 3.6t, 6 - 6t)\).

Прямая BB1: от B=(0,0) до B1=(3,3). Параметрически: \((3s, 3s)\).

Пересечение: \(3s = 3.6t\) и \(3s = 6 - 6t\).

Из первого: \(s = 1.2t\). Подставим: \(3\cdot 1.2t = 6 - 6t \implies 3.6t = 6 - 6t \implies 9.6t = 6 \implies t = 0.625\).

\(P = (3.6 \cdot 0.625, 6 - 6\cdot 0.625) = (2.25, 2.25)\).

Проверка \(BP:PB_1\): B=(0,0), P=(2.25,2.25), B1=(3,3). Отношение = 2.25:0.75 = 3:1. ✓

Прямая AP: от A=(0,6) до P=(2.25, 2.25), далее через X до C1.

Уравнение прямой AP: направление (2.25, -3.75) = (3, -5). Уравнение: \(y - 6 = \frac{-5}{3}x\), то есть \(y = 6 - \frac{5}{3}x\).

Прямая C1B1: от C1=(0, 18/5) до B1=(3,3).

\(C_1 = (0, 3.6)\), \(B_1 = (3, 3)\). Направление: (3, -0.6). Уравнение: \(y - 3.6 = \frac{-0.6}{3}(x-0) \implies y = 3.6 - 0.2x\).

Пересечение X: \(6 - \frac{5}{3}x = 3.6 - 0.2x\).

\(6 - 3.6 = \frac{5}{3}x - 0.2x = (\frac{5}{3} - \frac{1}{5})x = \frac{25-3}{15}x = \frac{22}{15}x\).

\(2.4 = \frac{22}{15}x \implies x = \frac{2.4 \cdot 15}{22} = \frac{36}{22} = \frac{18}{11}\).

\(y = 3.6 - 0.2 \cdot \frac{18}{11} = 3.6 - \frac{3.6}{11} = 3.6 \cdot \frac{10}{11} = \frac{36}{11}\).

\(X = (\frac{18}{11}, \frac{36}{11})\).

\(AX:XP\): A=(0,6), X=(18/11, 36/11), P=(2.25, 2.25) = (9/4, 9/4).

\(AX = \sqrt{(18/11)^2 + (6-36/11)^2} = \sqrt{(18/11)^2 + (30/11)^2} = \frac{1}{11}\sqrt{324+900} = \frac{\sqrt{1224}}{11}\).

\(XP\): от X=(18/11, 36/11) до P=(9/4, 9/4).

\(XP_x = 9/4 - 18/11 = 99/44 - 72/44 = 27/44\).

\(XP_y = 9/4 - 36/11 = 99/44 - 144/44 = -45/44\).

\(XP = \sqrt{(27/44)^2 + (45/44)^2} = \frac{1}{44}\sqrt{729 + 2025} = \frac{\sqrt{2754}}{44}\).

\(\frac{AX}{XP} = \frac{\sqrt{1224}/11}{\sqrt{2754}/44} = \frac{44\sqrt{1224}}{11\sqrt{2754}} = \frac{4\sqrt{1224}}{\sqrt{2754}}\).

\(\frac{1224}{2754} = \frac{1224}{2754}\). Упростим: НОД(1224, 2754). \(2754 = 2 \cdot 1224 + 306\), \(1224 = 4 \cdot 306\). НОД = 306.

\(\frac{1224}{2754} = \frac{4}{9}\). Поэтому \(\frac{AX}{XP} = 4 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\). ✓

\(AX:XP = 8:3\). Подтверждено.

Теперь \(B_1X:XC_1\):

\(B_1 = (3, 3)\), \(X = (18/11, 36/11)\), \(C_1 = (0, 18/5)\).

\(B_1X_x = 18/11 - 3 = 18/11 - 33/11 = -15/11\).

\(XC_1_x = 0 - 18/11 = -18/11\).

Отношение по x: \(\frac{B_1X}{XC_1} = \frac{15/11}{18/11} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}\).

\(B_1X:XC_1 = 5:6\).

Проверим через теорему Менелая. Треугольник \(ABС\), секущая \(B_1 X C_1\):

• - \(C_1 \in AB\): \(AC_1:C_1B = 2:3\)
• - \(B_1 \in AC\) (середина): \(AB_1:B_1C = 1:1\), т.е. \(CB_1:B_1A = 1:1\)
• - Секущая пересекает продолжение BC в некоторой точке...

Нет, теорема Менелая для нахождения B1X:XC1 здесь неудобна, так как X — пересечение диагоналей внутри треугольника, не на стороне.

Для нахождения \(B_1X:XC_1\) применим метод площадей в треугольнике \(AB_1C_1\).

В треугольнике \(AB_1C_1\) прямая AX (то есть прямая AP) проходит из вершины A и пересекает сторону \(B_1C_1\) в точке X. По свойству:

\[ \frac{B_1X}{XC_1} = \frac{S_{AB_1X}}{S_{AC_1X}} = \frac{S_{AB_1 \cdot \text{нечто}}}{...} \]

Но проще: прямая из вершины A делит противоположную сторону. В треугольнике AB1C1 точка X на стороне B1C1. Нам нужно отношение.

Заметим, что прямая AP продолжается за P до A1. Значит прямая AXP — это прямая чевианы AA1. Она делит треугольник AB1C1 по отношению:

\[ \frac{B_1X}{XC_1} = \frac{S_{AB_1A_1... }}{...} \]

Лучше использовать уже найденные площади \(s_1, s_2, s_3\).

Из шага 2: \(s_3 = \frac{2}{3}s_2\), \(s_1 = s_2\). Пусть \(s_2 = 3\), тогда \(s_1 = 3\), \(s_3 = 2\), \(S_{ABC} = 8\).

\(S_{AC_1B} = \frac{AC_1}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac{2}{5} \cdot 8 = \frac{16}{5}\). Это треугольник с вершиной... нет.

Пусть используем площадной подход иначе.

\(S_{AB_1C_1}\): B1 делит AC пополам (\(AB_1:B_1C = 1:1\)), C1 делит AB в отношении \(AC_1:C_1B = 2:3\).

\[ S_{AB_1C_1} = \frac{AB_1}{AC} \cdot \frac{AC_1}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot 8 = \frac{8}{5} \]

(Формула площади треугольника с двумя сторонами, выраженными долями от сторон AB и AC: \(S_{AB_1C_1} = \frac{AB_1}{AC}\cdot\frac{AC_1}{AB}\cdot S_{ABC}\).)

Теперь, X — точка на B1C1, где прямая AA1 пересекает B1C1.

\[ \frac{B_1X}{XC_1} = \frac{S_{AB_1...}}{S_{AC_1...}} \]

В треугольнике AB1C1, прямая AX делит его на треугольники AB1X и AC1X:

\[ \frac{B_1X}{XC_1} = \frac{S_{AB_1X}}{S_{AC_1X}} \]

Оба треугольника AB1X и AC1X имеют общую высоту из A на B1C1, значит их площади относятся как B1X:XC1. Но нам нужно выразить их через известные площади.

Прямая AX — это прямая AA1. Заметим:

\[ S_{AB_1X} = S_{AB_1A} - S_{...} \]

Нет, проще: X — пересечение AA1 с B1C1 внутри треугольника.

Из координат: \(B_1X:XC_1 = 5:6\). Запишем ответ.

Ответы по прототипу 3:

\[ B_1X:XC_1 = 5:6, \quad AX:XP = 8:3 \]

---

Типичные ошибки при решении задач на чевианы

В задании 17 четыре ошибки встречаются настолько часто, что их стоит разобрать отдельно.

---

Частые вопросы

В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P. Известно, что AC1:C1B=2:1, AB1:B1C=1:3. Найдите отношение AP:PA1.

По теореме Чевы: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{3}{1} = 1\), откуда \(BA_1:A_1C = 1:6\). Введём площади трёх частей треугольника: \(S_{ABP} = s_1\), \(S_{BCP} = s_2\), \(S_{ACP} = s_3\). Из чевианы BB1: \(s_1/s_2 = AB_1/B_1C = 1/3\). Из чевианы CC1: \(s_3/s_2 = AC_1/C_1B = 2/1\). Пусть \(s_2 = 3k\), тогда \(s_1 = k\), \(s_3 = 6k\). Получаем \(AP:PA_1 = (s_1 + s_3)/s_2 = 7k/3k = 7/3\). Ответ: \(AP:PA_1 = 7:3\).

Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB1:B1C=2:1, BA1:A1C=8:1. Найдите: AC1:C1B=?, AP:PA1=?, BP:PB1=?

Теорема Чевы: \(\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{2} = 1\), откуда \(AC_1:C_1B = 1:4\). Площади: \(s_1/s_2 = AB_1/B_1C = 2/1\), \(s_3/s_2 = AC_1/C_1B = 1/4\). При \(s_2 = 4k\): \(s_1 = 8k\), \(s_3 = k\). Тогда \(AP:PA_1 = (8k+k)/4k = 9/4\) и \(BP:PB_1 = (8k+4k)/k = 12/1\). Ответы: \(AC_1:C_1B = 1:4\), \(AP:PA_1 = 9:4\), \(BP:PB_1 = 12:1\).

Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P, отрезки AP и B1C1 пересекаются в точке X. Известно, что AC1:C1B=2:3, BP:PB1=3:1. Найдите B1X:XC1 и AX:XP.

Из BP:PB1=3:1 и AC1:C1B=2:3 через площади получаем AB1:B1C=1:1 (B1 — середина AC). Теорема Чевы даёт BA1:A1C=3:2. Для нахождения AX:XP применяем теорему Менелая к треугольнику ABP и секущей C1XB1: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{PX}{XA} = 1\), откуда \(AX:XP = 8:3\). Отношение \(B_1X:XC_1 = 5:6\) находится из координатного или векторного метода применительно к треугольнику AB1C1 и прямой AA1. Ответы: \(B_1X:XC_1 = 5:6\), \(AX:XP = 8:3\).

По этой теме есть отдельный разбор: теорема Чевы и Менелая в задачах ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: задании 17 ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.