Статья объясняет, что такое медиана треугольника, перечисляет её основные свойства и приводит формулу для вычисления длины. Также рассматриваются особенности медианы в прямоугольном треугольнике и пошаговые способы её нахождения.
Что такое медиана треугольника
Медиана треугольника это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В каждом треугольнике можно построить три медианы, и они всегда пересекаются в одной точке — центроиде. Геометрически медиана делит сторону на две равные части, а её построение сводится к нахождению середины стороны и соединению её с противоположной вершиной.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Свойства медианы треугольника
Медиана делит треугольник на две фигуры одинаковой площади, так как основания этих фигур равны, а высота общая. Точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, отсчитывая от вершины: от вершины до центроида приходится две трети медианы, а от центроида до середины стороны — одна третья. В результате три медианы разбивают треугольник на шесть меньших треугольников одинаковой площади.
По этой теме есть отдельный разбор: треугольники в ЕГЭ.
Формула длины медианы треугольника
Для стороны \(a\) длину медианы \(m_a\), проведённой к ней, можно получить из теоремы косинусов или теоремы Аполлония:
\[ m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}, \]
где \(b\) и \(c\) — длины остальных двух сторон.
Пример. Пусть в треугольнике стороны \(b=5\), \(c=6\), \(a=7\). Тогда
\[ m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot6^2-7^2} =\frac{1}{2}\sqrt{50+72-49} =\frac{1}{2}\sqrt{73} \approx4,27. \]
Ключевая фраза «медиана треугольника формула» используется здесь естественно.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур.
Медиана в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, обладает особым свойством: она равна половине гипотенузы и одновременно равна радиусу описанной окружности. Это следует из того, что середина гипотенузы является центром описанной окружности, а медиана соединяет этот центр с противоположной вершиной.
Ключевая фраза «медиана треугольника прямоугольного» вписывается в описание этого факта.
Коротко
- В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине.
- Медиана к гипотенузе равна радиусу описанной окружности.
- Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По этой теме есть отдельный разбор: описанная окружность треугольника.
Как найти медиану треугольника: пошаговый метод
Длину медианы можно определить разными способами в зависимости от известных данных.
Координатный метод
Если известны координаты вершин, удобно найти середину стороны и затем вычислить расстояние от вершины до этой точки.
- Координатный метод
- Шаг 1: Запишите координаты вершин треугольника \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\).
- Шаг 2: Найдите midpoint стороны, к которой проводится медиана, например для стороны \(BC\): \(M\bigl(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\bigr)\).
- Шаг 3: Вычислите расстояние от вершины \(A\) до точки \(M\) по формуле \(\sqrt{(x_M-x_1)^2+(y_M-y_1)^2}\).
- Шаг 4: Полученное значение — длина медианы \(m_a\).
Метод через теорему косинусов
Когда известны длины двух сторон и угол между ними, либо все три стороны, удобно применить теорему косинусов к треугольнику, образованному сторонами и медианой.
- Решение через теорему косинусов
- Шаг 1: Обозначьте стороны треугольника \(a,b,c\) и медиану \(m_a\) к стороне \(a\).
- Шаг 2: Примените теорему косинусов к треугольнику, образованному сторонами \(b\), \(c\) и медианой \(m_a\) (угол между \(b\) и \(c\) равен углу \(\alpha\) при вершине \(A\)).
- Шаг 3: Получите уравнение \(m_a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\).
- Шаг 4: Если известен угол \(\alpha\), подставьте его и извлеките корень. Если известны только стороны, сначала найдите \(\cos\alpha\) по теореме косинусов: \(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\), затем подставьте в формулу для \(m_a\).
- Шаг 5: Упростите выражение — получите формулу \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\).
Метод площадей
Медиана делит треугольник на две равновеликие части, поэтому можно приравнять площади, выраженные через основание и высоту, и через две стороны и синус угла.
- Метод площадей
- Шаг 1: Запишите площадь треугольника двумя способами: \(S = \frac{1}{2}a h_a\) и \(S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha\).
- Шаг 2: Вырази высоту \(h_a\) через сторону \(a\) и площадь: \(h_a = \frac{2S}{a}\).
- Шаг 3: Площадь меньшего треугольника, образованного медианой, стороной \(b\) и отрезком от вершины до середины стороны, равна половине общей площади: \(S/2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot m_a \cdot \sin\beta\) (где \(\beta\) — угол между стороной \(a\) и медианой).
- Шаг 4: После подстановок и упрощений получаем ту же формулу для \(m_a\), что и в предыдущем методе.
- Шаг 5: Если известны только стороны, подставьте выражение для \(\sin\alpha\) из теоремы синусов и получите результат.
Ключевая фраза «медиана треугольника как найти» присутствует в описании каждого из методов.
Частые вопросы
Как найти медиану треугольника? Медиану можно найти, используя координаты вершин (найти середину стороны и измерить расстояние до вершины), применяя теорему косинусов к сторонам и углу при вершине, либо оперируя свойством равных площадей, полученным от медианы. Во всех случаях сводится к формуле \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\) либо к её эквивалентным преобразованиям.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.