Теорема Чевы отвечает на вопрос: при каком условии три чевианы треугольника пересекаются ровно в одной точке? Ответ формулируется через произведение трёх отношений отрезков — и это произведение равно единице. Разобраны прямая и обратная формулировки, доказательство через площади, тригонометрическая форма через синусы. Отдельно проведено сравнение с теоремой Менелая: формулы похожи, но конфигурации принципиально разные, и эта путаница регулярно возникает в задании 17 ЕГЭ.
Чевиана треугольника: определение и примеры
Чевиана — это отрезок из вершины треугольника до точки на противоположной стороне (или на её продолжении). В треугольнике \(ABC\) чевиана из вершины \(B\) — это отрезок \(BL\), где \(L \in AC\).
Частные случаи чевианы:
- - медиана — точка \(L\) является серединой \(AC\);
- - биссектриса — точка \(L\) делит \(AC\) в отношении прилежащих сторон;
- - высота — точка \(L\) есть основание перпендикуляра из \(B\) на \(AC\).
Важно отличать чевиану от трансверсали (секущей). Трансверсаль — это прямая, пересекающая две стороны треугольника и продолжение третьей стороны: именно к такой конфигурации применяется теорема Менелая. Чевиана — не прямая, а отрезок из вершины к стороне.
Коротко
- Чевиана — отрезок из вершины до точки на противоположной стороне (или её продолжении).
- Медиана, биссектриса и высота — частные случаи чевианы.
- Трансверсаль (секущая) — прямая, пересекающая треугольник; основной объект теоремы Менелая.
- Чевиана и трансверсаль — разные объекты, несмотря на внешнее сходство.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формулировка теоремы Чевы: прямая и обратная
Пусть в треугольнике \(ABC\) на сторонах \(BC\), \(CA\), \(AB\) (или на их продолжениях) отмечены точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) соответственно.
Прямая теорема Чевы: если чевианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке, то
\[ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1. \]
Обратная теорема Чевы: если точки \(A_1 \in BC\), \(B_1 \in CA\), \(C_1 \in AB\) удовлетворяют условию
\[ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1, \]
то прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке.
Отношения берутся в согласованном порядке обхода контура треугольника: \(B \to A_1 \to C\), затем \(C \to B_1 \to A\), затем \(A \to C_1 \to B\). Нарушение этого порядка — одна из частых ошибок, о которых подробнее в последнем разделе.
Доказательство теоремы Чевы через площади
Доказательство теоремы Чевы через площади — самое наглядное. Оно опирается на один факт: если два треугольника имеют общую высоту, их площади относятся как основания.
Пусть чевианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(P\).
Выразим \(\dfrac{BA_1}{A_1C}\) через площади. Треугольники \(ABA_1\) и \(ACA_1\) имеют общую высоту из \(A\) на \(BC\):
\[ \frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{BA_1}{A_1C}. \]
Треугольники \(PBA_1\) и \(PCA_1\) имеют общую высоту из \(P\) на \(BC\):
\[ \frac{S_{PBA_1}}{S_{PCA_1}} = \frac{BA_1}{A_1C}. \]
Из свойства пропорции (вычитание числителей и знаменателей):
\[ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{S_{ABA_1} - S_{PBA_1}}{S_{ACA_1} - S_{PCA_1}} = \frac{S_{ABP}}{S_{ACP}}. \]
Аналогично для двух других отношений:
\[ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}, \qquad \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ACP}}{S_{BCP}}. \]
Перемножим все три дроби:
\[ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ABP}}{S_{ACP}} \cdot \frac{S_{BCP}}{S_{ABP}} \cdot \frac{S_{ACP}}{S_{BCP}} = 1. \]
Все три площади сокращаются, произведение равно единице.
- Доказательство теоремы Чевы через площади
- Шаг 1. Зафиксируй точку пересечения P трёх чевиан.
- Шаг 2. Для каждой стороны выдели пару треугольников с общей высотой из вершины: \(S_{ABA₁}/S_{ACA₁} =\) BA₁/A₁C.
- Шаг 3. Выдели ещё одну пару с вершиной P на той же стороне: \(S_{PBA₁}/S_{PCA₁} =\) BA₁/A₁C.
- Шаг 4. Примени свойство пропорции: BA₁/A₁C = \(S_{ABP}/S_{ACP}\).
- Шаг 5. Повтори шаги 2–4 для двух других отношений.
- Шаг 6. Перемножь три дроби — площади \(S_{ABP}, S_{BCP}, S_{ACP}\) сокращаются, произведение = 1.
Обратная теорема Чевы: доказательство и применение
Доказательство обратной теоремы проводится от противного.
Пусть точки \(A_1 \in BC\), \(B_1 \in CA\), \(C_1 \in AB\) удовлетворяют условию теоремы Чевы. Предположим, что прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(P\), а луч \(CP\) пересекает \(AB\) в точке \(C_1'\), отличной от \(C_1\). По прямой теореме Чевы:
\[ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1'}{C_1'B} = 1. \]
Сравнивая с условием, получаем \(\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC_1'}{C_1'B}\), то есть \(C_1 = C_1'\). Противоречие — значит, все три прямые пересекаются в одной точке \(P\).
Классические применения обратной теоремы:
Медианы: каждое из трёх отношений равно \(1\) (середина делит сторону пополам), произведение \(= 1\). Медианы пересекаются в центроиде.
Биссектрисы: по теореме о биссектрисе \(\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{c}{b}\), \(\dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{a}{c}\), \(\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{b}{a}\). Произведение:
\[ \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} = 1. \]
Биссектрисы пересекаются в инцентре.
Высоты: в остроугольном треугольнике доказательство чуть длиннее, но произведение снова равно \(1\), и высоты пересекаются в ортоцентре.
Теорема Чевы в синусах
Тригонометрическая форма использует синусы углов, которые чевианы отрезают от углов треугольника. Обозначим:
- - \(AA_1\) делит угол \(A\) на \(\angle BAA_1 = \alpha_1\) и \(\angle A_1AC = \alpha_2\),
- - \(BB_1\) делит угол \(B\) на \(\angle CBB_1 = \beta_1\) и \(\angle B_1BA = \beta_2\),
- - \(CC_1\) делит угол \(C\) на \(\angle ACC_1 = \gamma_1\) и \(\angle C_1CB = \gamma_2\).
Теорема Чевы в синусах: три чевианы конкуррентны тогда и только тогда, когда
\[ \frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} \cdot \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta_2} \cdot \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2} = 1. \]
Вывод из основной формулы. Рассмотрим чевиану \(AA_1\). Площади треугольников \(ABA_1\) и \(ACA_1\) можно записать через синусы:
\[ S_{ABA_1} = \tfrac{1}{2} AB \cdot AA_1 \cdot \sin \alpha_1, \qquad S_{ACA_1} = \tfrac{1}{2} AC \cdot AA_1 \cdot \sin \alpha_2. \]
Тогда:
\[ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{AB \sin \alpha_1}{AC \sin \alpha_2}. \]
Применяя теорему синусов к \(\triangle ABC\) (\(AB/\sin C = AC/\sin B\)) и аналогичные соотношения для двух других чевиан, после перемножения трёх дробей все стороны сокращаются и остаётся произведение синусов.
Синусную форму удобнее применять, когда задача сформулирована через углы треугольника, а длины сторон неизвестны или громоздки — например, при доказательстве конкуррентности биссектрис или при работе с вписанными углами.
Теоремы Чевы и Менелая: сравнение и доказательство
Формулы теорем Чевы и Менелая внешне одинаковы — произведение трёх отношений отрезков равно единице. Но конфигурации принципиально разные, и подмена одной теоремы другой приводит к неверным выводам.
| | Теорема Менелая | Теорема Чевы | |---|---|---| | Объект | Прямая (трансверсаль, секущая) | Три чевианы (отрезки из вершин) | | Что доказывает | Точки коллинеарны | Прямые конкуррентны | | Расположение точек | Одна — на продолжении стороны | Все три — на самих сторонах | | Произведение отношений | = 1 | = 1 |
Связка «Менелай + площади» в задании 17 ЕГЭ. Типичная структура: в треугольнике \(ABC\) проведены отрезки, пункт а) просит доказать отношение площадей, пункт б) — найти площадь фигуры внутри.
- Связка Менелай + площади (задание 17 ЕГЭ)
- Шаг 1. Выдели треугольник и секущую прямую; отметь три точки пересечения по контуру — две на сторонах, одну на продолжении.
- Шаг 2. Теоремой Менелая найди отношение отрезков, например CO:OD.
- Шаг 3. Переведи отношение отрезков в отношение площадей через треугольники с общей высотой — это доказательство пункта а).
- Шаг 4. Вырази площади всех частей через одну известную, двигаясь от куска к куску по общим высотам.
- Шаг 5. Площадь искомой фигуры найди как разность или сумму найденных площадей.
Типичные ошибки при работе с теоремой Чевы
Разберём четыре устойчивые ошибки, которые встречаются при решении задач с теоремой Чевы и теоремой Менелая.
Три быстрых правила-напоминалки:
Если три точки лежат на одной прямой — применяется теорема Менелая. Если три прямые сходятся в одной точке — теорема Чевы.
При записи произведения нужно идти строго по контуру треугольника, выбрав одно направление обхода (\(A \to B \to C \to A\)), и на каждой стороне брать отношение в том порядке, в котором проходишь точку деления.
Прежде чем писать \(S_1/S_2 = a/b\), нужно убедиться, что у треугольников одна и та же высота.
Коротко
- Три чевианы конкуррентны ⟺ произведение трёх отношений отрезков равно 1.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника конкуррентны — это следует из обратной теоремы Чевы.
- Менелай: точки коллинеарны; Чева: прямые конкуррентны — формула одна, конфигурации разные.
- При общей высоте S₁/S₂ = a/b — без общей высоты этот переход неверен.
- Синусная форма теоремы Чевы удобна, когда задача задана через углы, а не длины.
- В задании 17 ЕГЭ отношение из теоремы Менелая переводят в отношение площадей через общую высоту.
Частые вопросы
Работает ли теорема Чевы, если одна из точек лежит на продолжении стороны?
Да. Если одна или две из точек \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на продолжениях сторон, чевианы могут пересечься в одной точке вне треугольника. Условие остаётся тем же: произведение трёх отношений равно 1. При этом два отношения из трёх окажутся «перевёрнутыми» (числитель и знаменатель поменяются местами), но чётное число инверсий сохраняет произведение положительным и равным единице.
Почему формулы теорем Менелая и Чевы одинаковы, если они про разное?
Это совпадение формы при разных условиях. Теорема Менелая: три точки лежат на одной прямой. Теорема Чевы: три прямые пересекаются в одной точке. Оба условия эквивалентны тому, что произведение трёх отношений равно 1, но геометрический смысл разный. Одинаковая формула не означает взаимозаменяемость: подмена конфигурации даёт неверные выводы.
Когда удобнее использовать синусную форму теоремы Чевы, а не стандартную?
Синусная форма удобна, когда задача формулируется через углы треугольника, а длины сторон или отрезков не заданы или выражаются громоздко. Типичный пример — доказательство конкуррентности биссектрис: условие \(\sin\angle BAA_1 / \sin\angle A_1AC = \sin(\angle A/2)/\sin(\angle A/2) = 1\) проверяется мгновенно, тогда как работа с длинами потребовала бы теоремы о биссектрисе.
Как связана чевиана с площадью треугольника?
Чевиана \(BL\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника, площади которых относятся как \(AL : LC\), потому что оба треугольника имеют общую высоту из \(B\). Если \(L\) — середина \(AC\) (то есть \(BL\) — медиана), оба треугольника равновелики и каждый составляет ровно половину площади \(\triangle ABC\).
По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема Менелая для треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема Чевы и Менелая в задачах ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: задании 17 ЕГЭ профиль.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.